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Distribución y Entropía
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Al analizar la probabilidad de encontrar el sistema en un estado particular, notamos que la condición de equilibrio ($\beta$) forma parte de la estructura de la distribución. Además, observamos que la función que mejor modela el sistema es el logaritmo del número de estados, la cual está asociada a lo que llamaremos entropía.
ID:(437, 0)
Formación de un máximo
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Si multiplicamos el número de casos, obtenemos una función con un máximo muy definido.
El sistema tendrá una mayor probabilidad de encontrarse en la energía en la que se encuentra el pico de la curva de probabilidad.
ID:(11543, 0)
Serie de Taylor para el número de estados
Ecuación
Para estudiar el comportamiento de la función del número de estados, podemos desarrollarla en torno al valor de la energía en el estado de equilibrio $\bar{E}$. Si lo hacemos en el logaritmo del número de estados, obtenemos
$\ln\Omega(E)=\ln\Omega(\bar{E})+\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial E}\eta+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{\partial^2\ln\Omega}{\partial E^2}\eta^2\ldots$
donde $\eta=E-\bar{E}$. Utilizando para la definición de
| $ k_B T \equiv\displaystyle\frac{1}{ \beta }$ |
y
$\lambda\equiv-\displaystyle\frac{\partial^2\ln\Omega}{\partial E^2}=-\displaystyle\frac{\partial\ln\beta}{\partial E}$
obtenemos la expresión con :
 $\ln\Omega(E)=\ln\Omega(\bar{E})+\beta\eta-\displaystyle\frac{1}{2}\lambda\eta^2\ldots$ |
ID:(3443, 0)
Forma de la función probabilidad
Ecuación
Si consideramos la expansión del número de estados con beta del sistema $1/J$, desviación de la energía $J$, logaritmo del numero de estados del sistema con la energía $E$ $-$, logaritmo del numero de estados del sistema con la energía media $\bar{E}$ $-$ y medida del ancho de la distribución de probabilidad $1/J^2$:
| $\ln\Omega(E)=\ln\Omega(\bar{E})+\beta\eta-\displaystyle\frac{1}{2}\lambda\eta^2\ldots$ |
podemos estimar el logaritmo de la probabilidad:
$\ln P = \ln[\Omega(E)\Omega'(E')] = \ln\Omega(E) + \ln\Omega'(E') = \ln\Omega(\bar{E}) + \ln\Omega'(\bar{E'}) + (\beta - \beta')\eta - \frac{1}{2}(\lambda + \lambda')\eta^2\ldots$
Para el caso del estado en equilibrio, ambos betas son iguales y la probabilidad de que uno de los sistemas tenga una energía $E$ se reduce a una distribución gaussiana, que se expresa con beta del sistema $1/J$, desviación de la energía $J$, logaritmo del numero de estados del sistema con la energía $E$ $-$, logaritmo del numero de estados del sistema con la energía media $\bar{E}$ $-$ y medida del ancho de la distribución de probabilidad $1/J^2$ de la siguiente manera:
| $P(E)=P(\bar{E})e^{-\lambda_0(E-\bar{E})^2/2}$ |
donde
$\lambda_0 = \lambda + \lambda'$
ID:(3444, 0)
Ancho de la distribución
Ecuación
El factor que determina la anchura de la curva de probabilidades es el factor cuadrático de la desviación en la serie de Taylor, que se expresa con de la siguiente manera:
| $\lambda_0\equiv-\displaystyle\frac{\partial^2\ln\Omega}{\partial E^2}=-\displaystyle\frac{\partial\ln\beta}{\partial E}$ |
Se puede demostrar que el número $\lambda$ introducido siempre es positivo. Un indicio de ello se obtiene de la función del número de estados que ya calculamos para el caso de partículas libres. En ese caso, dado que el número de estados es proporcional a la energía elevada a la potencia del número de grados de libertad $f$, podemos afirmar que con
$\Omega\sim E^f$
obtenemos
$\lambda_0\equiv-\displaystyle\frac{\partial^2\ln\Omega}{\partial E^2}=-f\displaystyle\frac{\partial^2\ln E}{\partial E^2}=\displaystyle\frac{f}{E^2}$
.
ID:(11549, 0)
Definición de entropía en función de posibles estados
Ecuación
El parámetro clave en el estudio del equilibrio está representado por el logaritmo del número de estados, que con se expresa como:
| $\beta(E)\equiv\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial E}$ |
La función logaritmo natural del número de estados, multiplicada por la constante de Boltzmann $k_B$, se define como la entropía del sistema, que se expresa con de la siguiente manera:
| $ S \equiv k_B \ln \Omega $ |
ID:(3439, 0)
Relación termodinámica
Ecuación
La definición de $\beta$ se encuentra en
| $\beta(E)\equiv\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial E}$ |
la de la temperatura se encuentra en
| $ k_B T \equiv\displaystyle\frac{1}{ \beta }$ |
y la de la entropía en constante de Boltzmann $J/K$, entropia del sistema $J/K$ y numero de estados del sistema con la energía $E$ $-$
| $ S \equiv k_B \ln \Omega $ |
Estas definiciones nos llevan a una relación termodinámica que nos indica cómo la temperatura $T$ se relaciona con constante de Boltzmann $J/K$, entropia del sistema $J/K$ y numero de estados del sistema con la energía $E$ $-$:
| $\displaystyle\frac{1}{T}=\displaystyle\frac{\partial S}{\partial E}$ |
ID:(3442, 0)
Entropía y sistema en equilibrio
Ecuación
Con la definición de la entropía con constante de Boltzmann $J/K$, entropia del sistema $J/K$ y numero de estados del sistema con la energía $E$ $-$ como
| $ S \equiv k_B \ln \Omega $ |
y recordando que en equilibrio se cumple con
| $\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial E}-\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega_h}{\partial E_h}=0$ |
concluimos que en equilibrio la energía $E$ debe ser siempre máxima con :
| $ S + S_h =max$ |
ID:(3440, 0)
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