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Modelo de Einstein

Storyboard

>Modelo

ID:(1202, 0)

Modelamiento por Einstein

Ecuación

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La integración de la función partición del modelo básico de un solido que es con

$\ln Z=\beta N\eta-\displaystyle\int_0^{\infty}d\omega\ln(1-e^{-\beta\hbar\omega})\sigma(\omega)$

depende de la distribución de modos \sigma(\omega)d\omega.

Una aproximación relativamente simple es la de asumir que todos los osciladores tengan la misma frecuencia angular. Por ello con

$\sigma( \omega )d \omega = \sigma_E \delta( \omega - \omega_E ) d \omega$

El modelo se debe a Einstein por lo que la frecuencia angular \omega_E lleva su nombre.

ID:(9535, 0)

Condición de normalización

Ecuación

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La distribución de modos \sigma_E(\omega)d\omega tiene que cumplir que la suma de todos los modos debe ser igual a los grados de libertad que son 3N.

Por ello con se debe dar

$\displaystyle\int_0^{\infty} \sigma_E( \omega ) d \omega =3 N$

ID:(9536, 0)

Factor de distribución

Ecuación

>Top, >Modelo

Si se introduce con densidad de modos del solido de Einstein $s$ , frecuencia angular $rad/s$ y numero de partículas $-$ en la condición

$\displaystyle\int_0^{\infty} \sigma_E( \omega ) d \omega =3 N$

la distribución con densidad de modos del solido $s$ , densidad de modos del solido de Einstein $s$ , frecuencia angular $rad/s$ y frecuencia angular propia de Einstein $1/s$

$\sigma( \omega )d \omega = \sigma_E \delta( \omega - \omega_E ) d \omega$

se obtiene con densidad de modos del solido $s$ , densidad de modos del solido de Einstein $s$ , frecuencia angular $rad/s$ y frecuencia angular propia de Einstein $1/s$ el factor de distribución

$\sigma_E = 3 N$

ID:(9537, 0)

La distribución de Einstein

Ecuación

>Top, >Modelo

La distribución con densidad de modos del solido $s$ , densidad de modos del solido de Einstein $s$ , frecuencia angular $rad/s$ y frecuencia angular propia de Einstein $1/s$

$\sigma( \omega )d \omega = \sigma_E \delta( \omega - \omega_E ) d \omega$

con densidad de modos del solido de Einstein $s$ y numero de partículas $-$ la condición

$\sigma_E = 3 N$

se obtiene la distribución de frecuencias angulares de Einstein con densidad de modos del solido de Einstein $s$ y numero de partículas $-$

$\sigma_E( \omega ) d \omega = 3 N \delta( \omega - \omega_E ) d \omega$

ID:(9538, 0)

Energía mínima en el modelo de Einstein

Ecuación

>Top, >Modelo

En el modelo de Einstein la energía mínima, que es con igual a

$\eta \equiv - \displaystyle\frac{1}{ N }\left( V_0 + \displaystyle\frac{1}{2} \int_0^{\infty} \hbar \omega \sigma( \omega ) d \omega \right)$

se reduce con la distribución de Einstein con densidad de modos del solido de Einstein $s$ , frecuencia angular $rad/s$ , frecuencia angular propia de Einstein $1/s$ y numero de partículas $-$

$\sigma_E( \omega ) d \omega = 3 N \delta( \omega - \omega_E ) d \omega$

$\eta = - 3V_0 -\displaystyle\frac{3}{2}\hbar\omega_E$

ID:(13263, 0)

Logaritmo de la función partición en el modelo de Einstein

Ecuación

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Con el logaritmo de la función partición es con

$\ln Z=\beta N\eta-\displaystyle\int_0^{\infty}d\omega\ln(1-e^{-\beta\hbar\omega})\sigma(\omega)$

y la distribución de Einstein es con densidad de modos del solido de Einstein $s$ , frecuencia angular $rad/s$ , frecuencia angular propia de Einstein $1/s$ y numero de partículas $-$

$\sigma_E( \omega ) d \omega = 3 N \delta( \omega - \omega_E ) d \omega$

se obtiene la función partición con densidad de modos del solido de Einstein $s$ , frecuencia angular $rad/s$ , frecuencia angular propia de Einstein $1/s$ y numero de partículas $-$

$\ln Z = \beta N \eta -3 N \ln(1-e^{ -\beta \hbar \omega_E })$

ID:(9539, 0)

Temperatura de Einstein

Ecuación

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Para simplificar el calculo se introduce la llamada temperatura de Einstein con

$\Theta_E =\displaystyle\frac{ \hbar \omega_E }{ k_B }$

Los valores típicos de la temperatura de Einstein para distintos materiales se listan a continuación (valores calculados de los largos de onda de Einstein de su publicación)

Elemento	$\lambda_E$ [ $\mu$ ]	$\omega_E$ [ $1/s$ ]	$\Theta_E$ [ $K$ ]
$S,P$	42	4.49e+13	343.0
$Fl$	33	5.71e+13	436.5
$O$	21	8.98e+13	685.9
$SiO_2$	20	9.42e+13	720.2
$B$	15	1.26e+14	960.3
$H$	13	1.45e+14	1108.0
$C$	12	1.57e+14	1200.4

ID:(9543, 0)

Función partición en función de la temperatura de Einstein

Ecuación

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La función partición con beta $1/J$ , constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$ , energía macroscopica, deformación y constitución $J$ , frecuencia angular propia de Einstein $1/s$ , logaritmo de la función partición del solido de Einstein $-$ y numero de partículas $-$

$\ln Z = \beta N \eta -3 N \ln(1-e^{ -\beta \hbar \omega_E })$

con

$\eta = - 3V_0 -\displaystyle\frac{3}{2}\hbar\omega_E$

se puede reescribir con la temperatura de Einstein con constante de Boltzmann $J/K$ , constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$ , frecuencia angular propia de Einstein $1/s$ y temperatura de Einstein $K$

$\Theta_E =\displaystyle\frac{ \hbar \omega_E }{ k_B }$

con la definición de la energía mínima con

como con constante de Boltzmann $J/K$ , constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$ , frecuencia angular propia de Einstein $1/s$ y temperatura de Einstein $K$

$\ln Z_E =-\displaystyle\frac{3 N }{2}\displaystyle\frac{ \Theta_E }{ T }-\displaystyle\frac{ NV_0 }{ k_B T }-3 N \ln(1-e^{- \Theta_E / T })$

ID:(9551, 0)

Función partición a altas temperaturas ( $\Theta_E\ll T$ )

Ecuación

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En el limite de altas temperaturas, la función partición con constante de Boltzmann $J/K$ , energía potencial de deformación macroscopica $J$ , logaritmo de la función partición del solido de Einstein $-$ , temperatura $K$ y temperatura de Einstein $K$

$\ln Z_E =-\displaystyle\frac{3 N }{2}\displaystyle\frac{ \Theta_E }{ T }-\displaystyle\frac{ NV_0 }{ k_B T }-3 N \ln(1-e^{- \Theta_E / T })$

se puede expandir en serie de Taylor de \Theta_E/T lo que en tercer orden con constante de Boltzmann $J/K$ , energía potencial de deformación macroscopica $J$ , logaritmo de la función partición del solido de Einstein $-$ , temperatura $K$ y temperatura de Einstein $K$ es

$\ln Z =-\displaystyle\frac{ V_0 }{ k_B T }+\displaystyle\frac{3 N }{2}\left(\displaystyle\frac{ \Theta_E }{ T }\right)^2-\displaystyle\frac{ N }{2}\left(\displaystyle\frac{ \Theta_E }{ T }\right)^3+\ldots$

ID:(9552, 0)

Comparación entre modelos

Php

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Si se consideran los modelos clásicos, de Einstein y de Debye para

- el logarimo de la función partición
- la energía interna
- el calor específico
- la entropia

se obtienen las siguientes dependencias de la temperatura:

ID:(9560, 0)

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Función partición a altas temperaturas (\Theta_E\ll T\Theta_E\ll T)

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