Storyboard

Pour modéliser des systèmes à l'aide de la mécanique statistique, il est nécessaire d'étudier comment les paramètres qui décrivent le système macroscopique peuvent influencer les ensembles statistiques. Dans le cas des particules, la température est établie comme un paramètre qui reflète si les systèmes sont en équilibre, maintenant leurs énergies à un niveau constant.

>Modèle

ID:(436, 0)

Image

>Top

Nous pouvons étudier ce qui se passe lorsque nous mettons en contact deux systèmes de particules de manière à ce qu'ils puissent échanger de l'énergie mais pas de particules.

Supposons également que le système soit isolé de son environnement, ce qui signifie qu'il a une énergie totale de $E_0$.

Supposons qu'initialement le premier système ait une énergie de $E$, ce qui est associé à $\Omega(E)$ états.

Étant donné que l'énergie totale est de $E_0$, le second système ne peut avoir que l'énergie $E_0-E$ et un certain nombre d'états associés $\Omega(E_0-E)$.

Une fois que nous les mettons en contact, ils peuvent échanger de l'énergie jusqu'à ce qu'ils atteignent un certain équilibre. À cet égard, la valeur de $E$ va varier, et la probabilité de trouver les systèmes de telle sorte que le premier ait une valeur de $E$ va également varier.

ID:(11541, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Chaque système $\Omega$ possède un nombre d'états possibles qui dépend de son énergie $E$. Ainsi, si le système que nous étudions a une énergie $E$, le nombre d'états possibles sera $\Omega(E)$.

Le système étudié est en contact avec un réservoir qui fournit de l'énergie $E$, de sorte que l'énergie totale est $E_0$ moins celle du système immergé, $E$. Par conséquent, le réservoir possède $\Omega(E_0 - E)$ états possibles. La probabilité de trouver le système total avec une énergie $E$ dans le système immergé est exprimée comme le produit du nombre d'états avec :

où $C$ est une constante de normalisation. L'énergie $E$ sera celle pour laquelle la probabilité est maximale.¨

ID:(3434, 0)

Image

>Top

Lorsque nous comparons la variation du nombre d'états en fonction de l'énergie $E$, nous remarquons que le comportement du système et du réservoir est opposé :

Cela se produit parce qu'à mesure que l'énergie augmente, celle du réservoir diminue, ce qui réduit le nombre d'états auxquels il peut accéder.

ID:(11542, 0)

Image

>Top

Lorsque nous multiplions le nombre de cas, nous obtenons une fonction avec un pic très marqué.

Le système a plus de chances d'être trouvé à l'énergie où se situe le pic de la courbe de probabilité.

ID:(11543, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Si la probabilité de deux systèmes isolés, chacun ayant une énergie totale de $E_0$ et l'un des systèmes ayant une énergie de $E$, est donnée par

Nous pouvons estimer l'énergie probable $E$ à laquelle ils seront trouvés en recherchant la probabilité maximale. Pour ce faire, nous devons dériver par rapport à l'énergie $E$ et égaler la dérivée à zéro.

$\displaystyle\frac{\partial P}{\partial E}=\displaystyle\frac{\partial\Omega}{\partial E}\Omega'+\Omega\displaystyle\frac{\partial\Omega'}{\partial E}=0$

Si nous divisons l'expression par $\Omega\Omega'$ et remplaçons la différence d'énergie $E_0-E$ par $E'$, nous pouvons reformuler la condition pour déterminer la situation la plus probable comme suit :

S'il existe une probabilité $P(E)$ de trouver

$\displaystyle\frac{1}{\Omega}\displaystyle\frac{\partial\Omega}{\partial E}-\displaystyle\frac{1}{\Omega'}\displaystyle\frac{\partial\Omega'}{\partial E'}=0$

Le signe négatif provient du changement de variables, car avec

$E'=E_0-E$

la dérivée par rapport à $E'$ donne

.

ID:(4806, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Lorsqu'un système est en contact avec un réservoir d'énergie $E_0$, il est probable de le trouver avec une énergie $E$ pour laquelle la probabilité avec

atteint son maximum. L'énergie peut être déterminée en dérivant cette expression par rapport à l'énergie $E$ et en la mettant égale à zéro. Cela équivaut à dériver le logarithme de la probabilité :

$\ln P(E) = \ln C + \ln\Omega(E) + \ln\Omega(E_0-E)$

Conduisant à :

$\displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial E} + \displaystyle\frac{\partial\ln\Omega}{\partial E} = 0$

Si nous effectuons un changement de variable :

$E' = E_0 - E$

Nous obtenons la condition d'équilibre avec :

.

ID:(3441, 0)

Équation

>Top, >Modèle

La condition d'équilibre d'un système en contact avec un réservoir s'exprime avec

Cela nous permet d'introduire une fonction $\beta$ avec de la manière suivante :

Cette fonction caractérise l'état du système et devient pertinente lorsque le système est en équilibre avec un autre système.

ID:(3435, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Quand un système est en contact avec un réservoir d'énergie $E_0$, il est probable de le trouver avec une énergie $E$ pour laquelle, avec , la probabilité

atteint son maximum. L'énergie peut être déterminée en dérivant cette expression par rapport à l'énergie $E$ et en la fixant à zéro. Cela équivaut à dériver le logarithme de la probabilité :

$\ln P(E) = \ln C + \ln\Omega(E) + \ln\Omega(E_0-E)$

Ainsi, avec , nous obtenons

Si nous effectuons un changement de variable

$E' = E_0 - E$

nous obtenons la condition d'équilibre avec :

.

ID:(3436, 0)

Équation

>Top, >Modèle

Si nous supposons que nous trouvons le système à l'énergie pour laquelle la probabilité est maximale, nous pouvons associer cela à la situation d'équilibre d'un système où la probabilité est maximale.

D'autre part, nous savons que deux systèmes sont en équilibre thermique lorsque leurs températures sont égales. Par conséquent, le fait que les fonctions $\beta$ soient égales suggère que $\beta$ est lié à la température.

Étant donné que les unités de $\beta$ sont le réciproque de l'énergie, nous pouvons le définir comme suit avec :

ID:(3437, 0)

Équation

>Top, >Modèle

En introduisant la relation avec

la condition d'équilibre avec

se simplifie à simplement

.

ID:(3438, 0)

0

Video

Vidéo: Conditions déquilibre et température