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Ao analisar a probabilidade de encontrar o sistema em um estado específico, observamos que a condição de equilíbrio ($\beta$) faz parte da estrutura da distribuição. Além disso, fica evidente que a função que melhor modela o sistema é o logaritmo do número de estados, o que está associado ao que chamaremos de entropia.

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ID:(437, 0)

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Quando multiplicamos o número de casos, obtemos uma função com um pico muito pronunciado.

O sistema tem uma probabilidade maior de ser encontrado na energia onde ocorre o pico da curva de probabilidade.

ID:(11543, 0)

Equação

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Para estudar o comportamento da função do número de estados, podemos desenvolvê-la em torno do valor da energia no estado de equilíbrio $\bar{E}$. Se o fizermos no logaritmo do número de estados, obtemos

$\ln\Omega(E)=\ln\Omega(\bar{E})+\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial E}\eta+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\frac{\partial^2\ln\Omega}{\partial E^2}\eta^2\ldots$

onde $\eta=E-\bar{E}$. Usando para a definição de

e

$\lambda\equiv-\displaystyle\frac{\partial^2\ln\Omega}{\partial E^2}=-\displaystyle\frac{\partial\ln\beta}{\partial E}$

obtemos a expressão com :

$\ln\Omega(E)=\ln\Omega(\bar{E})+\beta\eta-\displaystyle\frac{1}{2}\lambda\eta^2\ldots$

Condições

Variáveis

Relação

ID:(3443, 0)

Equação

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Se considerarmos a expansão do número de estados com :

podemos estimar o logaritmo da probabilidade:

$\ln P = \ln[\Omega(E)\Omega'(E')] = \ln\Omega(E) + \ln\Omega'(E') = \ln\Omega(\bar{E}) + \ln\Omega'(\bar{E'}) + (\beta - \beta')\eta - \frac{1}{2}(\lambda + \lambda')\eta^2\ldots$

Para o caso do estado de equilíbrio, ambos os betas são iguais, e a probabilidade de um dos sistemas ter uma energia $E$ é reduzida a uma distribuição gaussiana, que é expressa com da seguinte forma:

onde

$\lambda_0 = \lambda + \lambda'$

ID:(3444, 0)

Equação

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O fator que define a largura da curva de probabilidade é o fator quadrático na série de Taylor, que é expresso com da seguinte forma:

Pode ser demonstrado que o número $\lambda$ introduzido é sempre positivo. Uma indicação disso vem da função do número de estados que já calculamos para o caso de partículas livres. Nesse caso, uma vez que o número de estados é proporcional à energia elevada à potência do número de graus de liberdade $f$, obtemos que com

$\Omega\sim E^f$

temos

$\lambda_0\equiv-\displaystyle\frac{\partial^2\ln\Omega}{\partial E^2}=-f\displaystyle\frac{\partial^2\ln E}{\partial E^2}=\displaystyle\frac{f}{E^2}$

.

ID:(11549, 0)

Equação

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O parâmetro-chave no estudo do equilíbrio é dado pelo logaritmo do número de estados, que com é expresso como:

O logaritmo natural do número de estados multiplicado pela constante de Boltzmann $k_B$ é definido como a entropia do sistema, que é expressa com da seguinte maneira:

ID:(3439, 0)

Equação

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A definição de $\beta$ encontra-se em

a da temperatura está em

e a da entropia em

Essas definições nos levam a uma relação termodinâmica que indica como a temperatura $T$ se relaciona com :

$\displaystyle\frac{1}{T}=\displaystyle\frac{\partial S}{\partial E}$

Condições

Variáveis

Relação

ID:(3442, 0)

Equação

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Com a definição de entropia como :

e considerando que em equilíbrio isso é válido com :

concluímos que em equilíbrio, a energia $E$ deve sempre ser máxima com :

ID:(3440, 0)

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Video

Vídeo: Distribuição e Entropia