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Condición de Equilibrio y Temperatura
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Para modelar sistemas con la mecánica estadística, es necesario examinar cómo los parámetros que describen el sistema macroscópico pueden afectar a los ensambles estadísticos. En el caso de partículas, el parámetro de temperatura se establece como un indicador de si los sistemas están en equilibrio, manteniendo sus energías a un nivel constante.
ID:(436, 0)
Un Sistema en contacto con un reservorio
Imagen
Puedemos estudiar lo que ocurre cuando ponemos dos sistemas de partículas en contacto de manera que puedan intercambiar energía pero no partículas.
Supongamos además que el sistema está aislado del entorno, por lo que tiene una energía total $E_0$.
Supongamos que inicialmente el primer sistema tiene una energía de $E$, lo que se asocia con $\Omega(E)$ estados.
Dado que la energía total es $E_0$, el segundo sistema solo puede tener la energía $E_0-E$ y un número de estados $\Omega(E_0-E)$ asociados.
Una vez que los ponemos en contacto, pueden intercambiar energía hasta alcanzar algún equilibrio. En este sentido, el valor de $E$ va a variar, y la probabilidad de encontrar los sistemas de modo que el primero tenga un valor de $E$ también variará.
ID:(11541, 0)
Probabilidad de encontrar el sistema en un estado particular
Ecuación
Cada sistema $\Omega$ tiene un número de estados posibles que depende de su energía $E$. Por lo tanto, si el sistema que estamos estudiando tiene una energía $E$, el número de estados posibles será $\Omega(E)$.
El sistema en estudio está en contacto con un reservorio que entrega energía $E$, de modo que la energía total es $E_0$ menos la del sistema inmerso, $E$. Por lo tanto, el reservorio tiene $\Omega(E_0 - E)$ estados posibles. La probabilidad de encontrar el sistema total con una energía $E$ en el sistema inmerso es expresada como el producto del número de estados con :
| $P(E)=C\Omega(E)\Omega(E_0-E)$ |
donde $C$ es una constante de normalización. La energía $E$ será aquella para la cual la probabilidad sea máxima.
ID:(3434, 0)
Comparando las curvas de número de estados
Imagen
Si comparamos cómo varía el número de estados con la energía $E$, notaremos que el comportamiento del sistema y del reservorio es inverso:
Esto ocurre porque al aumentar la energía del sistema, la del reservorio disminuye, lo que a su vez reduce el número de estados a los que puede acceder.
ID:(11542, 0)
Formación de un máximo
Imagen
Si multiplicamos el número de casos, obtenemos una función con un máximo muy definido.
El sistema tendrá una mayor probabilidad de encontrarse en la energía en la que se encuentra el pico de la curva de probabilidad.
ID:(11543, 0)
Energía más probable
Ecuación
Si la probabilidad de que dos sistemas aislados del resto, con una energía total $E_0$ y siendo la energía de uno de los sistemas $E$, está dada por factor de normalización $-$, numero de estados del reservorio con energía $E_0-E$ $-$, numero de estados del sistema con la energía $E$ $-$ y probabilidad del sistema de tener una energía $E$ $-$
| $P(E)=C\Omega(E)\Omega(E_0-E)$ |
Podemos estimar la energía probable $E$ en la que se encontrarán buscando el máximo de la probabilidad. Para ello, debemos derivar con respecto a la energía $E$ e igualar la derivada a cero.
$\displaystyle\frac{\partial P}{\partial E}=\displaystyle\frac{\partial\Omega}{\partial E}\Omega'+\Omega\displaystyle\frac{\partial\Omega'}{\partial E}=0$
Si dividimos la expresión por $\Omega\Omega'$ y reemplazamos la diferencia de energías $E_0-E$ por $E'$, podemos reescribir la condición para determinar la situación más probable como sigue:
Si existe una probabilidad $P(E)$ de encontrar
$\displaystyle\frac{1}{\Omega}\displaystyle\frac{\partial\Omega}{\partial E}-\displaystyle\frac{1}{\Omega'}\displaystyle\frac{\partial\Omega'}{\partial E'}=0$
El signo negativo proviene del cambio de variables, ya que con
$E'=E_0-E$
la derivada en $E'$ resulta con factor de normalización $-$, numero de estados del reservorio con energía $E_0-E$ $-$, numero de estados del sistema con la energía $E$ $-$ y probabilidad del sistema de tener una energía $E$ $-$
| $\displaystyle\frac{1}{\Omega}\displaystyle\frac{\partial\Omega}{\partial E}-\displaystyle\frac{1}{\Omega_h}\displaystyle\frac{\partial\Omega_h}{\partial E_h}=0$ |
ID:(4806, 0)
Condición de equilibrio
Ecuación
Cuando un sistema está en contacto con un reservorio de energía $E_0$, es probable encontrarlo con una energía $E$ para la cual la probabilidad con factor de normalización $-$, numero de estados del reservorio con energía $E_0-E$ $-$, numero de estados del sistema con la energía $E$ $-$ y probabilidad del sistema de tener una energía $E$ $-$
| $P(E)=C\Omega(E)\Omega(E_0-E)$ |
alcanza su máximo. La energía se puede determinar derivando esta expresión respecto a la energía $E$ e igualándola a cero. Esto es equivalente a derivar el logaritmo de la probabilidad:
$\ln P(E) = \ln C + \ln\Omega(E) + \ln\Omega(E_0-E)$
Lo que nos lleva a:
$\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial E} + \displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial E} = 0$
Si realizamos un cambio de variable:
$E' = E_0 - E$
Obtenemos la condición de equilibrio con factor de normalización $-$, numero de estados del reservorio con energía $E_0-E$ $-$, numero de estados del sistema con la energía $E$ $-$ y probabilidad del sistema de tener una energía $E$ $-$:
| $\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial E}-\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega_h}{\partial E_h}=0$ |
ID:(3441, 0)
Función Beta
Ecuación
La condición de equilibrio de un sistema en contacto con un reservorio se expresa con energía del reservorio $J$, energía del sistema $J$, numero de estados del reservorio con energía $E'$ $-$ y numero de estados del sistema con la energía $E$ $-$
| $\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial E}-\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega_h}{\partial E_h}=0$ |
Esto nos permite introducir una función $\beta$ con energía del reservorio $J$, energía del sistema $J$, numero de estados del reservorio con energía $E'$ $-$ y numero de estados del sistema con la energía $E$ $-$ de la siguiente manera:
| $\beta(E)\equiv\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial E}$ |
Esta función caracteriza el estado del sistema y es relevante cuando el sistema está en equilibrio con otro sistema.
ID:(3435, 0)
Condición de equilibrio en función de $\beta$
Ecuación
Cuando un sistema está en contacto con un reservorio de energía $E_0$, es probable encontrarlo con una energía $E$ para la cual, con , la probabilidad
alcanza su máximo. La energía se puede determinar al derivar esta expresión respecto a la energía $E$ y establecerla en cero. Esto es equivalente a derivar el logaritmo de la probabilidad:
$\ln P(E) = \ln C + \ln\Omega(E) + \ln\Omega(E_0-E)$
Por lo tanto, con , obtenemos
Si realizamos un cambio de variable
$E' = E_0 - E$
obtenemos la condición de equilibrio con :
ID:(3436, 0)
Concepto de temperatura
Ecuación
Si asumimos que encontramos el sistema en la energía para la cual la probabilidad es máxima, podemos asociar este hecho con la situación de equilibrio de un sistema, donde la probabilidad es máxima.
Por otro lado, sabemos que dos sistemas están en equilibrio térmico si sus temperaturas son iguales. Por lo tanto, el hecho de que las funciones $\beta$ sean iguales nos sugiere que $\beta$ está relacionada con la temperatura.
Dado que las unidades de $\beta$ son el recíproco de la energía, podemos definirlo de la siguiente manera con :
| $ k_B T \equiv\displaystyle\frac{1}{ \beta }$ |
ID:(3437, 0)
Concepto de equilibrio y temperatura
Ecuación
Al introducir la relación con beta del reservorio $1/J$, constante de Boltzmann $J/K$ y temperatura del sistema $K$
| $ k_B T \equiv\displaystyle\frac{1}{ \beta }$ |
la condición de equilibrio con beta del reservorio $1/J$ y beta del sistema $1/J$
| $\beta(E)=\beta(E_h)$ |
se reduce con beta del reservorio $1/J$ y beta del sistema $1/J$ a simplemente
| $ T = T_h $ |
ID:(3438, 0)
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Video
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