L' nergie n cessaire pour qu'un objet passe de la vitesse angulaire $\omega_1$ la vitesse angulaire $\omega_2$ peut tre calcul e l'aide de la d finition

Avec la deuxi me loi de Newton, nous pouvons r crire cette expression comme

$\Delta W=I \alpha \Delta\theta=I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}\Delta\theta$

En utilisant la d finition de la vitesse angulaire

nous obtenons

$\Delta W=I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}\Delta\theta=I,\omega,\Delta\omega$

La diff rence entre les vitesses angulaires est

$\Delta\omega=\omega_2-\omega_1$

D'autre part, la vitesse angulaire elle-m me peut tre approxim e par la vitesse angulaire moyenne

$\omega=\displaystyle\frac{\omega_1+\omega_2}{2}$

En utilisant ces deux expressions, nous obtenons l' quation

$\Delta W=I \omega \Delta \omega=I(\omega_2-\omega_1)\displaystyle\frac{(\omega_1+\omega_2)}{2}=\displaystyle\frac{I}{2}(\omega_2^2-\omega_1^2)$

Ainsi, l' nergie varie selon

$\Delta W=\displaystyle\frac{I}{2}\omega_2^2-\displaystyle\frac{I}{2}\omega_1^2$

Nous pouvons utiliser cela pour d finir l' nergie cin tique

(ID 3244)

A écart de travail ($\Delta W$) nécessaire pour quun objet passe de a vitesse angulaire initiale ($\omega_0$) à A vitesse angulaire ($\omega$) est obtenue en appliquant un a torque ($T$) qui produit un déplacement angulaire a différence d'angles ($\Delta\theta$), selon :

En appliquant la deuxième loi de Newton pour la rotation, avec a moment d\'inertie de l\'axe qui ne passe pas par le CM ($I$) et a accélération angulaire moyenne ($\bar{\alpha}$) :

cette expression peut être réécrite comme :

$\Delta W = I \alpha \Delta\theta$

ou, en utilisant a différence de vitesses angulaires ($\Delta\omega$) et le temps écoulé ($\Delta t$) :

nous obtenons :

$\Delta W = I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t} \Delta\theta$

En utilisant la définition de a vitesse angulaire moyenne ($\bar{\omega}$) et le temps écoulé ($\Delta t$) :

il en résulte :

$\Delta W = I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t} \Delta\theta = I\omega \Delta\omega$

où A différence de vitesses angulaires ($\Delta\omega$) sexprime comme :

Dautre part, la vitesse angulaire peut être approximée par la vitesse angulaire moyenne :

$\bar{\omega}=\displaystyle\frac{\omega_1 + \oemga_2}{2}$

En combinant les deux expressions, on obtient léquation :

$\Delta W = I \omega \Delta\omega = I(\omega_2 - \omega_1) \displaystyle\frac{(\omega_1 + \omega_2)}{2} = \displaystyle\frac{I}{2}(\omega_2^2 - \omega_1^2)$

Ainsi, la variation dénergie sexprime comme :

$\Delta W = \displaystyle\frac{I}{2}\omega_2^2 - \displaystyle\frac{I}{2}\omega_1^2$

Cela permet de définir lénergie cinétique de rotation comme :

(ID 3255)

La relation entre le moment cinétique ($L$) et le moment ($p$) sexprime comme suit :

En utilisant le radio ($r$), cette expression peut être mise en équation avec le moment d'inertie ($I$) et a vitesse angulaire ($\omega$) de la manière suivante :

Puis, en remplaçant avec a masse d'inertie ($m_i$) et a vitesse ($v$) :

et

on conclut que le moment dinertie dune particule en rotation sur une orbite est :

(ID 3602)

(ID 3686)

(ID 3687)

De la même manière que la relation entre a vitesse ($v$) et a vitesse angulaire ($\omega$) avec le radio ($r$) est exprimée par léquation :

on peut établir une relation entre le moment cinétique ($L$) et le moment ($p$) dans le contexte de la translation. Cependant, dans ce cas, le facteur multiplicatif nest pas a bras ($r$), mais plutôt le moment ($p$). Cette relation sexprime comme suit :

(ID 9874)

A énergie cinétique totale ($K$) correspond à la somme de a énergie cinétique translationnelle ($K_t$) et a énergie cinétique de rotation ($K_r$) :

Étant donné que a énergie cinétique translationnelle ($K_t$) sexprime en fonction de a masse d'inertie ($m_i$) et a vitesse ($v$) :

et que a énergie cinétique de rotation ($K_r$), en fonction de a moment d\'inertie de l\'axe qui ne passe pas par le CM ($I$) et a vitesse angulaire ($\omega$), se définit comme :

on obtient alors lexpression finale :

(ID 9944)

Comme la force gravitationnelle est

Pour d placer une masse $m$ d'une distance $r_1$ une distance $r_2$ du centre de la plan te, une nergie potentielle est n cessaire

ce qui entra ne l' nergie potentielle gravitationnelle comme tant

$W_2-W_1=\displaystyle\int_{r_1}^{r_2}\displaystyle\frac{GmM}{r^2}dr=\displaystyle\frac{GmM}{r_1}-\displaystyle\frac{GmM}{r_2}$

ainsi obtenue

(ID 12551)

(ID 12552)

A énergie totale ($E$) dépend de a énergie cinétique totale ($K$) et de a énergie potentielle gravitationnelle générale ($V$), selon :

Lorsque lobjet est en orbite, a énergie cinétique totale ($K$) se compose dune partie translationnelle et dune partie rotationnelle. En tenant compte de a masse d'inertie ($m_i$), a vitesse ($v$), le moment d'inertie ($I$) et a vitesse angulaire ($\omega$), on a :

Étant donné que le moment cinétique ($L$) est :

et en utilisant a distance au centre du corps céleste ($r$), on obtient :

Dautre part, le potentiel gravitationnel, en fonction de a masse du corps céleste ($M$), a masse gravitationnelle ($m_g$) et a constante gravitationnelle ($G$), est :

On en déduit donc que :

(ID 16251)