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Gesamte kinetische Energie
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Die Gesamtkinetische Energie ist die Summe aus der kinetischen Energie der Translation und der kinetischen Energie der Rotation.
Diese Unterscheidung ist wichtig, da je nach Bewegungsart eines Objekts die kinetische Energie unterschiedlich zwischen Translation und Rotation verteilt sein kann, was die Geschwindigkeit beeinflusst, mit der es sich bewegt.
ID:(1418, 0)
Zylinder, der sich um die Achse $\parallel$ dreht
Bild
Die Drehung eines Zylinders mit Masse $m$ und Radius $r$ um die Achse des Zylinders, wobei sich der Schwerpunkt (CM) in halber Höhe befindet:
ID:(10964, 0)
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, dann die Variable auswählen: 
zu 
Berechnungen
Berechnungen
Variable 
Gegeben Berechnen 
Ziel : Gleichung Zu verwenden 
Gleichungen
$ I_{CM} =\displaystyle\frac{2}{5} m r_e ^2$
I_CM = 2 * m * r_e ^ 2 / 5
$ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{2} m r_c ^2$
I_CM = m * r_c ^2/2
$ K = K_t + K_r $
K = K_t + K_r
$ K =\displaystyle\frac{1}{2} m v ^2+\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$
K = m * v ^2/2+ I * omega ^2/2
$ K =\displaystyle\frac{1}{2}\left( m + \displaystyle\frac{ I }{ r ^2}\right) v ^2$
K =( m + I / r ^2) * v ^2/2
$ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$
K_r = I * omega ^2/2
$ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$
K_t = m_i * v ^2/2
ID:(15607, 0)
Zylinderträgheitsmoment, Achse $\parallel$
Gleichung
Das Trägheitsmoment eines Zylinders, der sich um eine zur Hauptachse parallele Achse ($\parallel$) dreht und die durch das Zentrum verläuft, wird ermittelt, indem der Körper in kleine Volumeneinheiten unterteilt und sie summiert werden:
| $ I =\displaystyle\int_V r ^2 \rho dV $ |
was zu folgendem Ergebnis führt:
| $ I_{CM} =\displaystyle\frac{1}{2} m r_c ^2$ |
.
ID:(4434, 0)
Trägheitsmoment einer Kugel
Gleichung
Das Trägheitsmoment einer Kugel, die sich um eine Achse dreht, die durch ihr Zentrum verläuft, wird durch die Segmentierung des Körpers in kleine Volumeneinheiten und deren Addition gewonnen:
| $ I =\displaystyle\int_V r ^2 \rho dV $ |
was zu folgendem Ergebnis führt:
| $ I_{CM} =\displaystyle\frac{2}{5} m r_e ^2$ |
.
ID:(4436, 0)
Translationalle kinetische Energie
Gleichung
Im Fall der Untersuchung von translatorischer Bewegung wird die Definition von Energie
| $ dW = \vec{F} \cdot d\vec{s} $ |
auf das zweite Newtonsche Gesetz angewendet
| $ F = m_i a $ |
und es ergibt sich der Ausdruck
| $ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$ |
Die Energie, die benötigt wird, um ein Objekt von der Geschwindigkeit $v_1$ auf die Geschwindigkeit $v_2$ zu bringen, kann mithilfe der Definition mit berechnet werden.
| $ dW = \vec{F} \cdot d\vec{s} $ |
Unter Verwendung des zweiten Newtonschen Gesetzes kann dieser Ausdruck umgeschrieben werden als
$\Delta W = m a \Delta s = m\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}\Delta s$
Mit Hilfe der Geschwindigkeitsdefinition mit
| $ \bar{v} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$ |
erhalten wir
$\Delta W = m\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}\Delta s = m v \Delta v$
wobei die Differenz der Geschwindigkeiten ist
$\Delta v = v_2 - v_1$
Zudem kann die Geschwindigkeit selbst durch die Durchschnittsgeschwindigkeit angenähert werden
$v = \displaystyle\frac{v_1 + v_2}{2}$
Unter Verwendung beider Ausdrücke gelangen wir zu
$\Delta W = m v \Delta v = m(v_2 - v_1)\displaystyle\frac{(v_1 + v_2)}{2} = \displaystyle\frac{m}{2}(v_2^2 - v_1^2)$
So lässt sich die Änderung der Energie ausdrücken als
$\Delta W = \displaystyle\frac{m}{2}v_2^2 - \displaystyle\frac{m}{2}v_1^2$
Auf diese Weise können wir die kinetische Energie definieren
| $ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$ |
ID:(3244, 0)
Kinetische Energie der Rotation
Gleichung
Im untersuchten Fall der Translation wird die Definition der Energie
| $ \Delta W = T \Delta\theta $ |
auf das zweite Newtonsche Gesetz angewendet
| $ T = I \alpha $ |
und es ergibt sich der Ausdruck
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
Die Energie, die erforderlich ist, um ein Objekt von der Winkelgeschwindigkeit $\omega_1$ auf die Winkelgeschwindigkeit $\omega_2$ zu ändern, kann mithilfe der Definition
| $ \Delta W = T \Delta\theta $ |
berechnet werden. Unter Anwendung des zweiten Newtonschen Gesetzes kann diese Gleichung umgeschrieben werden als
$\Delta W=I \alpha \Delta\theta=I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}\Delta\theta$
Durch Verwendung der Definition der Winkelgeschwindigkeit
| $ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$ |
erhalten wir
$\Delta W=I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}\Delta\theta=I \omega \Delta\omega$
Die Differenz der Winkelgeschwindigkeiten ist
$\Delta\omega=\omega_2-\omega_1$
Andererseits kann die Winkelgeschwindigkeit selbst durch die durchschnittliche Winkelgeschwindigkeit approximiert werden
$\omega=\displaystyle\frac{\omega_1+\omega_2}{2}$
Unter Verwendung beider Ausdrücke ergibt sich die Gleichung
$\Delta W=I \omega \Delta \omega=I(\omega_2-\omega_1)\displaystyle\frac{(\omega_1+\omega_2)}{2}=\displaystyle\frac{I}{2}(\omega_2^2-\omega_1^2)$
Damit ändert sich die Energie gemäß
$\Delta W=\displaystyle\frac{I}{2}\omega_2^2-\displaystyle\frac{I}{2}\omega_1^2$
Wir können dies verwenden, um die kinetische Energie zu definieren
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
ID:(3255, 0)
Gesamte Kinetische Energie
Gleichung
Die kinetische Energie kann aus Translation und/oder Rotation stammen. Daher ist die Gesamtkinetische Energie die Summe beider:
| $ K = K_t + K_r $ |
ID:(3686, 0)
Gesamte kinetische Energie mit Details
Gleichung
Die Gesamtkinetische Energie wird berechnet, indem man die kinetischen Energien von Translation und Rotation addiert
| $ K = K_t + K_r $ |
also haben wir:
| $ K =\displaystyle\frac{1}{2} m v ^2+\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
Die Gesamtkinetische Energie
| $ K = K_t + K_r $ |
ist die Summe aus der translationskinetischen Energie
| $ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$ |
und der rotationskinetischen Energie
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
also ergibt sich:
| $ K =\displaystyle\frac{1}{2} m v ^2+\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
ID:(9944, 0)
Kinetische Energie eines rollenden Objekts
Gleichung
Wenn ein Objekt rollt,
wird seine Winkelgeschwindigkeit durch seine translatorische Geschwindigkeit in Beziehung gesetzt durch
| $ v = r \omega $ |
was zur rotationskinetischen Energie führt
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
und folglich zu einer Gesamtkinetischen Energie führt
| $ K =\displaystyle\frac{1}{2}\left( m + \displaystyle\frac{ I }{ r ^2}\right) v ^2$ |
Wenn ein Objekt rollt, ist seine Winkelgeschwindigkeit durch seine translatorische Geschwindigkeit verbunden über
| $ v = r \omega $ |
was zur rotationskinetischen Energie führt
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
die sich ergibt zu
$K_r=\displaystyle\frac{1}{2}I \omega^2=\displaystyle\frac{1}{2} I \displaystyle\frac{v^2}{r^2}=\displaystyle\frac{1}{2}\left(\displaystyle\frac{I}{r^2}\right)v^2$
Daher ergibt sich bei Kombination der translationskinetischen Energie
| $ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$ |
die kinetische Energie eines rotierenden Körpers aus der Summe
| $ K = K_t + K_r $ |
bedeutend,
| $ K =\displaystyle\frac{1}{2}\left( m + \displaystyle\frac{ I }{ r ^2}\right) v ^2$ |
ID:(9877, 0)