Die Energie, die erforderlich ist, um ein Objekt von der Winkelgeschwindigkeit $\omega_1$ auf die Winkelgeschwindigkeit $\omega_2$ zu ndern, kann mithilfe der Definition

berechnet werden. Unter Anwendung des zweiten Newtonschen Gesetzes kann diese Gleichung umgeschrieben werden als

$\Delta W=I \alpha \Delta\theta=I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}\Delta\theta$

Durch Verwendung der Definition der Winkelgeschwindigkeit

erhalten wir

$\Delta W=I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}\Delta\theta=I \omega \Delta\omega$

Die Differenz der Winkelgeschwindigkeiten ist

$\Delta\omega=\omega_2-\omega_1$

Andererseits kann die Winkelgeschwindigkeit selbst durch die durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit approximiert werden

$\omega=\displaystyle\frac{\omega_1+\omega_2}{2}$

Unter Verwendung beider Ausdr cke ergibt sich die Gleichung

$\Delta W=I \omega \Delta \omega=I(\omega_2-\omega_1)\displaystyle\frac{(\omega_1+\omega_2)}{2}=\displaystyle\frac{I}{2}(\omega_2^2-\omega_1^2)$

Damit ndert sich die Energie gem

$\Delta W=\displaystyle\frac{I}{2}\omega_2^2-\displaystyle\frac{I}{2}\omega_1^2$

Wir k nnen dies verwenden, um die kinetische Energie zu definieren

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Die Arbeits Varianz ($\Delta W$), die erforderlich ist, damit ein Objekt von die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$) auf die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) wechselt, wird durch das Anwenden eines der Drehmoment ($T$) erzeugt, das eine Winkelverschiebung die Differenz von Winkel ($\Delta\theta$) verursacht, gemäß:

Anwendung des zweiten Newtonschen Gesetzes für Rotation in Bezug auf der Trägheitsmoment für Achse, die nicht durch das CM verläuft ($I$) und die Mittlere Winkelbeschleunigung ($\bar{\alpha}$):

kann dieser Ausdruck umgeschrieben werden als:

$\Delta W = I \alpha \Delta\theta$

oder unter Verwendung von die Unterschied in der Winkelgeschwindigkeiten ($\Delta\omega$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$):

ergibt sich:

$\Delta W = I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t} \Delta\theta$

Durch Verwendung der Definition von die Mittlere Winkelgeschwindigkeit ($\bar{\omega}$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$):

resultiert:

$\Delta W = I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t} \Delta\theta = I\omega \Delta\omega$

wobei die Unterschied in der Winkelgeschwindigkeiten ($\Delta\omega$) sich ausdrückt als:

Andererseits kann die Winkelgeschwindigkeit durch die durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit angenähert werden:

$\bar{\omega}=\displaystyle\frac{\omega_1 + \oemga_2}{2}$

Durch die Kombination beider Ausdrücke ergibt sich:

$\Delta W = I \omega \Delta\omega = I(\omega_2 - \omega_1) \displaystyle\frac{(\omega_1 + \omega_2)}{2} = \displaystyle\frac{I}{2}(\omega_2^2 - \omega_1^2)$

Daher ergibt sich der Energieänderungsausdruck:

$\Delta W = \displaystyle\frac{I}{2}\omega_2^2 - \displaystyle\frac{I}{2}\omega_1^2$

Damit kann die Rotationskinetik wie folgt definiert werden:

(ID 3255)

Die Beziehung zwischen der Angular Momentum ($L$) und der Moment ($p$) wird wie folgt ausgedrückt:

Unter Verwendung von der Radius ($r$) lässt sich dieser Ausdruck mit der Massenträgheitsmoment ($I$) und die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) wie folgt gleichsetzen:

Durch anschließendes Ersetzen mit die Träge Masse ($m_i$) und die Geschwindigkeit ($v$):

und

ergibt sich schließlich, dass das Trägheitsmoment einer Teilchenmasse, die sich auf einer Umlaufbahn dreht, gleich ist:

(ID 3602)

(ID 3686)

(ID 3687)

Analog zur Beziehung zwischen die Geschwindigkeit ($v$) und die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) über der Radius ($r$), dargestellt durch die Gleichung:

kann eine Beziehung zwischen der Angular Momentum ($L$) und der Moment ($p$) im Kontext der Translation hergestellt werden. In diesem Fall ist der Multiplikationsfaktor jedoch nicht der Arm ($r$), sondern der Moment ($p$). Diese Beziehung wird beschrieben durch:

(ID 9874)

Die Gesamte kinetische Energie ($K$) entspricht der Summe von die Translational Kinetic Energy ($K_t$) und die Kinetische energie der rotation ($K_r$):

Da die Translational Kinetic Energy ($K_t$) in Abhängigkeit von die Träge Masse ($m_i$) und die Geschwindigkeit ($v$) ausgedrückt wird:

und die Kinetische energie der rotation ($K_r$) in Abhängigkeit von der Trägheitsmoment für Achse, die nicht durch das CM verläuft ($I$) und die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) definiert ist:

ergibt sich schließlich:

(ID 9944)

Weil die Gravitationskraft ist

Um eine Masse $m$ von einem Abstand $r_1$ zu einem Abstand $r_2$ vom Zentrum des Planeten zu bewegen, wird eine potenzielle Energie ben tigt

was zur Gravitationalen potenziellen Energie f hrt als

$W_2-W_1=\displaystyle\int_{r_1}^{r_2}\displaystyle\frac{GmM}{r^2}dr=\displaystyle\frac{GmM}{r_1}-\displaystyle\frac{GmM}{r_2}$

somit erhalten wir

(ID 12551)

(ID 12552)

Die Totale Energie ($E$) hängt von die Gesamte kinetische Energie ($K$) und die Allgemeine Gravitationspotentialenergie ($V$) ab, gemäß:

Befindet sich das Objekt in einer Umlaufbahn, setzt sich die Gesamte kinetische Energie ($K$) aus einem Translationsanteil und einem Rotationsanteil zusammen. Unter Berücksichtigung von die Träge Masse ($m_i$), die Geschwindigkeit ($v$), der Massenträgheitsmoment ($I$) und die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) ergibt sich:

Da der Angular Momentum ($L$) ist:

und mit die Abstand zum Mittelpunkt des Himmelskörpers ($r$) erhält man:

Auf der anderen Seite ist das Gravitationspotential, ausgedrückt durch die Masse des Himmelskörpers ($M$), die Gravitationsmasse ($m_g$) und die Gravitationskonstante ($G$):

Daraus folgt schließlich:

(ID 16251)