Modelo de Debye
Description
El modelo de Debye considera l soluciones del oscilador armónico mecánico cuántico y limita la existencia de las funciones de onda a el volumen del solido.\\n\\nSi suponemos que este se puede describir por un cubo de aristas
$\phi_n(x)=\phi_0e^{i\vec{k}_n\cdot\vec{x}}$
donde
ID:(1394, 0)
Distribución de modos y vector de Onda
Equation
La distribución de modos corresponde al número de modos que esta definido por los correspondientes vectores de onda
$k_i=\displaystyle\frac{2\pi}{L} n_i,,,,, n_i=1,2,3,\ldots$
\\n\\ndonde
$\displaystyle\sum_{n_1,n_2,n_3}^N 1 \rightarrow \displaystyle\frac{L^3}{(2\pi)^3}\displaystyle\int d^3k$
Si se asume simetría esférica se puede pasar a coordenadas esféricas con lo que la expresión queda
$\displaystyle\sum_{n_1,n_2,n_3}^N 1 \sim \displaystyle\frac{V}{2\pi^2}\displaystyle\int dk\, k^2$ |
donde se empleo el hecho que
ID:(13261, 0)
Frecuencias angulares y vectores de Onda
Equation
En un solido existen tanto el modo longitudinal, que viaja con una velocidad
$\omega=c_l\mid\vec{k}_l\mid$
\\n\\n
$\omega=c_t\mid\vec{k}_t\mid$
\\n\\ncon
$\displaystyle\frac{3}{c_s}=\displaystyle\frac{1}{c_l}+\displaystyle\frac{2}{c_t}$
con la relación
$\omega=c_s\mid\vec{k}\mid$ |
ID:(13260, 0)
Distribución de frecuencias angulares
Equation
Como la distribución de modos se puede estimar con la suma sobre estos con
$\displaystyle\sum_{n_1,n_2,n_3}^N 1 \sim \displaystyle\frac{V}{2\pi^2}\displaystyle\int dk\, k^2$ |
se tiene con
$\omega=c_s\mid\vec{k}\mid$ |
y el hecho que existen 3 modos distintos que con
$ \sigma_D( \omega )d \omega =3\displaystyle\frac{ V }{2 \pi ^2 c_s ^3} \omega ^2 d \omega $ |
ID:(3900, 0)
Debye Frequency
Equation
Como la suma de los modos tiene que ser igual a
$\displaystyle\int_0^{\omega_D}\sigma_D(\omega)d\omega=3\displaystyle\frac{V}{2\pi^3c_s^3}\int_0^{\omega_D}\omega^2d\omega=3N$
donde
$ \omega_D = c_s \left(6 \pi ^2\displaystyle\frac{ N }{ V }\right)^{1/3}$ |
que corresponde al espectro.
ID:(3901, 0)
Distribución de Debye con frecuencia de Debye
Equation
Como la suma distribución de Debye es con densidad de modos del solido de Debye $s$, frecuencia angular $rad/s$, pi $rad$, velocidad del sonido efectiva $m/s$ and volumen del cuerpo $m^3$
$ \sigma_D( \omega )d \omega =3\displaystyle\frac{ V }{2 \pi ^2 c_s ^3} \omega ^2 d \omega $ |
y la frecuencia de Debye con frecuencia angular de corte de Debye $1/s$, numero de partículas $-$, pi $rad$, velocidad del sonido efectiva $m/s$ and volumen del cuerpo $m^3$
$ \omega_D = c_s \left(6 \pi ^2\displaystyle\frac{ N }{ V }\right)^{1/3}$ |
se puede reescribir la primera como con frecuencia angular de corte de Debye $1/s$, numero de partículas $-$, pi $rad$, velocidad del sonido efectiva $m/s$ and volumen del cuerpo $m^3$
$ \sigma_D( \omega ) d\omega =\displaystyle\frac{9 N }{ \omega_D ^3} \omega ^2 \theta( \omega_D - \omega ) d\omega $ |
ID:(9563, 0)
Función partición del modelo de Debye
Equation
La función partición general para un sistema de osciladores armónicos es con igual a
$\ln Z=\beta N\eta-\displaystyle\int_0^{\infty}d\omega\ln(1-e^{-\beta\hbar\omega})\sigma(\omega)$ |
que con la distribución de velocidades angulares según el modelo de Debye con densidad de modos del solido de Debye $s$, frecuencia angular $rad/s$, frecuencia angular de corte de Debye $1/s$ and numero de partículas $-$
$ \sigma_D( \omega ) d\omega =\displaystyle\frac{9 N }{ \omega_D ^3} \omega ^2 \theta( \omega_D - \omega ) d\omega $ |
es igual con densidad de modos del solido de Debye $s$, frecuencia angular $rad/s$, frecuencia angular de corte de Debye $1/s$ and numero de partículas $-$ a
$ \ln Z_D =- \beta N \eta +\displaystyle\frac{9 N }{ \omega_D ^3}\displaystyle\int_0^{ \omega_D } d\omega \omega ^2\ln(1-e^{- \beta \hbar \omega })$ |
ID:(9562, 0)
Energía mínima modelo de Debye
Equation
La energía mínima es
$ \eta \equiv - \displaystyle\frac{1}{ N }\left( V_0 + \displaystyle\frac{1}{2} \int_0^{\infty} \hbar \omega \sigma( \omega ) d \omega \right)$ |
por lo que con la densidad de modos
$ \sigma_D( \omega ) d\omega =\displaystyle\frac{9 N }{ \omega_D ^3} \omega ^2 \theta( \omega_D - \omega ) d\omega $ |
es
$\eta = -\displaystyle\frac{1}{N}\left(V_0+\displaystyle\frac{9N}{8}\hbar\omega_D\right)$ |
ID:(13401, 0)
Temperatura de Debye
Equation
Con la frecuencia angular de Debye
$ \omega_D = c_s \left(6 \pi ^2\displaystyle\frac{ N }{ V }\right)^{1/3}$ |
se puede definir una temperatura de Debye de la forma
$\Theta_D = \displaystyle\frac{\hbar\omega_D}{k_B}$ |
ID:(13402, 0)
Función partición de Debye con Temperatura
Equation
Con la función partición de Debye
$ \ln Z_D =- \beta N \eta +\displaystyle\frac{9 N }{ \omega_D ^3}\displaystyle\int_0^{ \omega_D } d\omega \omega ^2\ln(1-e^{- \beta \hbar \omega })$ |
la energía mínima
$\eta = -\displaystyle\frac{1}{N}\left(V_0+\displaystyle\frac{9N}{8}\hbar\omega_D\right)$ |
y la temperatura de Debye
$\Theta_D = \displaystyle\frac{\hbar\omega_D}{k_B}$ |
se puede escribir la función partición como
$\ln Z_D = -\displaystyle\frac{9N}{8}\displaystyle\frac{\Theta_D}{T}-\displaystyle\frac{NV_0}{k_BT}-9N\left(\displaystyle\frac{T}{\Theta_D}\right)^3\displaystyle\int_0^{\Theta_D/T}du\,u^2\ln(1-e^{-u})$ |
ID:(13403, 0)
Internal energy
Equation
Con el logaritmo de la función partición es con beta $1/J$, energía macroscopica, deformación y constitución $J$, frecuencia angular $rad/s$, frecuencia angular de corte de Debye $1/s$, logaritmo de la función partición del solido de Debye $-$ and numero de partículas $-$
$ \ln Z_D =- \beta N \eta +\displaystyle\frac{9 N }{ \omega_D ^3}\displaystyle\int_0^{ \omega_D } d\omega \omega ^2\ln(1-e^{- \beta \hbar \omega })$ |
se puede calcular la energía media mediante con
$\bar{E}=-\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}$ |
con lo que se obtiene con
$ U = N \eta +\displaystyle\frac{9 N }{ \omega_D ^3}\displaystyle\int_0^{ \omega_D }\displaystyle\frac{ \hbar \omega }{e^{ \beta \hbar \omega }-1} \omega ^2 d\omega $ |
ID:(3897, 0)
Caloric capacity
Equation
La capacidad calórica se puede calcular de la energía media con mediante
$ C_V = T DS_{T,V} $ |
por lo que con la energía interna con beta $1/J$, constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía interna del solido de Debye $J$, energía macroscopica, deformación y constitución $J$, frecuencia angular $rad/s$, frecuencia angular de corte de Debye $1/s$ and numero de partículas $-$
$ U = N \eta +\displaystyle\frac{9 N }{ \omega_D ^3}\displaystyle\int_0^{ \omega_D }\displaystyle\frac{ \hbar \omega }{e^{ \beta \hbar \omega }-1} \omega ^2 d\omega $ |
y la definición con
$ k_B T \equiv\displaystyle\frac{1}{ \beta }$ |
se obtiene con
$ C_V =\displaystyle\frac{9 N k_B }{ \omega_D ^3}\displaystyle\int_0^{ \omega_D }\displaystyle\frac{ \hbar \omega }{(e^{ \beta \hbar \omega }-1)^2}( \beta \hbar \omega )^2 \omega ^2 d\omega$ |
ID:(3898, 0)
Caloric capacity at high temperature limit
Equation
En el caso de que la temperatura es alta el factor
$\displaystyle\frac{\hbar\omega}{(e^{\beta\hbar\omega}-1)^2}(\beta\hbar\omega)^2\rightarrow 1$
\\n\\ncon lo que la capacidad calórica se reduce a\\n\\n
$C_V\rightarrow k\displaystyle\int_0^{\infty}\sigma(\omega)d\omega$
pero la suma de todos los modos debe ser igual a
$ C_V = 3 N k_B $ |
que corresponde a la ley de Dulong y Petit.
ID:(3899, 0)
Caloric capacity at limit low temperatures
Equation
Cuando la temperatura es baja
$f_D(y)\rightarrow\displaystyle\frac{3}{y^3}\int_0^{\infty}\displaystyle\frac{e^x}{(e^x-1)^2}x^4dx$
\\n\\nLa integral es un valor numérico\\n\\n
$\displaystyle\int_0^{\infty}\displaystyle\frac{e^x}{(e^x-1)^2}x^4dx=\displaystyle\frac{4\pi^4}{15}$
\\n\\ncon lo que la función de Debye es aproximadamente\\n\\n
$f_D(y)=\displaystyle\frac{4\pi^4}{15}\displaystyle\frac{1}{y^3}$
y la capacidad calórica resulta con
$ C_V =\displaystyle\frac{12 \pi ^4}{5} N k_B \left(\displaystyle\frac{ T }{ \Theta_D }\right)^3$ |
que corresponde al espectro.
ID:(3906, 0)
Caloric capacity of the Debye model
Equation
En el caso del modelo de Debye la capacidad calórica es con beta $1/J$, capacidad calorica a volumen constante del solido de Debye $J/K$, constante de Boltzmann $J/K$, constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, frecuencia angular $rad/s$, frecuencia angular de corte de Debye $1/s$ and numero de partículas $-$
$ C_V =\displaystyle\frac{9 N k_B }{ \omega_D ^3}\displaystyle\int_0^{ \omega_D }\displaystyle\frac{ \hbar \omega }{(e^{ \beta \hbar \omega }-1)^2}( \beta \hbar \omega )^2 \omega ^2 d\omega$ |
se calcula integrando con la densidad espectral cuadrática solo hasta la frecuencia de Debye con frecuencia angular de corte de Debye $1/s$, numero de partículas $-$, pi $rad$, velocidad del sonido efectiva $m/s$ and volumen del cuerpo $m^3$
$ \omega_D = c_s \left(6 \pi ^2\displaystyle\frac{ N }{ V }\right)^{1/3}$ |
con lo que se obtiene con frecuencia angular de corte de Debye $1/s$, numero de partículas $-$, pi $rad$, velocidad del sonido efectiva $m/s$ and volumen del cuerpo $m^3$
$ C_V = k_B \displaystyle\frac{3 V }{2 \pi ^2( c_s \beta \hbar )^3} \int_0^{ \beta \hbar \omega_D }\displaystyle\frac{e^ x }{(e^ x -1)^2} dx $ |
que corresponde al espectro.
ID:(3902, 0)
Caloric capacity with the Debye function
Equation
Como la capacidad calórica es con beta $1/J$, capacidad calorica a volumen constante del solido de Debye $J/K$, constante de Boltzmann $J/K$, constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, frecuencia angular de corte de Debye $1/s$, pi $rad$, velocidad del sonido efectiva $m/s$ and volumen del cuerpo $m^3$ igual a
$ C_V = k_B \displaystyle\frac{3 V }{2 \pi ^2( c_s \beta \hbar )^3} \int_0^{ \beta \hbar \omega_D }\displaystyle\frac{e^ x }{(e^ x -1)^2} dx $ |
\\n\\ncon la función de Debye\\n\\n
$f_D(y)=\displaystyle\frac{3}{y^3}\int_0^y\displaystyle\frac{e^x}{(e^x-1)^2}x^4dx$
la expresión se reduce con beta $1/J$, capacidad calorica a volumen constante del solido de Debye $J/K$, constante de Boltzmann $J/K$, constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, frecuencia angular de corte de Debye $1/s$, pi $rad$, velocidad del sonido efectiva $m/s$ and volumen del cuerpo $m^3$ a
$ C_V =3 N k_B f_D( \Theta_D / T )$ |
que corresponde al espectro.
ID:(3905, 0)
Comparación entre modelos
Php
Si se consideran los modelos clásicos, de Einstein y de Debye para
- el logarimo de la función partición
- la energía interna
- el calor específico
- la entropia
se obtienen las siguientes dependencias de la temperatura:
ID:(9560, 0)
0
Video
Video: Debye model