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Modelo de Einstein
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>Modelo

ID:(1202, 0)


Modelamiento por Einstein
Ecuación

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La integración de la función partición del modelo básico de un solido que es con

$\ln Z=\beta N\eta-\displaystyle\int_0^{\infty}d\omega\ln(1-e^{-\beta\hbar\omega})\sigma(\omega)$



depende de la distribución de modos \sigma(\omega)d\omega.

Una aproximación relativamente simple es la de asumir que todos los osciladores tengan la misma frecuencia angular. Por ello con

$ \sigma( \omega )d \omega = \sigma_E \delta( \omega - \omega_E ) d \omega $

El modelo se debe a Einstein por lo que la frecuencia angular \omega_E lleva su nombre.

ID:(9535, 0)


Condición de normalización
Ecuación

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La distribución de modos \sigma_E(\omega)d\omega tiene que cumplir que la suma de todos los modos debe ser igual a los grados de libertad que son 3N.

Por ello con se debe dar

$ \displaystyle\int_0^{\infty} \sigma_E( \omega ) d \omega =3 N $

ID:(9536, 0)


Factor de distribución
Ecuación

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Si se introduce con densidad de modos del solido de Einstein $s$, frecuencia angular $rad/s$ y numero de partículas $-$ en la condición

$ \displaystyle\int_0^{\infty} \sigma_E( \omega ) d \omega =3 N $



la distribución con densidad de modos del solido $s$, densidad de modos del solido de Einstein $s$, frecuencia angular $rad/s$ y frecuencia angular propia de Einstein $1/s$

$ \sigma( \omega )d \omega = \sigma_E \delta( \omega - \omega_E ) d \omega $



se obtiene con densidad de modos del solido $s$, densidad de modos del solido de Einstein $s$, frecuencia angular $rad/s$ y frecuencia angular propia de Einstein $1/s$ el factor de distribución

$ \sigma_E = 3 N $

ID:(9537, 0)


La distribución de Einstein
Ecuación

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La distribución con densidad de modos del solido $s$, densidad de modos del solido de Einstein $s$, frecuencia angular $rad/s$ y frecuencia angular propia de Einstein $1/s$

$ \sigma( \omega )d \omega = \sigma_E \delta( \omega - \omega_E ) d \omega $



con densidad de modos del solido de Einstein $s$ y numero de partículas $-$ la condición

$ \sigma_E = 3 N $



se obtiene la distribución de frecuencias angulares de Einstein con densidad de modos del solido de Einstein $s$ y numero de partículas $-$

$ \sigma_E( \omega ) d \omega = 3 N \delta( \omega - \omega_E ) d \omega $

ID:(9538, 0)


Energía mínima en el modelo de Einstein
Ecuación

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En el modelo de Einstein la energía mínima, que es con igual a

$ \eta \equiv - \displaystyle\frac{1}{ N }\left( V_0 + \displaystyle\frac{1}{2} \int_0^{\infty} \hbar \omega \sigma( \omega ) d \omega \right)$



se reduce con la distribución de Einstein con densidad de modos del solido de Einstein $s$, frecuencia angular $rad/s$, frecuencia angular propia de Einstein $1/s$ y numero de partículas $-$

$ \sigma_E( \omega ) d \omega = 3 N \delta( \omega - \omega_E ) d \omega $



a

$ \eta = - 3V_0 -\displaystyle\frac{3}{2}\hbar\omega_E$

ID:(13263, 0)


Logaritmo de la función partición en el modelo de Einstein
Ecuación

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Con el logaritmo de la función partición es con

$\ln Z=\beta N\eta-\displaystyle\int_0^{\infty}d\omega\ln(1-e^{-\beta\hbar\omega})\sigma(\omega)$



y la distribución de Einstein es con densidad de modos del solido de Einstein $s$, frecuencia angular $rad/s$, frecuencia angular propia de Einstein $1/s$ y numero de partículas $-$

$ \sigma_E( \omega ) d \omega = 3 N \delta( \omega - \omega_E ) d \omega $



se obtiene la función partición con densidad de modos del solido de Einstein $s$, frecuencia angular $rad/s$, frecuencia angular propia de Einstein $1/s$ y numero de partículas $-$

$ \ln Z = \beta N \eta -3 N \ln(1-e^{ -\beta \hbar \omega_E })$

ID:(9539, 0)


Temperatura de Einstein
Ecuación

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Para simplificar el calculo se introduce la llamada temperatura de Einstein con

$ \Theta_E =\displaystyle\frac{ \hbar \omega_E }{ k_B }$

Los valores típicos de la temperatura de Einstein para distintos materiales se listan a continuación (valores calculados de los largos de onda de Einstein de su publicación)

Elemento$\lambda_E$ [$\mu$]$\omega_E$ [$1/s$]$\Theta_E$ [$K$]
$S,P$424.49e+13343.0
$Fl$335.71e+13436.5
$O$218.98e+13685.9
$SiO_2$209.42e+13720.2
$B$151.26e+14960.3
$H$131.45e+141108.0
$C$121.57e+141200.4

ID:(9543, 0)


Función partición en función de la temperatura de Einstein

Ecuación

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La función partición con beta $1/J$, constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, energía macroscopica, deformación y constitución $J$, frecuencia angular propia de Einstein $1/s$, logaritmo de la función partición del solido de Einstein $-$ y numero de partículas $-$

$ \ln Z = \beta N \eta -3 N \ln(1-e^{ -\beta \hbar \omega_E })$



con

$ \eta = - 3V_0 -\displaystyle\frac{3}{2}\hbar\omega_E$



se puede reescribir con la temperatura de Einstein con constante de Boltzmann $J/K$, constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, frecuencia angular propia de Einstein $1/s$ y temperatura de Einstein $K$

$ \Theta_E =\displaystyle\frac{ \hbar \omega_E }{ k_B }$



con la definición de la energía mínima con



como con constante de Boltzmann $J/K$, constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$, frecuencia angular propia de Einstein $1/s$ y temperatura de Einstein $K$

$ \ln Z_E =-\displaystyle\frac{3 N }{2}\displaystyle\frac{ \Theta_E }{ T }-\displaystyle\frac{ NV_0 }{ k_B T }-3 N \ln(1-e^{- \Theta_E / T })$

ID:(9551, 0)


Función partición a altas temperaturas ($\Theta_E\ll T$)
Ecuación

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En el limite de altas temperaturas, la función partición con constante de Boltzmann $J/K$, energía potencial de deformación macroscopica $J$, logaritmo de la función partición del solido de Einstein $-$, temperatura $K$ y temperatura de Einstein $K$

$ \ln Z_E =-\displaystyle\frac{3 N }{2}\displaystyle\frac{ \Theta_E }{ T }-\displaystyle\frac{ NV_0 }{ k_B T }-3 N \ln(1-e^{- \Theta_E / T })$



se puede expandir en serie de Taylor de \Theta_E/T lo que en tercer orden con constante de Boltzmann $J/K$, energía potencial de deformación macroscopica $J$, logaritmo de la función partición del solido de Einstein $-$, temperatura $K$ y temperatura de Einstein $K$ es

$ \ln Z =-\displaystyle\frac{ V_0 }{ k_B T }+\displaystyle\frac{3 N }{2}\left(\displaystyle\frac{ \Theta_E }{ T }\right)^2-\displaystyle\frac{ N }{2}\left(\displaystyle\frac{ \Theta_E }{ T }\right)^3+\ldots$

ID:(9552, 0)


Comparación entre modelos
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Si se consideran los modelos clásicos, de Einstein y de Debye para

- el logarimo de la función partición
- la energía interna
- el calor específico
- la entropia

se obtienen las siguientes dependencias de la temperatura:

ID:(9560, 0)


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Video: Modelo de Einstein