La variación del trabajo ($\Delta W$) necesaria para que un objeto cambie de la velocidad inicial ($v_0$) a la velocidad ($v$) se obtiene aplicando la fuerza ($F$) que produce un desplazamiento angular la distancia recorrida en un tiempo ($\Delta s$), según:

Aplicando la segunda ley de Newton para la rotación, en función de la masa inercial ($m_i$) y la aceleración constante ($a_0$):

esta expresión puede reescribirse como:

$\Delta W = m_i a \Delta s$

o, utilizando la diferencia de velocidad ($\Delta v$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$):

obtenemos:

$\Delta W = m_i\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t} \Delta s$

Si utilizamos la definición de la velocidad angular media ($\bar{\omega}$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$):

resulta:

$\Delta W = m_i\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t} \Delta s= m_i v \Delta v$

donde la diferencia de velocidad ($\Delta v$) se expresa como:

Por otro lado, la velocidad angular puede aproximarse mediante la velocidad angular promedio:

Combinando ambas expresiones, se obtiene la ecuación:

$\Delta W = m_i v \Delta v = m_i(v_2 - v_1) \displaystyle\frac{(v_1 + v_2)}{2} = \displaystyle\frac{I}{2}(v_2^2 - v_1^2)$

Por lo tanto, el cambio en la energía se expresa como:

$\Delta W = \displaystyle\frac{I}{2}v_2^2 - \displaystyle\frac{I}{2}v_1^2$

Lo que nos permite definir la energía cinética rotacional como:

(ID 3244)

La variación del trabajo ($\Delta W$) necesaria para que un objeto cambie de la velocidad angular inicial ($\omega_0$) a la velocidad angular ($\omega$) se obtiene aplicando un el torque ($T$) que produce un desplazamiento angular la diferencia de ángulos ($\Delta\theta$), según:

Aplicando la segunda ley de Newton para la rotación, en función de el momento de inercia para eje que no pasa por el CM ($I$) y la aceleración angular media ($\bar{\alpha}$):

esta expresión puede reescribirse como:

$\Delta W = I \alpha \Delta\theta$

o, utilizando la diferencia de velocidades angulares ($\Delta\omega$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$):

obtenemos:

$\Delta W = I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t} \Delta\theta$

Si utilizamos la definición de la velocidad angular media ($\bar{\omega}$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$):

resulta:

$\Delta W = I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t} \Delta\theta = I\omega \Delta\omega$

donde la diferencia de velocidades angulares ($\Delta\omega$) se expresa como:

Por otro lado, la velocidad angular puede aproximarse mediante la velocidad angular promedio:

$\bar{\omega}=\displaystyle\frac{\omega_1 + \oemga_2}{2}$

Combinando ambas expresiones, se obtiene la ecuación:

$\Delta W = I \omega \Delta\omega = I(\omega_2 - \omega_1) \displaystyle\frac{(\omega_1 + \omega_2)}{2} = \displaystyle\frac{I}{2}(\omega_2^2 - \omega_1^2)$

Por lo tanto, el cambio en la energía se expresa como:

$\Delta W = \displaystyle\frac{I}{2}\omega_2^2 - \displaystyle\frac{I}{2}\omega_1^2$

Lo que nos permite definir la energía cinética rotacional como:

(ID 3255)

La relación entre el momento Angular ($L$) y el momento ($p$) se expresa como:

Utilizando el radio ($r$), esta expresión puede igualarse con el momento de inercia ($I$) y la velocidad angular ($\omega$) de la siguiente manera:

Sustituyendo posteriormente mediante la masa inercial ($m_i$) y la velocidad ($v$):

y

se concluye que el momento de inercia de una partícula girando en una órbita es:

(ID 3602)

(ID 3686)

(ID 3687)

De manera análoga a la relación entre la velocidad ($v$) y la velocidad angular ($\omega$) mediante el radio ($r$), expresada en la ecuación:

podemos establecer una relación entre el momento Angular ($L$) y el momento ($p$) en el contexto de la traslación. No obstante, en este caso, el factor multiplicativo no es el brazo ($r$), sino el momento ($p$). Esta relación se expresa como:

(ID 9874)

La energía cinética total ($K$) corresponde a la suma de la energía cinética de traslación ($K_t$) y la energía cinética de rotación ($K_r$):

Dado que la energía cinética de traslación ($K_t$) se expresa en función de la masa inercial ($m_i$) y la velocidad ($v$) como:

y que la energía cinética de rotación ($K_r$), en función de el momento de inercia para eje que no pasa por el CM ($I$) y la velocidad angular ($\omega$), se define como:

se obtiene finalmente:

(ID 9944)

Dado que la fuerza gravitacional es

Para mover una masa $m$ desde una distancia $r_1$ a una distancia $r_2$ del centro del planeta, se requiere una energ a potencial

lo que resulta en la energ a potencial gravitacional como

$W_2-W_1=\displaystyle\int_{r_1}^{r_2}\displaystyle\frac{GmM}{r^2}dr=\displaystyle\frac{GmM}{r_1}-\displaystyle\frac{GmM}{r_2}$

por lo tanto, obtenemos

(ID 12551)

(ID 12552)

La energía total ($E$) depende de la energía cinética total ($K$) y de la energía potencial gravitacional general ($V$), según:

Cuando el objeto está en órbita, la energía cinética total ($K$) se compone de una parte traslacional y otra rotacional. Considerando la masa inercial ($m_i$), la velocidad ($v$), el momento de inercia ($I$) y la velocidad angular ($\omega$), se tiene:

Dado que el momento Angular ($L$) es:

y usando la distancia al centro del cuerpo celeste ($r$), se obtiene:

Por otra parte, el potencial gravitacional, en función de la masa del cuerpo celeste ($M$), la masa gravitacional ($m_g$) y la constante gravitacional ($G$), es:

Por lo tanto, se concluye que:

(ID 16251)