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Verteilungscharakterisierung
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Es gibt eine Reihe von Parametern, die mit einer Wahrscheinlichkeitsverteilung wie Mittelwerten und Standardabweichung sowohl für diskrete als auch für kontinuierliche Verteilungen berechnet werden können.

>Modell

ID:(310, 0)


Mittelwert der Variablen, diskreter Fall
Gleichung

>Top, >Modell


Wenn die Werte angegeben sind

u_1, u_2, \ldots, u_M

mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten

P(u_1), P(u_2), \ldots, P(u_M)

Damit kann ein Durchschnittswert berechnet werden:

$ \bar{u} =\displaystyle\sum_{ i =1}^ M P(u_i) u_i $

ID:(3362, 0)


Wahrscheinlichkeitsnormalisierung, diskreter Fall
Gleichung

>Top, >Modell


In diesem Fall können Sie diskrete Werte definieren

u_1, u_2, \ldots, u_M

mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten

P(u_1), P(u_2), \ldots, P(u_M)

Letzteres muss standardisiert werden:

$ \displaystyle\sum_{ i =1}^ M P(u_i) = 1$

Dies bedeutet, dass alle möglichen Ergebnisse in der Wahrscheinlichkeitsfunktion P(u) enthalten sind.

ID:(11434, 0)


Mittelwert der Variablen, kontinuierlicher Fall
Gleichung

>Top, >Modell


Der Durchschnitt, der als Summe der diskreten u_i -Werte berechnet wird, gewichtet mit der Wahrscheinlichkeit P(u_i)

$ \bar{u} =\displaystyle\sum_{ i =1}^ M P(u_i) u_i $



es hat seinen entsprechenden Ausdruck für den kontinuierlichen Fall. In diesem Fall kann ein Wert u mit den entsprechenden Wahrscheinlichkeiten P(u). Damit kann ein Durchschnittswert berechnet werden:

$ \bar{u} =\displaystyle\int du\,P(u)\,u $

ID:(11432, 0)


Wahrscheinlichkeitsnormalisierung, kontinuierlicher Fall
Gleichung

>Top, >Modell


Wie im diskreten Fall

$ \displaystyle\sum_{ i =1}^ M P(u_i) = 1$



können u -Werte mit ihren entsprechenden Wahrscheinlichkeiten P(u) definiert werden, wobei letztere normalisiert werden müssen:

$ \displaystyle\int P(u) du = 1$

Dies bedeutet, dass alle möglichen Ergebnisse in der Wahrscheinlichkeitsfunktion P(u) enthalten sind.

ID:(11435, 0)


Mittelwert der Funktionen, diskreter Fall
Gleichung

>Top, >Modell


Die Beziehung der Mittelwerte für Variablen kann für Funktionen von Variablen verallgemeinert werden

$ \overline{f} =\displaystyle\sum_{ i =1}^ M P(u_i) f(u_i) $

ID:(3363, 0)


Mittelwert der Funktionen, kontinuierlicher Fall
Gleichung

>Top, >Modell


Das Verhältnis der Mittelwerte für Variablen im diskreten Fall

$ \overline{f} =\displaystyle\sum_{ i =1}^ M P(u_i) f(u_i) $



kann für variable Funktionen verallgemeinert werden

$ \overline{f} =\displaystyle\int P(u) f(u) du$

ID:(11433, 0)


Mittelwert einer Funktion multipliziert mit einer Konstante
Gleichung

>Top, >Modell


Die Linearität der Mittelwerte bedeutet, dass der Durchschnitt einer Konstante für eine Funktion

$ \overline{f} =\displaystyle\int P(u) f(u) du$



gleich dem Produkt der Konstante für den Mittelwert der Funktion ist:

$\overline{cf}=c\overline{f}$

ID:(3365, 0)


Mittelwert der Summe von Funktionen
Gleichung

>Top, >Modell


Die Linearität der Mittelwerte bedeutet, dass die durchschnittliche Summe der Funktionen der Art

$ \overline{f} =\displaystyle\int P(u) f(u) du$



gleich dem Mittelwert jeder der Funktionen ist:

$\overline{f+g}=\overline{f}+\overline{g}$

ID:(3364, 0)


Mittelwert der Standardabweichung, diskreter Fall
Gleichung

>Top, >Modell


Ein Maß dafür, wie breit die Verteilung ist, ergibt sich aus der durch berechneten Standardabweichung

$\overline{(\Delta u)^2}=\displaystyle\sum_{i=1}^M P(u_i)(u_i-\bar{u})^2$

ID:(3366, 0)


Mittelwert der Standardabweichung, kontinuierlicher Fall
Gleichung

>Top, >Modell


Im diskreten Fall ist die Standardabweichung definiert als

$\overline{(\Delta u)^2}=\displaystyle\sum_{i=1}^M P(u_i)(u_i-\bar{u})^2$



was in der kontinuierlichen Grenze entspricht

$ \overline{(\Delta u)^2} =\displaystyle\int P(u) ( u - \bar{u} )^2 du$

ID:(11436, 0)


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Video: Verteilungscharakterisierung