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Distribution et entropie
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Lors de l'analyse de la probabilité de trouver le système dans un état particulier, nous observons que la condition d'équilibre ($\beta$) fait partie intégrante de la structure de la distribution. De plus, il devient évident que la fonction qui modèle le mieux le système est le logarithme du nombre d'états, ce qui est associé à ce que nous appellerons l'entropie.
ID:(437, 0)
Formation d'un maximum
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Lorsque nous multiplions le nombre de cas, nous obtenons une fonction avec un pic très marqué.
Le système a plus de chances d'être trouvé à l'énergie où se situe le pic de la courbe de probabilité.
ID:(11543, 0)
Série de Taylor pour le nombre d'états
Équation
Pour étudier le comportement de la fonction du nombre d'états, nous pouvons la développer autour de la valeur de l'énergie à l'état d'équilibre $\bar{E}$. Si nous le faisons dans le logarithme du nombre d'états, nous obtenons
$\ln\Omega(E)=\ln\Omega(\bar{E})+\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial E}\eta+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{\partial^2\ln\Omega}{\partial E^2}\eta^2\ldots$
où $\eta=E-\bar{E}$. En utilisant pour la définition de
| $ k_B T \equiv\displaystyle\frac{1}{ \beta }$ |
et
$\lambda\equiv-\displaystyle\frac{\partial^2\ln\Omega}{\partial E^2}=-\displaystyle\frac{\partial\ln\beta}{\partial E}$
nous obtenons l'expression avec :
 $\ln\Omega(E)=\ln\Omega(\bar{E})+\beta\eta-\displaystyle\frac{1}{2}\lambda\eta^2\ldots$ |
ID:(3443, 0)
Forme de la fonction de probabilité
Équation
Si l'on considère l'expansion du nombre d'états avec :
| $\ln\Omega(E)=\ln\Omega(\bar{E})+\beta\eta-\displaystyle\frac{1}{2}\lambda\eta^2\ldots$ |
nous pouvons estimer le logarithme de la probabilité :
$\ln P = \ln[\Omega(E)\Omega'(E')] = \ln\Omega(E) + \ln\Omega'(E') = \ln\Omega(\bar{E}) + \ln\Omega'(\bar{E'}) + (\beta - \beta')\eta - \frac{1}{2}(\lambda + \lambda')\eta^2\ldots$
Dans le cas de l'équilibre, les deux betas sont égaux, et la probabilité qu'un des systèmes ait une énergie $E$ se réduit à une distribution gaussienne, qui est exprimée avec comme suit :
| $P(E)=P(\bar{E})e^{-\lambda_0(E-\bar{E})^2/2}$ |
où
$\lambda_0 = \lambda + \lambda'$
ID:(3444, 0)
Largeur de distribution
Équation
Le facteur qui définit la largeur de la courbe de probabilité est le facteur quadratique dans le développement en série de Taylor, qui s'exprime avec comme suit :
| $\lambda_0\equiv-\displaystyle\frac{\partial^2\ln\Omega}{\partial E^2}=-\displaystyle\frac{\partial\ln\beta}{\partial E}$ |
Il peut être démontré que le nombre $\lambda$ introduit est toujours positif. Un indice en découle de la fonction du nombre d'états que nous avons déjà calculée pour le cas des particules libres. Dans ce cas, puisque le nombre d'états est proportionnel à l'énergie élevée à la puissance du nombre de degrés de liberté $f$, nous avons :
$\Omega\sim E^f$
nous obtenons alors :
$\lambda_0\equiv-\displaystyle\frac{\partial^2\ln\Omega}{\partial E^2}=-f\displaystyle\frac{\partial^2\ln E}{\partial E^2}=\displaystyle\frac{f}{E^2}$
.
ID:(11549, 0)
Définition de l'entropie basée sur les états possibles
Équation
Le paramètre clé dans l'étude de l'équilibre est donné par le logarithme du nombre d'états, qui avec s'exprime comme suit :
| $\beta(E)\equiv\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial E}$ |
Le logarithme naturel du nombre d'états multiplié par la constante de Boltzmann $k_B$ est défini comme l'entropie du système, qui est exprimée avec de la manière suivante :
| $ S \equiv k_B \ln \Omega $ |
ID:(3439, 0)
Relation thermodynamique
Équation
La définition de $\beta$ se trouve dans
| $\beta(E)\equiv\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial E}$ |
celle de la température est dans
| $ k_B T \equiv\displaystyle\frac{1}{ \beta }$ |
et celle de l'entropie est dans
| $ S \equiv k_B \ln \Omega $ |
Ces définitions nous conduisent à une relation thermodynamique qui indique comment la température $T$ est liée à :
| $\displaystyle\frac{1}{T}=\displaystyle\frac{\partial S}{\partial E}$ |
ID:(3442, 0)
Entropie et système en équilibre
Équation
Avec la définition de l'entropie comme :
| $ S \equiv k_B \ln \Omega $ |
et en tenant compte du fait qu'en équilibre cela est valide avec :
| $\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial E}-\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega_h}{\partial E_h}=0$ |
nous en concluons qu'en équilibre, l'énergie $E$ doit toujours être maximale avec :
| $ S + S_h =max$ |
ID:(3440, 0)
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Vidéo: Distribution et entropie