A energia necess ria para que um objeto passe da velocidade angular $\omega_1$ para a velocidade angular $\omega_2$ pode ser calculada usando a defini o

Com a segunda lei de Newton, podemos reescrever essa express o como

$\Delta W=I \alpha \Delta\theta=I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}\Delta\theta$

Usando a defini o de velocidade angular

obtemos

$\Delta W=I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}\Delta\theta=I \omega \Delta\omega$

A diferen a entre as velocidades angulares

$\Delta\omega=\omega_2-\omega_1$

Por outro lado, a pr pria velocidade angular pode ser aproximada pela velocidade angular m dia

$\omega=\displaystyle\frac{\omega_1+\omega_2}{2}$

Usando ambas as express es, obtemos a equa o

$\Delta W=I \omega \Delta \omega=I(\omega_2-\omega_1)\displaystyle\frac{(\omega_1+\omega_2)}{2}=\displaystyle\frac{I}{2}(\omega_2^2-\omega_1^2)$

Assim, a energia varia de acordo com

$\Delta W=\displaystyle\frac{I}{2}\omega_2^2-\displaystyle\frac{I}{2}\omega_1^2$

Podemos usar isso para definir a energia cin tica

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La variação de trabalho ($\Delta W$) necessária para que um objeto mude de la velocidade angular inicial ($\omega_0$) para la velocidade angular ($\omega$) é obtida aplicando um la torque ($T$) que gera um deslocamento angular la diferença de ângulos ($\Delta\theta$), de acordo com:

Aplicando a segunda lei de Newton para rotação, em função de la momento de inércia do eixo que não passa pelo CM ($I$) e la aceleração angular média ($\bar{\alpha}$):

essa expressão pode ser reescrita como:

$\Delta W = I \alpha \Delta\theta$

ou, utilizando la diferença de velocidades angulares ($\Delta\omega$) e o tempo decorrido ($\Delta t$):

temos:

$\Delta W = I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t} \Delta\theta$

Utilizando a definição de la velocidade angular média ($\bar{\omega}$) e o tempo decorrido ($\Delta t$):

obtém-se:

$\Delta W = I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t} \Delta\theta = I\omega \Delta\omega$

onde la diferença de velocidades angulares ($\Delta\omega$) é expresso como:

Por outro lado, a velocidade angular pode ser aproximada pela velocidade angular média:

$\bar{\omega}=\displaystyle\frac{\omega_1 + \oemga_2}{2}$

Combinando ambas as expressões, obtemos:

$\Delta W = I \omega \Delta\omega = I(\omega_2 - \omega_1) \displaystyle\frac{(\omega_1 + \omega_2)}{2} = \displaystyle\frac{I}{2}(\omega_2^2 - \omega_1^2)$

Assim, a variação da energia é expressa como:

$\Delta W = \displaystyle\frac{I}{2}\omega_2^2 - \displaystyle\frac{I}{2}\omega_1^2$

Isso nos permite definir a energia cinética de rotação como:

(ID 3255)

A relação entre o momento angular ($L$) e o momento ($p$) é expressa como:

Utilizando o rádio ($r$), esta expressão pode ser igualada com o momento de inércia ($I$) e la velocidade angular ($\omega$) da seguinte forma:

Substituindo depois por la massa inercial ($m_i$) e la velocidade ($v$):

e

conclui-se que o momento de inércia de uma partícula que gira em uma órbita é:

(ID 3602)

(ID 3686)

(ID 3687)

Assim como a relação entre la velocidade ($v$) e la velocidade angular ($\omega$) com o rádio ($r$) é expressa pela equação:

podemos estabelecer uma relação entre o momento angular ($L$) e o momento ($p$) no contexto da translação. No entanto, neste caso, o fator multiplicativo não é La braço ($r$), mas sim o momento ($p$). Esta relação é expressa como:

(ID 9874)

La energia cinética total ($K$) corresponde à soma de la energia cinética translacional ($K_t$) e la energia cinética rotacional ($K_r$):

Sendo que la energia cinética translacional ($K_t$) se expressa em função de la massa inercial ($m_i$) e la velocidade ($v$):

e la energia cinética rotacional ($K_r$), em função de la momento de inércia do eixo que não passa pelo CM ($I$) e la velocidade angular ($\omega$), é definida como:

obtém-se, portanto, a expressão final:

(ID 9944)

Como a for a gravitacional

Para mover uma massa $m$ de uma dist ncia $r_1$ para uma dist ncia $r_2$ a partir do centro do planeta, necess ria uma energia potencial

resultando na energia potencial gravitacional sendo

$W_2-W_1=\displaystyle\int_{r_1}^{r_2}\displaystyle\frac{GmM}{r^2}dr=\displaystyle\frac{GmM}{r_1}-\displaystyle\frac{GmM}{r_2}$

assim obtendo

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(ID 12552)

La energia total ($E$) depende de la energia cinética total ($K$) e la energia potencial gravitacional geral ($V$), de acordo com:

Quando o objeto está em órbita, la energia cinética total ($K$) é composto por uma parte translacional e uma parte rotacional. Considerando la massa inercial ($m_i$), la velocidade ($v$), o momento de inércia ($I$) e la velocidade angular ($\omega$), temos:

Sendo o momento angular ($L$):

e usando la distância ao centro do corpo celeste ($r$), obtém-se:

Por outro lado, o potencial gravitacional, em função de la massa do corpo celeste ($M$), la massa gravitacional ($m_g$) e la constante gravitacional ($G$), é:

Portanto, conclui-se que:

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