Storyboard

Lors de l'analyse de la probabilité de trouver le système dans un état particulier, nous observons que la condition d'équilibre ($\beta$) fait partie intégrante de la structure de la distribution. De plus, il devient évident que la fonction qui modèle le mieux le système est le logarithme du nombre d'états, ce qui est associé à ce que nous appellerons l'entropie.

>Modèle

ID:(437, 0)

Image

>Top

Lorsque nous multiplions le nombre de cas, nous obtenons une fonction avec un pic très marqué.

Le système a plus de chances d'être trouvé à l'énergie où se situe le pic de la courbe de probabilité.

ID:(11543, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Pour étudier le comportement de la fonction du nombre d'états, nous pouvons la développer autour de la valeur de l'énergie à l'état d'équilibre $\bar{E}$. Si nous le faisons dans le logarithme du nombre d'états, nous obtenons

$\ln\Omega(E)=\ln\Omega(\bar{E})+\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial E}\eta+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{\partial^2\ln\Omega}{\partial E^2}\eta^2\ldots$

où $\eta=E-\bar{E}$. En utilisant pour la définition de

et

$\lambda\equiv-\displaystyle\frac{\partial^2\ln\Omega}{\partial E^2}=-\displaystyle\frac{\partial\ln\beta}{\partial E}$

nous obtenons l'expression avec :

$\ln\Omega(E)=\ln\Omega(\bar{E})+\beta\eta-\displaystyle\frac{1}{2}\lambda\eta^2\ldots$

Conditions

Variables

Relation

ID:(3443, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Si l'on considère l'expansion du nombre d'états avec :

nous pouvons estimer le logarithme de la probabilité :

$\ln P = \ln[\Omega(E)\Omega'(E')] = \ln\Omega(E) + \ln\Omega'(E') = \ln\Omega(\bar{E}) + \ln\Omega'(\bar{E'}) + (\beta - \beta')\eta - \frac{1}{2}(\lambda + \lambda')\eta^2\ldots$

Dans le cas de l'équilibre, les deux betas sont égaux, et la probabilité qu'un des systèmes ait une énergie $E$ se réduit à une distribution gaussienne, qui est exprimée avec comme suit :

où

$\lambda_0 = \lambda + \lambda'$

ID:(3444, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Le facteur qui définit la largeur de la courbe de probabilité est le facteur quadratique dans le développement en série de Taylor, qui s'exprime avec comme suit :

Il peut être démontré que le nombre $\lambda$ introduit est toujours positif. Un indice en découle de la fonction du nombre d'états que nous avons déjà calculée pour le cas des particules libres. Dans ce cas, puisque le nombre d'états est proportionnel à l'énergie élevée à la puissance du nombre de degrés de liberté $f$, nous avons :

$\Omega\sim E^f$

nous obtenons alors :

$\lambda_0\equiv-\displaystyle\frac{\partial^2\ln\Omega}{\partial E^2}=-f\displaystyle\frac{\partial^2\ln E}{\partial E^2}=\displaystyle\frac{f}{E^2}$

.

ID:(11549, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Le paramètre clé dans l'étude de l'équilibre est donné par le logarithme du nombre d'états, qui avec s'exprime comme suit :

Le logarithme naturel du nombre d'états multiplié par la constante de Boltzmann $k_B$ est défini comme l'entropie du système, qui est exprimée avec de la manière suivante :

ID:(3439, 0)

Équation

>Top, >Modèle

La définition de $\beta$ se trouve dans

celle de la température est dans

et celle de l'entropie est dans

Ces définitions nous conduisent à une relation thermodynamique qui indique comment la température $T$ est liée à :

$\displaystyle\frac{1}{T}=\displaystyle\frac{\partial S}{\partial E}$

Conditions

Variables

Relation

ID:(3442, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Avec la définition de l'entropie comme :

et en tenant compte du fait qu'en équilibre cela est valide avec :

nous en concluons qu'en équilibre, l'énergie $E$ doit toujours être maximale avec :

ID:(3440, 0)

0

Video

Vidéo: Distribution et entropie