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Modelo de Debye
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El modelo de Debye considera que en el solido se pueden propagar ondas de sonido con velocidades longitudinales y transversales. De dichas relaciones se estima la densidad de modos permitiendo el calculo explicito de la función partición.

>Modelo

ID:(526, 0)


Modelo de Debye
Descripción

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El modelo de Debye considera l soluciones del oscilador armónico mecánico cuántico y limita la existencia de las funciones de onda a el volumen del solido.\\n\\nSi suponemos que este se puede describir por un cubo de aristas L tendremos que las funciones de onda serán en cada dimensión del tipo\\n\\n

$\phi_n(x)=\phi_0e^{i\vec{k}_n\cdot\vec{x}}$

donde \vec{k}_n es el n-esimo vector de onda (la componente correspondiente).

ID:(1394, 0)


Distribución de modos y vector de Onda
Ecuación

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La distribución de modos corresponde al número de modos que esta definido por los correspondientes vectores de onda \vec{k}=(k_1,k_2,k_3) con cada componente igual a\\n\\n

$k_i=\displaystyle\frac{2\pi}{L} n_i,,,,, n_i=1,2,3,\ldots$

\\n\\ndonde L es el largo de uno de los lado del solido en la dirección i. Para obtener la distribución se debe sumar sobre todos los modos n_i o pasar al limite continuo e integrar sobre los vectores de onda k_i\\n\\n

$\displaystyle\sum_{n_1,n_2,n_3}^N 1 \rightarrow \displaystyle\frac{L^3}{(2\pi)^3}\displaystyle\int d^3k$



Si se asume simetría esférica se puede pasar a coordenadas esféricas con lo que la expresión queda

$\displaystyle\sum_{n_1,n_2,n_3}^N 1 \sim \displaystyle\frac{V}{2\pi^2}\displaystyle\int dk\, k^2$

donde se empleo el hecho que L^3 corresponde al volumen.

ID:(13261, 0)


Frecuencias angulares y vectores de Onda
Ecuación

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En un solido existen tanto el modo longitudinal, que viaja con una velocidad c_l como dos modos transversales con velocidad c_t.\\n\\nEn el limite lineal las frecuencias angulares son iguales a\\n\\n

$\omega=c_l\mid\vec{k}_l\mid$

\\n\\n

$\omega=c_t\mid\vec{k}_t\mid$

\\n\\ncon \vec{k}_l y \vec{k}_t los vectores de onda longitudinales y transversales. Para simplificar se puede introducir una velocidad del sonido c_s mediante\\n\\n

$\displaystyle\frac{3}{c_s}=\displaystyle\frac{1}{c_l}+\displaystyle\frac{2}{c_t}$



con la relación

$\omega=c_s\mid\vec{k}\mid$

ID:(13260, 0)


Distribución de frecuencias angulares
Ecuación

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Como la distribución de modos se puede estimar con la suma sobre estos con

$\displaystyle\sum_{n_1,n_2,n_3}^N 1 \sim \displaystyle\frac{V}{2\pi^2}\displaystyle\int dk\, k^2$



se tiene con

$\omega=c_s\mid\vec{k}\mid$



y el hecho que existen 3 modos distintos que con

$ \sigma_D( \omega )d \omega =3\displaystyle\frac{ V }{2 \pi ^2 c_s ^3} \omega ^2 d \omega $

ID:(3900, 0)


Frecuencia de Debye
Ecuación

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Como la suma de los modos tiene que ser igual a 3N el espectro tiene que estar acotado tal que \\n\\n

$\displaystyle\int_0^{\omega_D}\sigma_D(\omega)d\omega=3\displaystyle\frac{V}{2\pi^3c_s^3}\int_0^{\omega_D}\omega^2d\omega=3N$



donde \omega_D se define como la frecuencia de Debye y su valor es con

$ \omega_D = c_s \left(6 \pi ^2\displaystyle\frac{ N }{ V }\right)^{1/3}$

que corresponde al espectro.

ID:(3901, 0)


Distribución de Debye con frecuencia de Debye
Ecuación

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Como la suma distribución de Debye es con densidad de modos del solido de Debye $s$, frecuencia angular $rad/s$, pi $rad$, velocidad del sonido efectiva $m/s$ y volumen del cuerpo $m^3$

$ \sigma_D( \omega )d \omega =3\displaystyle\frac{ V }{2 \pi ^2 c_s ^3} \omega ^2 d \omega $



y la frecuencia de Debye con frecuencia angular de corte de Debye $1/s$, numero de partículas $-$, pi $rad$, velocidad del sonido efectiva $m/s$ y volumen del cuerpo $m^3$

$ \omega_D = c_s \left(6 \pi ^2\displaystyle\frac{ N }{ V }\right)^{1/3}$



se puede reescribir la primera como con frecuencia angular de corte de Debye $1/s$, numero de partículas $-$, pi $rad$, velocidad del sonido efectiva $m/s$ y volumen del cuerpo $m^3$

$ \sigma_D( \omega ) d\omega =\displaystyle\frac{9 N }{ \omega_D ^3} \omega ^2 \theta( \omega_D - \omega ) d\omega $

ID:(9563, 0)


Función partición del modelo de Debye
Ecuación

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La función partición general para un sistema de osciladores armónicos es con igual a

$\ln Z=\beta N\eta-\displaystyle\int_0^{\infty}d\omega\ln(1-e^{-\beta\hbar\omega})\sigma(\omega)$



que con la distribución de velocidades angulares según el modelo de Debye con densidad de modos del solido de Debye $s$, frecuencia angular $rad/s$, frecuencia angular de corte de Debye $1/s$ y numero de partículas $-$

$ \sigma_D( \omega ) d\omega =\displaystyle\frac{9 N }{ \omega_D ^3} \omega ^2 \theta( \omega_D - \omega ) d\omega $



es igual con densidad de modos del solido de Debye $s$, frecuencia angular $rad/s$, frecuencia angular de corte de Debye $1/s$ y numero de partículas $-$ a

$ \ln Z_D =- \beta N \eta +\displaystyle\frac{9 N }{ \omega_D ^3}\displaystyle\int_0^{ \omega_D } d\omega \omega ^2\ln(1-e^{- \beta \hbar \omega })$

ID:(9562, 0)


Energía mínima modelo de Debye
Ecuación

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La energía mínima es

$ \eta \equiv - \displaystyle\frac{1}{ N }\left( V_0 + \displaystyle\frac{1}{2} \int_0^{\infty} \hbar \omega \sigma( \omega ) d \omega \right)$



por lo que con la densidad de modos

$ \sigma_D( \omega ) d\omega =\displaystyle\frac{9 N }{ \omega_D ^3} \omega ^2 \theta( \omega_D - \omega ) d\omega $



es

$\eta = -\displaystyle\frac{1}{N}\left(V_0+\displaystyle\frac{9N}{8}\hbar\omega_D\right)$

ID:(13401, 0)


Temperatura de Debye
Ecuación

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Con la frecuencia angular de Debye

$ \omega_D = c_s \left(6 \pi ^2\displaystyle\frac{ N }{ V }\right)^{1/3}$



se puede definir una temperatura de Debye de la forma

$\Theta_D = \displaystyle\frac{\hbar\omega_D}{k_B}$

ID:(13402, 0)


Función partición de Debye con Temperatura
Ecuación

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Con la función partición de Debye

$ \ln Z_D =- \beta N \eta +\displaystyle\frac{9 N }{ \omega_D ^3}\displaystyle\int_0^{ \omega_D } d\omega \omega ^2\ln(1-e^{- \beta \hbar \omega })$



la energía mínima

$\eta = -\displaystyle\frac{1}{N}\left(V_0+\displaystyle\frac{9N}{8}\hbar\omega_D\right)$



y la temperatura de Debye

$\Theta_D = \displaystyle\frac{\hbar\omega_D}{k_B}$



se puede escribir la función partición como

$\ln Z_D = -\displaystyle\frac{9N}{8}\displaystyle\frac{\Theta_D}{T}-\displaystyle\frac{NV_0}{k_BT}-9N\left(\displaystyle\frac{T}{\Theta_D}\right)^3\displaystyle\int_0^{\Theta_D/T}du\,u^2\ln(1-e^{-u})$

ID:(13403, 0)


Energía interna
Ecuación

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Con el logaritmo de la función partición es con beta $1/J$, energía macroscopica, deformación y constitución $J$, frecuencia angular $rad/s$, frecuencia angular de corte de Debye $1/s$, logaritmo de la función partición del solido de Debye $-$ y numero de partículas $-$

$ \ln Z_D =- \beta N \eta +\displaystyle\frac{9 N }{ \omega_D ^3}\displaystyle\int_0^{ \omega_D } d\omega \omega ^2\ln(1-e^{- \beta \hbar \omega })$



se puede calcular la energía media mediante con

$\bar{E}=-\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}$



con lo que se obtiene con

$ U = N \eta +\displaystyle\frac{9 N }{ \omega_D ^3}\displaystyle\int_0^{ \omega_D }\displaystyle\frac{ \hbar \omega }{e^{ \beta \hbar \omega }-1} \omega ^2 d\omega $

ID:(3897, 0)


Capacidad calorica
Ecuación

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La capacidad calórica se puede calcular de la energía media con mediante

$ C_V = T DS_{T,V} $



por lo que con la energía interna con beta $1/J$, constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía interna del solido de Debye $J$, energía macroscopica, deformación y constitución $J$, frecuencia angular $rad/s$, frecuencia angular de corte de Debye $1/s$ y numero de partículas $-$

$ U = N \eta +\displaystyle\frac{9 N }{ \omega_D ^3}\displaystyle\int_0^{ \omega_D }\displaystyle\frac{ \hbar \omega }{e^{ \beta \hbar \omega }-1} \omega ^2 d\omega $



y la definición con

$ k_B T \equiv\displaystyle\frac{1}{ \beta }$



se obtiene con

$ C_V =\displaystyle\frac{9 N k_B }{ \omega_D ^3}\displaystyle\int_0^{ \omega_D }\displaystyle\frac{ \hbar \omega }{(e^{ \beta \hbar \omega }-1)^2}( \beta \hbar \omega )^2 \omega ^2 d\omega$

ID:(3898, 0)


Capacidad calórica en el límite de altas temperaturas
Ecuación

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En el caso de que la temperatura es alta el factor \beta tiende a cero y el factor\\n\\n

$\displaystyle\frac{\hbar\omega}{(e^{\beta\hbar\omega}-1)^2}(\beta\hbar\omega)^2\rightarrow 1$

\\n\\ncon lo que la capacidad calórica se reduce a\\n\\n

$C_V\rightarrow k\displaystyle\int_0^{\infty}\sigma(\omega)d\omega$



pero la suma de todos los modos debe ser igual a 3N por lo que la capacidad calórica se reduce con a

$ C_V = 3 N k_B $

que corresponde a la ley de Dulong y Petit.

ID:(3899, 0)


Capacidad calórica en límite de bajas temperaturas
Ecuación

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Cuando la temperatura es baja T\ll\Theta_D y se puede tomar el límite y\rightarrow \infty que significa que el limite superior de la integral es infinita\\n\\n

$f_D(y)\rightarrow\displaystyle\frac{3}{y^3}\int_0^{\infty}\displaystyle\frac{e^x}{(e^x-1)^2}x^4dx$

\\n\\nLa integral es un valor numérico\\n\\n

$\displaystyle\int_0^{\infty}\displaystyle\frac{e^x}{(e^x-1)^2}x^4dx=\displaystyle\frac{4\pi^4}{15}$

\\n\\ncon lo que la función de Debye es aproximadamente\\n\\n

$f_D(y)=\displaystyle\frac{4\pi^4}{15}\displaystyle\frac{1}{y^3}$



y la capacidad calórica resulta con

$ C_V =\displaystyle\frac{12 \pi ^4}{5} N k_B \left(\displaystyle\frac{ T }{ \Theta_D }\right)^3$

que corresponde al espectro.

ID:(3906, 0)


Capacidad calórica en Modelo de Debye
Ecuación

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En el caso del modelo de Debye la capacidad calórica es con beta $1/J$, capacidad calorica a volumen constante del solido de Debye $J/K$, constante de Boltzmann $J/K$, constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, frecuencia angular $rad/s$, frecuencia angular de corte de Debye $1/s$ y numero de partículas $-$

$ C_V =\displaystyle\frac{9 N k_B }{ \omega_D ^3}\displaystyle\int_0^{ \omega_D }\displaystyle\frac{ \hbar \omega }{(e^{ \beta \hbar \omega }-1)^2}( \beta \hbar \omega )^2 \omega ^2 d\omega$



se calcula integrando con la densidad espectral cuadrática solo hasta la frecuencia de Debye con frecuencia angular de corte de Debye $1/s$, numero de partículas $-$, pi $rad$, velocidad del sonido efectiva $m/s$ y volumen del cuerpo $m^3$

$ \omega_D = c_s \left(6 \pi ^2\displaystyle\frac{ N }{ V }\right)^{1/3}$



con lo que se obtiene con frecuencia angular de corte de Debye $1/s$, numero de partículas $-$, pi $rad$, velocidad del sonido efectiva $m/s$ y volumen del cuerpo $m^3$

$ C_V = k_B \displaystyle\frac{3 V }{2 \pi ^2( c_s \beta \hbar )^3} \int_0^{ \beta \hbar \omega_D }\displaystyle\frac{e^ x }{(e^ x -1)^2} dx $

que corresponde al espectro.

ID:(3902, 0)


Capacidad calórica con función de Debye
Ecuación

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Como la capacidad calórica es con beta $1/J$, capacidad calorica a volumen constante del solido de Debye $J/K$, constante de Boltzmann $J/K$, constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, frecuencia angular de corte de Debye $1/s$, pi $rad$, velocidad del sonido efectiva $m/s$ y volumen del cuerpo $m^3$ igual a

$ C_V = k_B \displaystyle\frac{3 V }{2 \pi ^2( c_s \beta \hbar )^3} \int_0^{ \beta \hbar \omega_D }\displaystyle\frac{e^ x }{(e^ x -1)^2} dx $

\\n\\ncon la función de Debye\\n\\n

$f_D(y)=\displaystyle\frac{3}{y^3}\int_0^y\displaystyle\frac{e^x}{(e^x-1)^2}x^4dx$



la expresión se reduce con beta $1/J$, capacidad calorica a volumen constante del solido de Debye $J/K$, constante de Boltzmann $J/K$, constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, frecuencia angular de corte de Debye $1/s$, pi $rad$, velocidad del sonido efectiva $m/s$ y volumen del cuerpo $m^3$ a

$ C_V =3 N k_B f_D( \Theta_D / T )$

que corresponde al espectro.

ID:(3905, 0)


Comparación entre modelos
Php

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Si se consideran los modelos clásicos, de Einstein y de Debye para

- el logarimo de la función partición
- la energía interna
- el calor específico
- la entropia

se obtienen las siguientes dependencias de la temperatura:

ID:(9560, 0)


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Video: Modelo de Debye