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Mathematischen Pendel
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Bei einem Pendel aus einer Punktmasse ergibt sich die potentielle Energie aus der Erhöhung der Masse gegen das Gravitationsfeld, wenn das Pendel um einen bestimmten Winkel abweicht.
ID:(1420, 0)
Mathematischen Pendel
Beschreibung
Im Fall eines Pendels mit Punktmasse wird die potenzielle Energie durch das Anheben der Masse gegen das Gravitationsfeld erzeugt, wenn das Pendel um einen bestimmten Winkel ausgelenkt wird.
Variablen
Berechnungen
zu 
,
dann die Variable auswählen: 
zu 
Berechnungen
Variable
Gegeben
Berechnen
Ziel :
Gleichung
Zu verwenden
Gleichungen
(ID 3687)
Die potenzielle Gravitationsenergie eines Pendels mit Masse
| $ U = m g L (1-\cos \theta )$ |
wobei
F r kleine Winkel kann die Kosinus-Funktion durch eine Taylor-Reihenentwicklung bis zur zweiten Ordnung approximiert werden
$\cos\theta\sim 1-\displaystyle\frac{1}{2}\theta^2$
Diese N herung f hrt zu einer Vereinfachung der potenziellen Energie zu
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
(ID 4514)
Die Kinetische Energie der Punktmasse ($K$) in Bezug auf die Träge Masse ($m_i$), der Pendel Länge ($L$) und die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) wird ausgedrückt durch:
| $ K =\displaystyle\frac{1}{2} m_i L ^2 \omega ^2$ |
Analog dazu wird die Potenzielle Energie Pendulum ($V$) in Abhängigkeit von die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und die Gravitationsmasse ($m_g$) beschrieben durch:
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
Unter Berücksichtigung von der Schwenkwinkel ($\theta$) ergibt sich die Gleichung für die Gesamtenergie als:
$E = \displaystyle\frac{1}{2}m r^2 \omega^2 + \displaystyle\frac{1}{2}m g r \theta^2$
Da die Zeit ($T$) gleich ist:
$T = 2\pi\displaystyle\sqrt{\displaystyle\frac{m r^2}{m g r}} = 2\pi\displaystyle\sqrt{\displaystyle\frac{r}{g}}$
Kann die Beziehung für die Kreisfrequenz Mathematische Pendel ($\omega_0$) wie folgt aufgestellt werden:
| $ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ g }{ L }$ |
(ID 4516)
(ID 12338)
(ID 12552)
Mit der komplexen Zahl
| $ z = x_0 \cos \omega_0 t + i x_0 \sin \omega_0 t $ |
eingef hrt in
| $ \dot{z} = i \omega_0 z $ |
erhalten wir
$\dot{z} = i\omega_0 z = i \omega_0 x_0 \cos \omega_0 t - \omega_0 x_0 \sin \omega_0 t$
daher wird die Geschwindigkeit als der Realteil erhalten
| $ v = - x_0 \omega_0 \sin \omega_0 t $ |
(ID 14076)
Beispiele
Eine wirkungsvolle Methode zur Untersuchung der Schwingung eines mathematischen Pendels ist die Darstellung seiner Bewegung im Phasenraum, der das System ber Impuls und Position beschreibt. In diesem Fall entspricht der Impuls dem Drehimpuls, w hrend die Position durch den Ablenkwinkel dargestellt wird:
(ID 15849)
Ein Pendel wird beschrieben als eine die Gravitationsmasse ($m_g$), die an einer Schnur aufgehängt ist, die am Drehpunkt befestigt ist, in einem Abstand von der Pendel Länge ($L$). Es wird als mathematisches Pendel bezeichnet, da es eine Idealisierung des physikalischen Pendels darstellt, bei der die Masse als Punktmasse betrachtet wird, also an einem einzigen Punkt konzentriert ist.
(ID 7098)
Ein Pendel besteht aus die Gravitationsmasse ($m_g$), das an einer Schnur aufgehängt ist, die am Drehpunkt von der Pendel Länge ($L$) befestigt ist. Dieses Modell wird als mathematisches Pendel bezeichnet, da es eine Idealisierung des physikalischen Pendels darstellt, bei der die gesamte Masse in einem Punkt konzentriert ist.
(ID 1180)
(ID 15852)
Die Totale Energie ($E$) entspricht der Summe von die Gesamte kinetische Energie ($K$) und die Potenzielle Energie ($V$):
| $ E = K + V $ |
(ID 3687)
Die kinetische Energie eines rotierenden K rpers ist gegeben durch
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
wobei $I$ das Tr gheitsmoment und $\omega$ die Winkelgeschwindigkeit ist. F r eine Punktmasse $m$, die sich in einer Entfernung $L$ von einer Achse dreht, ist das Tr gheitsmoment
| $ I = m L ^2$ |
somit ergibt sich
| $ K =\displaystyle\frac{1}{2} m_i L ^2 \omega ^2$ |
(ID 4515)
Die potenzielle Gravitationsenergie eines Pendels ist
| $ U = m g L (1-\cos \theta )$ |
die f r kleine Winkel approximiert werden kann als:
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
Es ist wichtig zu beachten, dass der Winkel in Radiant angegeben sein muss.
(ID 4514)
Die Massen, die Newton in seinen Prinzipien verwendete, sind mit der Tr gheit der K rper verbunden, was zum Konzept von die Träge Masse ($m_i$) f hrt.
Das nach Newton benannte Gesetz, das die Kraft zwischen K rpern aufgrund ihrer Massen beschreibt, ist mit der Gravitation verbunden und wird daher als die Gravitationsmasse ($m_g$) bezeichnet.
Empirisch wurde festgestellt, dass beide Massen quivalent sind, und daher definieren wir
| $ m_g = m_i $ |
Einstein war derjenige, der diese Gleichheit in Frage stellte und von diesem Zweifel aus verstand, warum beide in seiner Gravitationstheorie "gleich erscheinen". In seinem Argument erkl rte Einstein, dass Massen den Raum verformen, und diese Raumverformung f hrt zu einer Ver nderung des Verhaltens von K rpern. Auf diese Weise erweisen sich die Massen als quivalent. Das revolution re Konzept der Raumkr mmung impliziert, dass selbst Licht, das keine Masse hat, von Himmelsk rpern beeinflusst wird, was der Gravitationstheorie von Newton widerspricht. Dies wurde experimentell durch die Untersuchung des Verhaltens von Licht w hrend einer Sonnenfinsternis nachgewiesen. In dieser Situation werden Lichtstrahlen aufgrund der Anwesenheit der Sonne abgelenkt, was es erm glicht, Sterne hinter ihr zu beobachten.
(ID 12552)
Die Kreisfrequenz Mathematische Pendel ($\omega_0$) wird in Abhängigkeit von die Gravitationsbeschleunigung ($g$) und der Pendel Länge ($L$) bestimmt durch:
| $ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ g }{ L }$ |
(ID 4516)
Die Winkelfrequenz ($\omega$) ist mit die Zeit ($T$) gleich
| $ \omega = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$ |
(ID 12335)
Die Frequenz des Schalls ($\nu$) entspricht der Anzahl der Schwingungen, die innerhalb einer Sekunde auftreten. Die Zeit ($T$) repr sentiert die Zeit, die f r eine einzelne Schwingung ben tigt wird. Daher ist die Anzahl der Schwingungen pro Sekunde:
| $ \nu =\displaystyle\frac{1}{ T }$ |
Die Frequenz wird in Hertz (Hz) angegeben.
(ID 4427)
Die Beziehung zwischen die Winkelfrequenz ($\omega$) und die Frequenz des Schalls ($\nu$) wird ausgedrückt als:
| $ \omega = 2 \pi \nu $ |
(ID 12338)
Mit der Beschreibung der Schwingung mittels
| $ z = x_0 \cos \omega_0 t + i x_0 \sin \omega_0 t $ |
entspricht der Realteil der zeitlichen Entwicklung der Amplitude
| $ x = x_0 \cos \omega_0 t $ |
(ID 14074)
Wenn wir den Realteil der Ableitung der komplexen Zahl extrahieren, die die Schwingung repr sentiert
| $ \dot{z} = i \omega_0 z $ |
deren Realteil der Geschwindigkeit entspricht
| $ v = - x_0 \omega_0 \sin \omega_0 t $ |
(ID 14076)
ID:(1420, 0)