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Distribuição e Entropia
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Ao analisar a probabilidade de encontrar o sistema em um estado específico, observamos que a condição de equilíbrio ($\beta$) faz parte da estrutura da distribuição. Além disso, fica evidente que a função que melhor modela o sistema é o logaritmo do número de estados, o que está associado ao que chamaremos de entropia.
ID:(437, 0)
Formação de um máximo
Descrição
Quando multiplicamos o número de casos, obtemos uma função com um pico muito pronunciado.
O sistema tem uma probabilidade maior de ser encontrado na energia onde ocorre o pico da curva de probabilidade.
ID:(11543, 0)
Distribuição e Entropia
Descrição
Ao analisar a probabilidade de encontrar o sistema em um estado específico, observamos que a condição de equilíbrio ($\beta$) faz parte da estrutura da distribuição. Além disso, fica evidente que a função que melhor modela o sistema é o logaritmo do número de estados, o que está associado ao que chamaremos de entropia.
Variáveis
Cálculos
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depois, selecione a variável: 
para 
Cálculos
Variáve
Dado
Calcular
Objetivo :
Equação
A ser usado
Equações
(ID 3440)
Exemplos
Quando multiplicamos o n mero de casos, obtemos uma fun o com um pico muito pronunciado.
O sistema tem uma probabilidade maior de ser encontrado na energia onde ocorre o pico da curva de probabilidade.
(ID 11543)
Para estudar o comportamento da fun o do n mero de estados, podemos desenvolv -la em torno do valor da energia no estado de equil brio $\bar{E}$. Se o fizermos no logaritmo do n mero de estados, obtemos
$\ln\Omega(E)=\ln\Omega(\bar{E})+\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial E}\eta+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{\partial^2\ln\Omega}{\partial E^2}\eta^2\ldots$
onde $\eta=E-\bar{E}$. Usando para a defini o de
| $ k_B T \equiv\displaystyle\frac{1}{ \beta }$ |
e
$\lambda\equiv-\displaystyle\frac{\partial^2\ln\Omega}{\partial E^2}=-\displaystyle\frac{\partial\ln\beta}{\partial E}$
obtemos a express o com :
| $\ln\Omega(E)=\ln\Omega(\bar{E})+\beta\eta-\displaystyle\frac{1}{2}\lambda\eta^2\ldots$ |
(ID 3443)
Se considerarmos a expans o do n mero de estados com :
| $\ln\Omega(E)=\ln\Omega(\bar{E})+\beta\eta-\displaystyle\frac{1}{2}\lambda\eta^2\ldots$ |
podemos estimar o logaritmo da probabilidade:
$\ln P = \ln[\Omega(E)\Omega'(E')] = \ln\Omega(E) + \ln\Omega'(E') = \ln\Omega(\bar{E}) + \ln\Omega'(\bar{E'}) + (\beta - \beta')\eta - \frac{1}{2}(\lambda + \lambda')\eta^2\ldots$
Para o caso do estado de equil brio, ambos os betas s o iguais, e a probabilidade de um dos sistemas ter uma energia $E$ reduzida a uma distribui o gaussiana, que expressa com da seguinte forma:
| $P(E)=P(\bar{E})e^{-\lambda_0(E-\bar{E})^2/2}$ |
onde
$\lambda_0 = \lambda + \lambda'$
(ID 3444)
O fator que define a largura da curva de probabilidade o fator quadr tico na s rie de Taylor, que expresso com da seguinte forma:
| $\lambda_0\equiv-\displaystyle\frac{\partial^2\ln\Omega}{\partial E^2}=-\displaystyle\frac{\partial\ln\beta}{\partial E}$ |
Pode ser demonstrado que o n mero $\lambda$ introduzido sempre positivo. Uma indica o disso vem da fun o do n mero de estados que j calculamos para o caso de part culas livres. Nesse caso, uma vez que o n mero de estados proporcional energia elevada pot ncia do n mero de graus de liberdade $f$, obtemos que com
$\Omega\sim E^f$
temos
$\lambda_0\equiv-\displaystyle\frac{\partial^2\ln\Omega}{\partial E^2}=-f\displaystyle\frac{\partial^2\ln E}{\partial E^2}=\displaystyle\frac{f}{E^2}$
.
(ID 11549)
O par metro-chave no estudo do equil brio dado pelo logaritmo do n mero de estados, que com expresso como:
| $\beta(E)\equiv\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial E}$ |
O logaritmo natural do n mero de estados multiplicado pela constante de Boltzmann $k_B$ definido como a entropia do sistema, que expressa com da seguinte maneira:
| $ S \equiv k_B \ln \Omega $ |
(ID 3439)
A defini o de $\beta$ encontra-se em
| $\beta(E)\equiv\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial E}$ |
a da temperatura est em
| $ k_B T \equiv\displaystyle\frac{1}{ \beta }$ |
e a da entropia em
| $ S \equiv k_B \ln \Omega $ |
Essas defini es nos levam a uma rela o termodin mica que indica como a temperatura $T$ se relaciona com :
| $\displaystyle\frac{1}{T}=\displaystyle\frac{\partial S}{\partial E}$ |
(ID 3442)
Com a defini o de entropia como :
| $ S \equiv k_B \ln \Omega $ |
e considerando que em equil brio isso v lido com :
| $\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial E}-\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega_h}{\partial E_h}=0$ |
conclu mos que em equil brio, a energia $E$ deve sempre ser m xima com :
| $ S + S_h =max$ |
(ID 3440)
ID:(437, 0)