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Verteilungscharakterisierung

Storyboard

Es gibt eine Reihe von Parametern, die mit einer Wahrscheinlichkeitsverteilung wie Mittelwerten und Standardabweichung sowohl für diskrete als auch für kontinuierliche Verteilungen berechnet werden können.

>Modell

ID:(310, 0)

Mittelwert der Variablen, diskreter Fall

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn die Werte angegeben sind

u_1, u_2, \ldots, u_M

mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten

P(u_1), P(u_2), \ldots, P(u_M)

Damit kann ein Durchschnittswert berechnet werden:

$\bar{u} =\displaystyle\sum_{ i =1}^ M P(u_i) u_i$

ID:(3362, 0)

Wahrscheinlichkeitsnormalisierung, diskreter Fall

Gleichung

>Top, >Modell

In diesem Fall können Sie diskrete Werte definieren

u_1, u_2, \ldots, u_M

mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten

P(u_1), P(u_2), \ldots, P(u_M)

Letzteres muss standardisiert werden:

$\displaystyle\sum_{ i =1}^ M P(u_i) = 1$

Dies bedeutet, dass alle möglichen Ergebnisse in der Wahrscheinlichkeitsfunktion P(u) enthalten sind.

ID:(11434, 0)

Mittelwert der Variablen, kontinuierlicher Fall

Gleichung

>Top, >Modell

Der Durchschnitt, der als Summe der diskreten u_i -Werte berechnet wird, gewichtet mit der Wahrscheinlichkeit P(u_i)

$\bar{u} =\displaystyle\sum_{ i =1}^ M P(u_i) u_i$

es hat seinen entsprechenden Ausdruck für den kontinuierlichen Fall. In diesem Fall kann ein Wert u mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten P(u). Damit kann ein Durchschnittswert berechnet werden:

$\bar{u} =\displaystyle\int du\,P(u)\,u$

ID:(11432, 0)

Wahrscheinlichkeitsnormalisierung, kontinuierlicher Fall

Gleichung

>Top, >Modell

Wie im diskreten Fall

$\displaystyle\sum_{ i =1}^ M P(u_i) = 1$

können u -Werte mit ihren entsprechenden Wahrscheinlichkeiten P(u) definiert werden, wobei letztere normalisiert werden müssen:

$\displaystyle\int P(u) du = 1$

Dies bedeutet, dass alle möglichen Ergebnisse in der Wahrscheinlichkeitsfunktion P(u) enthalten sind.

ID:(11435, 0)

Mittelwert der Funktionen, diskreter Fall

Gleichung

>Top, >Modell

Die Beziehung der Mittelwerte für Variablen kann für Funktionen von Variablen verallgemeinert werden

$\overline{f} =\displaystyle\sum_{ i =1}^ M P(u_i) f(u_i)$

ID:(3363, 0)

Mittelwert der Funktionen, kontinuierlicher Fall

Gleichung

>Top, >Modell

Das Verhältnis der Mittelwerte für Variablen im diskreten Fall

$\overline{f} =\displaystyle\sum_{ i =1}^ M P(u_i) f(u_i)$

kann für variable Funktionen verallgemeinert werden

$\overline{f} =\displaystyle\int P(u) f(u) du$

ID:(11433, 0)

Mittelwert einer Funktion multipliziert mit einer Konstante

Gleichung

>Top, >Modell

Die Linearität der Mittelwerte bedeutet, dass der Durchschnitt einer Konstante für eine Funktion

$\overline{f} =\displaystyle\int P(u) f(u) du$

gleich dem Produkt der Konstante für den Mittelwert der Funktion ist:

$\overline{cf}=c\overline{f}$

ID:(3365, 0)

Mittelwert der Summe von Funktionen

Gleichung

>Top, >Modell

Die Linearität der Mittelwerte bedeutet, dass die durchschnittliche Summe der Funktionen der Art

$\overline{f} =\displaystyle\int P(u) f(u) du$

gleich dem Mittelwert jeder der Funktionen ist:

$\overline{f+g}=\overline{f}+\overline{g}$

ID:(3364, 0)

Mittelwert der Standardabweichung, diskreter Fall

Gleichung

>Top, >Modell

Ein Maß dafür, wie breit die Verteilung ist, ergibt sich aus der durch berechneten Standardabweichung

$\overline{(\Delta u)^2}=\displaystyle\sum_{i=1}^M P(u_i)(u_i-\bar{u})^2$

ID:(3366, 0)

Mittelwert der Standardabweichung, kontinuierlicher Fall

Gleichung

>Top, >Modell

Im diskreten Fall ist die Standardabweichung definiert als

$\overline{(\Delta u)^2}=\displaystyle\sum_{i=1}^M P(u_i)(u_i-\bar{u})^2$

was in der kontinuierlichen Grenze entspricht

$\overline{(\Delta u)^2} =\displaystyle\int P(u) ( u - \bar{u} )^2 du$

ID:(11436, 0)

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Video

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