Utilisateur:
Distribution et entropie
Storyboard 
Lors de l'analyse de la probabilité de trouver le système dans un état particulier, nous observons que la condition d'équilibre ($\beta$) fait partie intégrante de la structure de la distribution. De plus, il devient évident que la fonction qui modèle le mieux le système est le logarithme du nombre d'états, ce qui est associé à ce que nous appellerons l'entropie.
ID:(437, 0)
Formation d'un maximum
Définition
Lorsque nous multiplions le nombre de cas, nous obtenons une fonction avec un pic très marqué.
Le système a plus de chances d'être trouvé à l'énergie où se situe le pic de la courbe de probabilité.
ID:(11543, 0)
Distribution et entropie
Description
Lors de l'analyse de la probabilité de trouver le système dans un état particulier, nous observons que la condition d'équilibre ($\beta$) fait partie intégrante de la structure de la distribution. De plus, il devient évident que la fonction qui modèle le mieux le système est le logarithme du nombre d'états, ce qui est associé à ce que nous appellerons l'entropie.
Variables
Calculs
à 
,
puis, sélectionnez la variable: 
à 
Calculs
Variable
Donnée
Calculer
Cible :
Équation
À utiliser
Équations
(ID 3440)
Exemples
Lorsque nous multiplions le nombre de cas, nous obtenons une fonction avec un pic tr s marqu .
Le syst me a plus de chances d' tre trouv l' nergie o se situe le pic de la courbe de probabilit .
(ID 11543)
Pour tudier le comportement de la fonction du nombre d' tats, nous pouvons la d velopper autour de la valeur de l' nergie l' tat d' quilibre $\bar{E}$. Si nous le faisons dans le logarithme du nombre d' tats, nous obtenons
$\ln\Omega(E)=\ln\Omega(\bar{E})+\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial E}\eta+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{\partial^2\ln\Omega}{\partial E^2}\eta^2\ldots$
o $\eta=E-\bar{E}$. En utilisant pour la d finition de
| $ k_B T \equiv\displaystyle\frac{1}{ \beta }$ |
et
$\lambda\equiv-\displaystyle\frac{\partial^2\ln\Omega}{\partial E^2}=-\displaystyle\frac{\partial\ln\beta}{\partial E}$
nous obtenons l'expression avec :
| $\ln\Omega(E)=\ln\Omega(\bar{E})+\beta\eta-\displaystyle\frac{1}{2}\lambda\eta^2\ldots$ |
(ID 3443)
Si l'on consid re l'expansion du nombre d' tats avec :
| $\ln\Omega(E)=\ln\Omega(\bar{E})+\beta\eta-\displaystyle\frac{1}{2}\lambda\eta^2\ldots$ |
nous pouvons estimer le logarithme de la probabilit :
$\ln P = \ln[\Omega(E)\Omega'(E')] = \ln\Omega(E) + \ln\Omega'(E') = \ln\Omega(\bar{E}) + \ln\Omega'(\bar{E'}) + (\beta - \beta')\eta - \frac{1}{2}(\lambda + \lambda')\eta^2\ldots$
Dans le cas de l' quilibre, les deux betas sont gaux, et la probabilit qu'un des syst mes ait une nergie $E$ se r duit une distribution gaussienne, qui est exprim e avec comme suit :
| $P(E)=P(\bar{E})e^{-\lambda_0(E-\bar{E})^2/2}$ |
o
$\lambda_0 = \lambda + \lambda'$
(ID 3444)
Le facteur qui d finit la largeur de la courbe de probabilit est le facteur quadratique dans le d veloppement en s rie de Taylor, qui s'exprime avec comme suit :
| $\lambda_0\equiv-\displaystyle\frac{\partial^2\ln\Omega}{\partial E^2}=-\displaystyle\frac{\partial\ln\beta}{\partial E}$ |
Il peut tre d montr que le nombre $\lambda$ introduit est toujours positif. Un indice en d coule de la fonction du nombre d' tats que nous avons d j calcul e pour le cas des particules libres. Dans ce cas, puisque le nombre d' tats est proportionnel l' nergie lev e la puissance du nombre de degr s de libert $f$, nous avons :
$\Omega\sim E^f$
nous obtenons alors :
$\lambda_0\equiv-\displaystyle\frac{\partial^2\ln\Omega}{\partial E^2}=-f\displaystyle\frac{\partial^2\ln E}{\partial E^2}=\displaystyle\frac{f}{E^2}$
.
(ID 11549)
Le param tre cl dans l' tude de l' quilibre est donn par le logarithme du nombre d' tats, qui avec s'exprime comme suit :
| $\beta(E)\equiv\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial E}$ |
Le logarithme naturel du nombre d' tats multipli par la constante de Boltzmann $k_B$ est d fini comme l'entropie du syst me, qui est exprim e avec de la mani re suivante :
| $ S \equiv k_B \ln \Omega $ |
(ID 3439)
La d finition de $\beta$ se trouve dans
| $\beta(E)\equiv\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial E}$ |
celle de la temp rature est dans
| $ k_B T \equiv\displaystyle\frac{1}{ \beta }$ |
et celle de l'entropie est dans
| $ S \equiv k_B \ln \Omega $ |
Ces d finitions nous conduisent une relation thermodynamique qui indique comment la temp rature $T$ est li e :
| $\displaystyle\frac{1}{T}=\displaystyle\frac{\partial S}{\partial E}$ |
(ID 3442)
Avec la d finition de l'entropie comme :
| $ S \equiv k_B \ln \Omega $ |
et en tenant compte du fait qu'en quilibre cela est valide avec :
| $\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial E}-\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega_h}{\partial E_h}=0$ |
nous en concluons qu'en quilibre, l' nergie $E$ doit toujours tre maximale avec :
| $ S + S_h =max$ |
(ID 3440)
ID:(437, 0)