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Fuerza Generalizada
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Las fuerzas generalizadas (variables intensivas) y sus respectivas variables conjugadas (variables extensivas) representan la manera en que podemos calcular diversos parámetros microscópicos a partir de las distribuciones microscópicas.

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Fuerza Generalizada
Ecuación

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Si desarrollamos la energía en torno a una variable $x_i$:

$dE = -\displaystyle\frac{\partial E}{\partial x_i}dx_i$



se reconoce que la derivada de la energía con respecto a esta variable actúa como una fuerza que tiende a resistir cualquier cambio en la variable. Por esta razón, la derivada de la fuerza con respecto a la variable $x_i$, con

$X_i=-\displaystyle\frac{\partial E}{\partial x_i}$

se llama fuerza generalizada. La fuerza generalizada es una variable intensiva (no depende del tamaño del sistema), mientras que la variable asociada es una variable extensiva (depende del tamaño del sistema).

Un ejemplo de variable extensiva es el volumen. Cuando consideramos un sistema más grande, su volumen aumenta. Sin embargo, la presión es intensiva, lo que significa que no aumenta al considerar un sistema más grande.

ID:(3445, 0)


Cálculo de la fuerza generalizada
Ecuación

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Como la fuerza generalizada e con energía del sistema $J$, fuerza generalizada $-$ y variable extensiva $-$s

$X_i=-\displaystyle\frac{\partial E}{\partial x_i}$



puede expresarse como

$\displaystyle\frac{1}{T}=\displaystyle\frac{\partial S}{\partial E}$



mediante la siguiente ecuación:

$X_i =\displaystyle\frac{\partial E}{\partial x_i}=\displaystyle\frac{\partial E}{\partial S}\displaystyle\frac{\partial S}{\partial x_i}=T\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i} (k\ln\Omega)$



donde

$ k_B T \equiv\displaystyle\frac{1}{ \beta }$



se obtiene con

$ X_i =\displaystyle\frac{1}{ \beta }\displaystyle\frac{\partial}{\partial x_i }\ln \Omega $

.

ID:(11544, 0)


Ejemplos de variables intensivas y extensivas
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Un articulo que resumen muy bien la mayor parte de las relaciones termodinámicas es Use of Legendre Transforms in Chemical Thermodynamics, Robert A. Alberty, Pure Appl. Chem., Vol. 73, No. 8, pp. 13491380, 2001 que contiene la siguiente tabla de pares de variables extensivas e intensivas:

ID:(11545, 0)


Presión como fuerza generalizada
Ecuación

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Un ejemplo de variable extensiva y fuerza generalizada es el volumen $V$ con la presión $p$. En este caso, la relación de la fuerza generalizada se expresa con de la siguiente manera:

$\bar{p}=\displaystyle\frac{1}{\beta}\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial V}$

ID:(3446, 0)


Ecuación general de los gases
Ecuación

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Si empleamos el numero de estados para el caso de un gas ideal tendremos que el numero de estados es con

$ \Omega = \Omega_0 \left(\displaystyle\frac{2 m }{ h ^2}\right)^{3 N /2} V ^ N E ^{3N/2}$

\\n\\ncon N el numero de partículas, V el volumen, E la energía, m la masa de la partícula y h la constante de Planck.\\n\\nSi calculamos el logaritmo del numero de estados y luego diferenciamos se obtiene\\n\\n

$\displaystyle\frac{\partial \ln\Omega}{\partial V}=\displaystyle\frac{N}{V}$



por lo que se obtiene con :

$ \bar{p} =\displaystyle\frac{ N }{ V } k_B T $

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