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Modelo Cuánticos del Sólidos
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Una de las aplicaciones es el calculo de la función partición de un solido. Para ello se representa a través de una serie de osciladores armónicos mecánico cuánticos modelando en distintas formas los modos de oscilaciones de la estructura.
ID:(487, 0)
Modelo de solido
Concepto
Un solido se puede describir como un sistema de partículas que forman una red y en que estas pueden oscilar en torno de un punto de equilibrio. La oscilación se asocia a la energía interna y con ello a la temperatura de este.
ID:(1579, 0)
Hamiltoniano del sólido
Ecuación
Podemos asumir un modelo de un solido, en que cada partícula interactua con sus vecinos via campo efectivo con lo que se describe como que fuera y la energía potencia se puede describir como la de un resorte.
En este caso el hamilitoneano de un solido se puede describir mediante con lo que:
| $ H = V_0 +\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{ r = 1}^{3 N } m ( \dot{q}_r ^2+ \omega_r ^2 q_r ^2)$ |
ID:(4800, 0)
Energías de los estados
Ecuación
En mecánica cuántica se puede resolver en forma analítica el problema del hamiltoneano de un oscilador armónico con frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$, hamiltoneano del oscilador armónico $J$, masa de la partícula $kg$, numero de partículas $-$, posición de la partícula r respecto del punto de equilibrio $m$ y velocidad de la partícula r $m/s$
| $ H = V_0 +\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{ r = 1}^{3 N } m ( \dot{q}_r ^2+ \omega_r ^2 q_r ^2)$ |
lo que resulta en los estado de energía
| $ \epsilon_r =\left( n_r +\displaystyle\frac{1}{2}\right) \hbar \omega_r $ |
ID:(4801, 0)
Energía del solido
Ecuación
Como la energía del estado
| $ \epsilon_r =\left( n_r +\displaystyle\frac{1}{2}\right) \hbar \omega_r $ |
se tiene que la energía total es con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía del estado $r$ $J$, frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$ y numero cuántico del oscilador armónico $-$
| $ E_{n_1,n_2,\ldots,n_{3N}} = V_0 +\displaystyle\sum_{ r =1}^{3 N }\left( n_r +\displaystyle\frac{1}{2}\right) \hbar \omega_r $ |
ID:(4802, 0)
Energía mínima a temperatura nula
Ecuación
El estado de mínima energía con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía interna del solido mecánico cuántico $J$, energía potencial de deformación macroscopica $J$, frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$, numero cuántico del oscilador armónico $-$ y numero de partículas $-$ de
| $ E_{n_1,n_2,\ldots,n_{3N}} = V_0 +\displaystyle\sum_{ r =1}^{3 N }\left( n_r +\displaystyle\frac{1}{2}\right) \hbar \omega_r $ |
\\n\\nse obtiene si todos los osciladores están en su estado fundamental, es decir\\n\\n
$n_r=0$
\\n\\ncon lo que la energía se reduce a\\n\\n
$V_0+\displaystyle\frac{1}{2}\sum_{ r =1}^{3 N }\hbar\omega_r$
por lo que se puede introducir una energía base que puede contener la energía de deformación elástica. Con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía interna del solido mecánico cuántico $J$, energía potencial de deformación macroscopica $J$, frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$, numero cuántico del oscilador armónico $-$ y numero de partículas $-$
| $ \eta\equiv-\displaystyle\frac{1}{N}\left(V_0+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{ r = 1}^{3 N }\hbar\omega_r\right)$ |
ID:(3894, 0)
Función partición en el caso de un solido
Ecuación
Con la función partición con
| $Z=\displaystyle\sum_Re^{-\beta E_R}$ |
y la energía del solido con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía interna del solido mecánico cuántico $J$, energía potencial de deformación macroscopica $J$, frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$, numero cuántico del oscilador armónico $-$ y numero de partículas $-$
| $ E_{n_1,n_2,\ldots,n_{3N}} = V_0 +\displaystyle\sum_{ r =1}^{3 N }\left( n_r +\displaystyle\frac{1}{2}\right) \hbar \omega_r $ |
se obtiene la función partición del solido con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía interna del solido mecánico cuántico $J$, energía potencial de deformación macroscopica $J$, frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$, numero cuántico del oscilador armónico $-$ y numero de partículas $-$
| $ Z =\displaystyle\sum_{n_1,n_2,\ldots,3 N }e^{ \beta \eta - \beta \sum_{ r =1}^{3 N } n_r \hbar \omega_r }$ |
en donde se uso la definición de la energía mínima
| $ \eta\equiv-\displaystyle\frac{1}{N}\left(V_0+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{ r = 1}^{3 N }\hbar\omega_r\right)$ |
ID:(3895, 0)
Reordenando los productos
Ecuación
La expresión de la función partición con beta $1/J$, constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía macroscopica, deformación y constitución $J$, frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$, función partición del solido mecánico cuántico $-$ y numero cuántico del oscilador armónico $-$
| $ Z =\displaystyle\sum_{n_1,n_2,\ldots,3 N }e^{ \beta \eta - \beta \sum_{ r =1}^{3 N } n_r \hbar \omega_r }$ |
puede ser re-escrita con beta $1/J$, constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía macroscopica, deformación y constitución $J$, frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$, función partición del solido mecánico cuántico $-$ y numero cuántico del oscilador armónico $-$ como
| $ Z =e^{ \beta \eta N }\displaystyle\prod_{ r = 1}^{3 N }\left(\displaystyle\sum_{ n_r =0}^{\infty}e^{- \beta n_r \hbar \omega_r }\right)$ |
ID:(9499, 0)
Función partición de un solido
Ecuación
En la expresión con beta $1/J$, constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía macroscopica, deformación y constitución $J$, frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$, función partición del solido mecánico cuántico $-$ y numero cuántico del oscilador armónico $-$
| $ Z =e^{ \beta \eta N }\displaystyle\prod_{ r = 1}^{3 N }\left(\displaystyle\sum_{ n_r =0}^{\infty}e^{- \beta n_r \hbar \omega_r }\right)$ |
\\n\\ncada elemento del producto puede ser sumado ya que corresponde a una serie geométrica en un
$\displaystyle\sum_{n_r=0}^{\infty}e^{-\beta n_r\hbar\omega_r}\displaystyle\sum_{n_r=0}^{\infty}q^{n_r}=\displaystyle\frac{1}{1-q}=\displaystyle\frac{1}{1-e^{-\beta \hbar\omega_r}}$
por lo que el logaritmo de la función partición es con beta $1/J$, constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía macroscopica, deformación y constitución $J$, frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$, función partición del solido mecánico cuántico $-$ y numero cuántico del oscilador armónico $-$
| $Z=e^{ \beta \eta N }\displaystyle\prod_{ r =1}^{3 N }\left(\displaystyle\frac{1}{1-e^{- \beta \hbar \omega_r }}\right)$ |
ID:(9500, 0)
Logaritmo de la función partición de un solido
Ecuación
Si se toma el logaritmo de la función partición de un solido con beta $1/J$, constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía macroscopica, deformación y constitución $J$, frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$, función partición del solido clásico $-$ y numero cuántico del oscilador armónico $-$
| $Z=e^{ \beta \eta N }\displaystyle\prod_{ r =1}^{3 N }\left(\displaystyle\frac{1}{1-e^{- \beta \hbar \omega_r }}\right)$ |
se obtiene la expresión con beta $1/J$, constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía macroscopica, deformación y constitución $J$, frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$, función partición del solido clásico $-$ y numero cuántico del oscilador armónico $-$
| $ \ln Z = \beta N \eta -\displaystyle\sum_{ r =1}^{3 N }\ln(1-e^{- \beta \hbar \omega_r })$ |
ID:(9501, 0)
Función partición del solido con función de espectro
Ecuación
Si se introduce una función
$\displaystyle\sum_{r=1}^{3N}\rightarrow\displaystyle\int_0^{\infty}d\omega\sigma(\omega)$
con lo que el logaritmo de la función partición con beta $1/J$, constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía macroscopica, deformación y constitución $J$, frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$, logaritmo de la función partición mecánico cuántico $-$ y numero de partículas $-$
| $ \ln Z = \beta N \eta -\displaystyle\sum_{ r =1}^{3 N }\ln(1-e^{- \beta \hbar \omega_r })$ |
se estima con beta $1/J$, constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía macroscopica, deformación y constitución $J$, frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$, logaritmo de la función partición mecánico cuántico $-$ y numero de partículas $-$
| $\ln Z=\beta N\eta-\displaystyle\int_0^{\infty}d\omega\ln(1-e^{-\beta\hbar\omega})\sigma(\omega)$ |
ID:(3896, 0)
Energía mínima del solido con función de espectro
Ecuación
Con el paso discreto al continuo\\n\\n
$\displaystyle\sum_{r=1}^{3N}\rightarrow\displaystyle\int_0^{\infty}d\omega\sigma(\omega)$
la energía mínima del solido con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía macroscopica, deformación y constitución $J$, energía potencial de deformación macroscopica $J$, frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$ y numero de partículas $-$
| $ \eta\equiv-\displaystyle\frac{1}{N}\left(V_0+\displaystyle\frac{1}{2}\displaystyle\sum_{ r = 1}^{3 N }\hbar\omega_r\right)$ |
se estima con constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía macroscopica, deformación y constitución $J$, energía potencial de deformación macroscopica $J$, frecuencia angular propia del oscilador armónico $rad/s$ y numero de partículas $-$
| $ \eta \equiv - \displaystyle\frac{1}{ N }\left( V_0 + \displaystyle\frac{1}{2} \int_0^{\infty} \hbar \omega \sigma( \omega ) d \omega \right)$ |
ID:(9540, 0)
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