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Modelo de Debye

Storyboard

>Modell

ID:(526, 0)

Modelo de Debye

Beschreibung

>Top

El modelo de Debye considera l soluciones del oscilador armónico mecánico cuántico y limita la existencia de las funciones de onda a el volumen del solido.\\n\\nSi suponemos que este se puede describir por un cubo de aristas L tendremos que las funciones de onda serán en cada dimensión del tipo\\n\\n

$\phi_n(x)=\phi_0e^{i\vec{k}_n\cdot\vec{x}}$

donde \vec{k}_n es el n-esimo vector de onda (la componente correspondiente).

ID:(1394, 0)

Distribución de modos y vector de Onda

Gleichung

>Top, >Modell

La distribución de modos corresponde al número de modos que esta definido por los correspondientes vectores de onda \vec{k}=(k_1,k_2,k_3) con cada componente igual a\\n\\n

$k_i=\displaystyle\frac{2\pi}{L} n_i,,,,, n_i=1,2,3,\ldots$

\\n\\ndonde L es el largo de uno de los lado del solido en la dirección i. Para obtener la distribución se debe sumar sobre todos los modos n_i o pasar al limite continuo e integrar sobre los vectores de onda k_i\\n\\n

$\displaystyle\sum_{n_1,n_2,n_3}^N 1 \rightarrow \displaystyle\frac{L^3}{(2\pi)^3}\displaystyle\int d^3k$

Si se asume simetría esférica se puede pasar a coordenadas esféricas con lo que la expresión queda

$\displaystyle\sum_{n_1,n_2,n_3}^N 1 \sim \displaystyle\frac{V}{2\pi^2}\displaystyle\int dk\, k^2$

donde se empleo el hecho que L^3 corresponde al volumen.

ID:(13261, 0)

Frecuencias angulares y vectores de Onda

Gleichung

>Top, >Modell

En un solido existen tanto el modo longitudinal, que viaja con una velocidad c_l como dos modos transversales con velocidad c_t.\\n\\nEn el limite lineal las frecuencias angulares son iguales a\\n\\n

$\omega=c_l\mid\vec{k}_l\mid$

\\n\\n

$\omega=c_t\mid\vec{k}_t\mid$

\\n\\ncon \vec{k}_l y \vec{k}_t los vectores de onda longitudinales y transversales. Para simplificar se puede introducir una velocidad del sonido c_s mediante\\n\\n

$\displaystyle\frac{3}{c_s}=\displaystyle\frac{1}{c_l}+\displaystyle\frac{2}{c_t}$

con la relación

$\omega=c_s\mid\vec{k}\mid$

ID:(13260, 0)

Distribución de frecuencias angulares

Gleichung

>Top, >Modell

Como la distribución de modos se puede estimar con la suma sobre estos con

$\displaystyle\sum_{n_1,n_2,n_3}^N 1 \sim \displaystyle\frac{V}{2\pi^2}\displaystyle\int dk\, k^2$

se tiene con

$\omega=c_s\mid\vec{k}\mid$

y el hecho que existen 3 modos distintos que con

$\sigma_D( \omega )d \omega =3\displaystyle\frac{ V }{2 \pi ^2 c_s ^3} \omega ^2 d \omega$

ID:(3900, 0)

Debye Frequenz

Gleichung

>Top, >Modell

Como la suma de los modos tiene que ser igual a 3N el espectro tiene que estar acotado tal que \\n\\n

$\displaystyle\int_0^{\omega_D}\sigma_D(\omega)d\omega=3\displaystyle\frac{V}{2\pi^3c_s^3}\int_0^{\omega_D}\omega^2d\omega=3N$

donde \omega_D se define como la frecuencia de Debye y su valor es con

$\omega_D = c_s \left(6 \pi ^2\displaystyle\frac{ N }{ V }\right)^{1/3}$

que corresponde al espectro.

ID:(3901, 0)

Distribución de Debye con frecuencia de Debye

Gleichung

>Top, >Modell

Como la suma distribución de Debye es con densidad de modos del solido de Debye $s$ , frecuencia angular $rad/s$ , pi $rad$ , velocidad del sonido efectiva $m/s$ und volumen del cuerpo $m^3$

$\sigma_D( \omega )d \omega =3\displaystyle\frac{ V }{2 \pi ^2 c_s ^3} \omega ^2 d \omega$

y la frecuencia de Debye con frecuencia angular de corte de Debye $1/s$ , numero de partículas $-$ , pi $rad$ , velocidad del sonido efectiva $m/s$ und volumen del cuerpo $m^3$

$\omega_D = c_s \left(6 \pi ^2\displaystyle\frac{ N }{ V }\right)^{1/3}$

se puede reescribir la primera como con frecuencia angular de corte de Debye $1/s$ , numero de partículas $-$ , pi $rad$ , velocidad del sonido efectiva $m/s$ und volumen del cuerpo $m^3$

$\sigma_D( \omega ) d\omega =\displaystyle\frac{9 N }{ \omega_D ^3} \omega ^2 \theta( \omega_D - \omega ) d\omega$

ID:(9563, 0)

Función partición del modelo de Debye

Gleichung

>Top, >Modell

La función partición general para un sistema de osciladores armónicos es con igual a

$\ln Z=\beta N\eta-\displaystyle\int_0^{\infty}d\omega\ln(1-e^{-\beta\hbar\omega})\sigma(\omega)$

que con la distribución de velocidades angulares según el modelo de Debye con densidad de modos del solido de Debye $s$ , frecuencia angular $rad/s$ , frecuencia angular de corte de Debye $1/s$ und numero de partículas $-$

$\sigma_D( \omega ) d\omega =\displaystyle\frac{9 N }{ \omega_D ^3} \omega ^2 \theta( \omega_D - \omega ) d\omega$

es igual con densidad de modos del solido de Debye $s$ , frecuencia angular $rad/s$ , frecuencia angular de corte de Debye $1/s$ und numero de partículas $-$ a

$\ln Z_D =- \beta N \eta +\displaystyle\frac{9 N }{ \omega_D ^3}\displaystyle\int_0^{ \omega_D } d\omega \omega ^2\ln(1-e^{- \beta \hbar \omega })$

ID:(9562, 0)

Energía mínima modelo de Debye

Gleichung

>Top, >Modell

La energía mínima es

$\eta \equiv - \displaystyle\frac{1}{ N }\left( V_0 + \displaystyle\frac{1}{2} \int_0^{\infty} \hbar \omega \sigma( \omega ) d \omega \right)$

por lo que con la densidad de modos

$\sigma_D( \omega ) d\omega =\displaystyle\frac{9 N }{ \omega_D ^3} \omega ^2 \theta( \omega_D - \omega ) d\omega$

$\eta = -\displaystyle\frac{1}{N}\left(V_0+\displaystyle\frac{9N}{8}\hbar\omega_D\right)$

ID:(13401, 0)

Temperatura de Debye

Gleichung

>Top, >Modell

Con la frecuencia angular de Debye

$\omega_D = c_s \left(6 \pi ^2\displaystyle\frac{ N }{ V }\right)^{1/3}$

se puede definir una temperatura de Debye de la forma

$\Theta_D = \displaystyle\frac{\hbar\omega_D}{k_B}$

ID:(13402, 0)

Función partición de Debye con Temperatura

Gleichung

>Top, >Modell

Con la función partición de Debye

$\ln Z_D =- \beta N \eta +\displaystyle\frac{9 N }{ \omega_D ^3}\displaystyle\int_0^{ \omega_D } d\omega \omega ^2\ln(1-e^{- \beta \hbar \omega })$

la energía mínima

$\eta = -\displaystyle\frac{1}{N}\left(V_0+\displaystyle\frac{9N}{8}\hbar\omega_D\right)$

y la temperatura de Debye

$\Theta_D = \displaystyle\frac{\hbar\omega_D}{k_B}$

se puede escribir la función partición como

$\ln Z_D = -\displaystyle\frac{9N}{8}\displaystyle\frac{\Theta_D}{T}-\displaystyle\frac{NV_0}{k_BT}-9N\left(\displaystyle\frac{T}{\Theta_D}\right)^3\displaystyle\int_0^{\Theta_D/T}du\,u^2\ln(1-e^{-u})$

ID:(13403, 0)

Innere Energie

Gleichung

>Top, >Modell

Con el logaritmo de la función partición es con beta $1/J$ , energía macroscopica, deformación y constitución $J$ , frecuencia angular $rad/s$ , frecuencia angular de corte de Debye $1/s$ , logaritmo de la función partición del solido de Debye $-$ und numero de partículas $-$

$\ln Z_D =- \beta N \eta +\displaystyle\frac{9 N }{ \omega_D ^3}\displaystyle\int_0^{ \omega_D } d\omega \omega ^2\ln(1-e^{- \beta \hbar \omega })$

se puede calcular la energía media mediante con

$\bar{E}=-\displaystyle\frac{\partial\ln Z}{\partial\beta}$

con lo que se obtiene con

$U = N \eta +\displaystyle\frac{9 N }{ \omega_D ^3}\displaystyle\int_0^{ \omega_D }\displaystyle\frac{ \hbar \omega }{e^{ \beta \hbar \omega }-1} \omega ^2 d\omega$

ID:(3897, 0)

Kalorische Kapazität

Gleichung

>Top, >Modell

La capacidad calórica se puede calcular de la energía media con mediante

$C_V = T DS_{T,V}$

por lo que con la energía interna con beta $1/J$ , constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$ , energía interna del solido de Debye $J$ , energía macroscopica, deformación y constitución $J$ , frecuencia angular $rad/s$ , frecuencia angular de corte de Debye $1/s$ und numero de partículas $-$

$U = N \eta +\displaystyle\frac{9 N }{ \omega_D ^3}\displaystyle\int_0^{ \omega_D }\displaystyle\frac{ \hbar \omega }{e^{ \beta \hbar \omega }-1} \omega ^2 d\omega$

y la definición con

$k_B T \equiv\displaystyle\frac{1}{ \beta }$

se obtiene con

$C_V =\displaystyle\frac{9 N k_B }{ \omega_D ^3}\displaystyle\int_0^{ \omega_D }\displaystyle\frac{ \hbar \omega }{(e^{ \beta \hbar \omega }-1)^2}( \beta \hbar \omega )^2 \omega ^2 d\omega$

ID:(3898, 0)

Kalorische Kapazität bei Hohe Temperaturgrenze

Gleichung

>Top, >Modell

En el caso de que la temperatura es alta el factor \beta tiende a cero y el factor\\n\\n

$\displaystyle\frac{\hbar\omega}{(e^{\beta\hbar\omega}-1)^2}(\beta\hbar\omega)^2\rightarrow 1$

\\n\\ncon lo que la capacidad calórica se reduce a\\n\\n

$C_V\rightarrow k\displaystyle\int_0^{\infty}\sigma(\omega)d\omega$

pero la suma de todos los modos debe ser igual a 3N por lo que la capacidad calórica se reduce con a

$C_V = 3 N k_B$

que corresponde a la ley de Dulong y Petit.

ID:(3899, 0)

Kalorische Kapazität bei Niedrige Temperature

Gleichung

>Top, >Modell

Cuando la temperatura es baja T\ll\Theta_D y se puede tomar el límite y\rightarrow \infty que significa que el limite superior de la integral es infinita\\n\\n

$f_D(y)\rightarrow\displaystyle\frac{3}{y^3}\int_0^{\infty}\displaystyle\frac{e^x}{(e^x-1)^2}x^4dx$

\\n\\nLa integral es un valor numérico\\n\\n

$\displaystyle\int_0^{\infty}\displaystyle\frac{e^x}{(e^x-1)^2}x^4dx=\displaystyle\frac{4\pi^4}{15}$

\\n\\ncon lo que la función de Debye es aproximadamente\\n\\n

$f_D(y)=\displaystyle\frac{4\pi^4}{15}\displaystyle\frac{1}{y^3}$

y la capacidad calórica resulta con

$C_V =\displaystyle\frac{12 \pi ^4}{5} N k_B \left(\displaystyle\frac{ T }{ \Theta_D }\right)^3$

que corresponde al espectro.

ID:(3906, 0)

Kalorische Kapazität des Debye-Modell

Gleichung

>Top, >Modell

En el caso del modelo de Debye la capacidad calórica es con beta $1/J$ , capacidad calorica a volumen constante del solido de Debye $J/K$ , constante de Boltzmann $J/K$ , constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$ , frecuencia angular $rad/s$ , frecuencia angular de corte de Debye $1/s$ und numero de partículas $-$

$C_V =\displaystyle\frac{9 N k_B }{ \omega_D ^3}\displaystyle\int_0^{ \omega_D }\displaystyle\frac{ \hbar \omega }{(e^{ \beta \hbar \omega }-1)^2}( \beta \hbar \omega )^2 \omega ^2 d\omega$

se calcula integrando con la densidad espectral cuadrática solo hasta la frecuencia de Debye con frecuencia angular de corte de Debye $1/s$ , numero de partículas $-$ , pi $rad$ , velocidad del sonido efectiva $m/s$ und volumen del cuerpo $m^3$

$\omega_D = c_s \left(6 \pi ^2\displaystyle\frac{ N }{ V }\right)^{1/3}$

con lo que se obtiene con frecuencia angular de corte de Debye $1/s$ , numero de partículas $-$ , pi $rad$ , velocidad del sonido efectiva $m/s$ und volumen del cuerpo $m^3$

$C_V = k_B \displaystyle\frac{3 V }{2 \pi ^2( c_s \beta \hbar )^3} \int_0^{ \beta \hbar \omega_D }\displaystyle\frac{e^ x }{(e^ x -1)^2} dx$

que corresponde al espectro.

ID:(3902, 0)

Kalorische Kapazität mit der Debye Funktion

Gleichung

>Top, >Modell

Como la capacidad calórica es con beta $1/J$ , capacidad calorica a volumen constante del solido de Debye $J/K$ , constante de Boltzmann $J/K$ , constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$ , frecuencia angular de corte de Debye $1/s$ , pi $rad$ , velocidad del sonido efectiva $m/s$ und volumen del cuerpo $m^3$ igual a

$C_V = k_B \displaystyle\frac{3 V }{2 \pi ^2( c_s \beta \hbar )^3} \int_0^{ \beta \hbar \omega_D }\displaystyle\frac{e^ x }{(e^ x -1)^2} dx$

\\n\\ncon la función de Debye\\n\\n

$f_D(y)=\displaystyle\frac{3}{y^3}\int_0^y\displaystyle\frac{e^x}{(e^x-1)^2}x^4dx$

la expresión se reduce con beta $1/J$ , capacidad calorica a volumen constante del solido de Debye $J/K$ , constante de Boltzmann $J/K$ , constante de Planck dividida por $2\pi$ $J s$ , frecuencia angular de corte de Debye $1/s$ , pi $rad$ , velocidad del sonido efectiva $m/s$ und volumen del cuerpo $m^3$ a

$C_V =3 N k_B f_D( \Theta_D / T )$

que corresponde al espectro.

ID:(3905, 0)

Comparación entre modelos

Php

>Top

Si se consideran los modelos clásicos, de Einstein y de Debye para

- el logarimo de la función partición
- la energía interna
- el calor específico
- la entropia

se obtienen las siguientes dependencias de la temperatura:

ID:(9560, 0)

0

Video

Video: Debye Modell