Utilizador:
Energia cinética total
Storyboard 
A energia cinética total é a soma da energia cinética de translação e da energia cinética de rotação.
Essa distinção é importante porque, dependendo de como um objeto se move, a energia cinética pode ser distribuída de maneira diferente entre translação e rotação, afetando a velocidade com que se move.
ID:(1418, 0)
Cilindro que gira em torno do eixo $\parallel$
Imagem
Uma rotação de um cilindro com massa $m$ e raio $r$ em torno do eixo do cilindro, onde o centro de massa (CM) está localizado a meia altura:
ID:(10964, 0)
Modelo
Top
Parâmetros
Variáveis
Cálculos
para 
, depois, selecione a variável: 
para 
Cálculos
Cálculos
Variáve 
Dado Calcular 
Objetivo : Equação A ser usado 
Equações
$ I_{CM} =\displaystyle\frac{2}{5} m r_e ^2$
I_CM = 2 * m * r_e ^ 2 / 5
$ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{2} m r_c ^2$
I_CM = m * r_c ^2/2
$ K = K_t + K_r $
K = K_t + K_r
$ K =\displaystyle\frac{1}{2} m v ^2+\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$
K = m * v ^2/2+ I * omega ^2/2
$ K =\displaystyle\frac{1}{2}\left( m + \displaystyle\frac{ I }{ r ^2}\right) v ^2$
K =( m + I / r ^2) * v ^2/2
$ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$
K_r = I * omega ^2/2
$ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$
K_t = m_i * v ^2/2
ID:(15607, 0)
Momento de inércia do cilindro, eixo $\parallel$
Equação
O momento de inércia de um cilindro que está em rotação em torno de um eixo paralelo ($\parallel$) que passa pelo centro é obtido ao dividir o corpo em pequenos volumes e somá-los:
resultando em
| $ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{2} m r_c ^2$ |
.
ID:(4434, 0)
Momento de inércia de uma esfera
Equação
O momento de inércia de uma esfera que gira em torno de um eixo que passa pelo centro é obtido pela segmentação do corpo em pequenos volumes e somando:
resultando em
| $ I_{CM} =\displaystyle\frac{2}{5} m r_e ^2$ |
.
ID:(4436, 0)
Energia cinética translacional
Equação
No caso em que se estuda a translação, a definição de energia
| $ dW = \vec{F} \cdot d\vec{s} $ |
é aplicada ao segundo princípio de Newton
| $ F = m_i a $ |
resultando na expressão
| $ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$ |
A energia necessária para que um objeto passe da velocidade $v_1$ para a velocidade $v_2$ pode ser calculada usando a definição com
| $ dW = \vec{F} \cdot d\vec{s} $ |
Com a segunda lei de Newton, essa expressão pode ser reescrita como
$\Delta W = m a \Delta s = m\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}\Delta s$
Usando a definição de velocidade com
| $ \bar{v} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$ |
obtemos
$\Delta W = m\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}\Delta s = m v \Delta v$
onde a diferença de velocidades é
$\Delta v = v_2 - v_1$
Além disso, a velocidade em si pode ser aproximada pela velocidade média
$v = \displaystyle\frac{v_1 + v_2}{2}$
Usando ambas as expressões, obtemos a expressão
$\Delta W = m v \Delta v = m(v_2 - v_1)\displaystyle\frac{(v_1 + v_2)}{2} = \displaystyle\frac{m}{2}(v_2^2 - v_1^2)$
Portanto, a energia varia conforme
$\Delta W = \displaystyle\frac{m}{2}v_2^2 - \displaystyle\frac{m}{2}v_1^2$
Dessa forma, podemos definir a energia cinética
| $ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$ |
ID:(3244, 0)
Energia cinética rotacional
Equação
No caso em que se estuda a translação, a definição de energia
| $ \Delta W = T \Delta\theta $ |
é aplicada à segunda lei de Newton
| $ T = I \alpha $ |
resultando na expressão
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
A energia necessária para que um objeto passe da velocidade angular $\omega_1$ para a velocidade angular $\omega_2$ pode ser calculada usando a definição
| $ \Delta W = T \Delta\theta $ |
Com a segunda lei de Newton, podemos reescrever essa expressão como
$\Delta W=I \alpha \Delta\theta=I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}\Delta\theta$
Usando a definição de velocidade angular
| $ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$ |
obtemos
$\Delta W=I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}\Delta\theta=I \omega \Delta\omega$
A diferença entre as velocidades angulares é
$\Delta\omega=\omega_2-\omega_1$
Por outro lado, a própria velocidade angular pode ser aproximada pela velocidade angular média
$\omega=\displaystyle\frac{\omega_1+\omega_2}{2}$
Usando ambas as expressões, obtemos a equação
$\Delta W=I \omega \Delta \omega=I(\omega_2-\omega_1)\displaystyle\frac{(\omega_1+\omega_2)}{2}=\displaystyle\frac{I}{2}(\omega_2^2-\omega_1^2)$
Assim, a energia varia de acordo com
$\Delta W=\displaystyle\frac{I}{2}\omega_2^2-\displaystyle\frac{I}{2}\omega_1^2$
Podemos usar isso para definir a energia cinética
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
ID:(3255, 0)
Energia cinética total
Equação
A energia cinética pode ser de translação e/ou de rotação. Portanto, a energia cinética total é a soma de ambas:
| $ K = K_t + K_r $ |
ID:(3686, 0)
Energia cinética total com detalhes
Equação
A energia cinética total é calculada somando as energias cinéticas de translação e rotação
| $ K = K_t + K_r $ |
portanto, temos:
| $ K =\displaystyle\frac{1}{2} m v ^2+\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
A energia cinética total
| $ K = K_t + K_r $ |
é a soma da energia cinética de translação
| $ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$ |
e a energia cinética de rotação
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
portanto, temos:
| $ K =\displaystyle\frac{1}{2} m v ^2+\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
ID:(9944, 0)
Energia cinética de um objeto rolante
Equação
Quando um objeto rola,
sua velocidade angular está relacionada à velocidade de translação por meio de
| $ v = r \omega $ |
resultando na energia cinética de rotação
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
e, consequentemente, gerando uma energia cinética total
| $ K =\displaystyle\frac{1}{2}\left( m + \displaystyle\frac{ I }{ r ^2}\right) v ^2$ |
Quando um objeto rola, sua velocidade angular está relacionada à velocidade de translação por meio de
| $ v = r \omega $ |
resultando na energia cinética de rotação
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
que se torna
$K_r=\displaystyle\frac{1}{2}I \omega^2=\displaystyle\frac{1}{2} I \displaystyle\frac{v^2}{r^2}=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{I}{r^2}\right)v^2$
Assim, combinando a energia cinética de translação
a energia cinética de um corpo que gira é calculada pela soma
| $ K = K_t + K_r $ |
ou seja,
| $ K =\displaystyle\frac{1}{2}\left( m + \displaystyle\frac{ I }{ r ^2}\right) v ^2$ |
ID:(9877, 0)