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Energía cinética total
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La energía cinética total es la suma de la energía cinética de traslación y la energía cinética de rotación.
Esta distinción es importante porque dependiendo de cómo se mueva un objeto, la energía cinética puede distribuirse de manera diferente entre la traslación y la rotación, lo que afecta la velocidad con la que se desplaza.
ID:(1418, 0)
Cilindro que rota en torno a eje $\parallel$
Imagen
Una rotación de un cilindro con masa $m$ y radio $r$ alrededor del eje del cilindro, donde el centro de masa (CM) se encuentra a media altura:
ID:(10964, 0)
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Cálculos
Variable 
Dado Calcule 
Objetivo : Ecuación A utilizar 
Ecuaciones
$ I_{CM} =\displaystyle\frac{2}{5} m r_e ^2$
I_CM = 2 * m * r_e ^ 2 / 5
$ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{2} m r_c ^2$
I_CM = m * r_c ^2/2
$ K = K_t + K_r $
K = K_t + K_r
$ K =\displaystyle\frac{1}{2} m v ^2+\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$
K = m * v ^2/2+ I * omega ^2/2
$ K =\displaystyle\frac{1}{2}\left( m + \displaystyle\frac{ I }{ r ^2}\right) v ^2$
K =( m + I / r ^2) * v ^2/2
$ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$
K_r = I * omega ^2/2
$ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$
K_t = m_i * v ^2/2
ID:(15607, 0)
Momento de inercia de cilindro, eje $\parallel$
Ecuación
El momento de inercia de un cilindro que rota alrededor de un eje paralelo ($\parallel$) que pasa por el centro se calcula al dividir el cuerpo en pequeños volúmenes y sumarlos:
| $ I =\displaystyle\int_V r ^2 \rho dV $ |
lo que resulta en
| $ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{2} m r_c ^2$ |
.
ID:(4434, 0)
Momento de inercia de una esfera
Ecuación
El momento de inercia de una esfera en rotación alrededor de un eje que atraviesa su centro se obtiene mediante la segmentación del cuerpo en pequeños volúmenes y sumando:
| $ I =\displaystyle\int_V r ^2 \rho dV $ |
lo que resulta en
| $ I_{CM} =\displaystyle\frac{2}{5} m r_e ^2$ |
.
ID:(4436, 0)
Energía cinética de traslación
Ecuación
En el caso de estudiar la traslación, la definición de la energía
| $ dW = \vec{F} \cdot d\vec{s} $ |
se aplica al segundo principio de Newton
| $ F = m_i a $ |
lo que nos lleva a la expresión
| $ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$ |
La energía necesaria para que un objeto cambie su velocidad de $v_1$ a $v_2$ se puede calcular utilizando la definición con
| $ dW = \vec{F} \cdot d\vec{s} $ |
Usando la segunda ley de Newton, esta expresión se puede reescribir como
$\Delta W = m a \Delta s = m\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}\Delta s$
Empleando la definición de velocidad con
| $ \bar{v} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$ |
obtenemos
$\Delta W = m\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}\Delta s = m v \Delta v$
donde la diferencia de velocidades es
$\Delta v = v_2 - v_1$
Además, la velocidad en sí misma puede aproximarse con la velocidad promedio
$v = \displaystyle\frac{v_1 + v_2}{2}$
Usando ambas expresiones, llegamos a
$\Delta W = m v \Delta v = m(v_2 - v_1)\displaystyle\frac{(v_1 + v_2)}{2} = \displaystyle\frac{m}{2}(v_2^2 - v_1^2)$
Así, el cambio en la energía se expresa como
$\Delta W = \displaystyle\frac{m}{2}v_2^2 - \displaystyle\frac{m}{2}v_1^2$
De esta manera, podemos definir la energía cinética
| $ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$ |
ID:(3244, 0)
Energía cinética de rotación
Ecuación
En el caso de estudio de la translación, la definición de la energía
| $ \Delta W = T \Delta\theta $ |
se aplica al segundo principio de Newton
| $ T = I \alpha $ |
lo que nos lleva a la expresión
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
La energía necesaria para que un objeto cambie su velocidad angular de $\omega_1$ a $\omega_2$ se puede calcular utilizando la definición
| $ \Delta W = T \Delta\theta $ |
Aplicando la segunda ley de Newton, esta expresión se puede reescribir como
$\Delta W=I \alpha \Delta\theta=I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}\Delta\theta$
Utilizando la definición de velocidad angular
| $ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$ |
obtenemos
$\Delta W=I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}\Delta\theta=I \omega \Delta\omega$
La diferencia en las velocidades angulares es
$\Delta\omega=\omega_2-\omega_1$
Por otro lado, la velocidad angular en sí se puede aproximar con la velocidad angular promedio
$\omega=\displaystyle\frac{\omega_1+\omega_2}{2}$
Utilizando ambas expresiones, obtenemos la ecuación
$\Delta W=I \omega \Delta \omega=I(\omega_2-\omega_1)\displaystyle\frac{(\omega_1+\omega_2)}{2}=\displaystyle\frac{I}{2}(\omega_2^2-\omega_1^2)$
Así, el cambio en la energía está dado por
$\Delta W=\displaystyle\frac{I}{2}\omega_2^2-\displaystyle\frac{I}{2}\omega_1^2$
Esto nos permite definir la energía cinética como
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
ID:(3255, 0)
Energía cinética total
Ecuación
La energía cinética puede ser de traslación y/o de rotación. Por lo tanto, la energía cinética total es la suma de ambas:
| $ K = K_t + K_r $ |
ID:(3686, 0)
Energía cinética total con detalle
Ecuación
La énergie cinétique totale se calcule en additionnant les énergies cinétiques de translation et de rotation
| $ K = K_t + K_r $ |
ce qui nous donne :
| $ K =\displaystyle\frac{1}{2} m v ^2+\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
La energía cinética total
| $ K = K_t + K_r $ |
es la suma de la energía cinética de traslación
| $ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$ |
y la energía cinética de rotación
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
por lo tanto, se obtiene:
| $ K =\displaystyle\frac{1}{2} m v ^2+\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
ID:(9944, 0)
Energía cinética de un objeto que rueda
Ecuación
Cuando un objeto rueda,
su velocidad angular se relaciona con la velocidad de traslación mediante
| $ v = r \omega $ |
lo que nos lleva a la energía cinética de rotación
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
y, en consecuencia, a la obtención de una energía cinética total
| $ K =\displaystyle\frac{1}{2}\left( m + \displaystyle\frac{ I }{ r ^2}\right) v ^2$ |
Cuando un objeto rueda, su velocidad angular está relacionada con la velocidad de traslación a través de
| $ v = r \omega $ |
lo cual conduce a la energía cinética de rotación
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
que se expresa como
$K_r=\displaystyle\frac{1}{2}I \omega^2=\displaystyle\frac{1}{2} I \displaystyle\frac{v^2}{r^2}=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{I}{r^2}\right)v^2$
Así, combinando la energía cinética de traslación
| $ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$ |
la energía cinética de un cuerpo que rota se calcula mediante la suma
| $ K = K_t + K_r $ |
es decir,
| $ K =\displaystyle\frac{1}{2}\left( m + \displaystyle\frac{ I }{ r ^2}\right) v ^2$ |
ID:(9877, 0)