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Konstante Winkelbeschleunigung, zwei Stufen
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Im Falle einer beschleunigten Winkelbewegung in zwei Phasen wird beim Übergang von der ersten zur zweiten Winkelbeschleunigung die Endwinkelgeschwindigkeit der ersten Phase zur Anfangswinkelgeschwindigkeit der zweiten Phase. Das Gleiche gilt für den Winkel, wobei der Endwinkel der ersten Phase dem Anfangswinkel der zweiten Phase entspricht.
Im Gegensatz zum Modell mit zwei Winkelgeschwindigkeiten weist dieses Modell keine Diskontinuitätsprobleme auf, außer dass die Winkelbeschleunigung sich abrupt ändern kann, was technisch möglich ist, aber oft nicht sehr realistisch ist.
ID:(1409, 0)
Zweistufige Bewegung
Bild
In einem Szenario mit zweistufiger Bewegung passt das Objekt zunächst seine Geschwindigkeit um den Unterschied von die Variation der Winkelgeschwindigkeiten in der ersten Stufe ($\Delta\omega_1$) über einen Zeitraum von der In der ersten Phase verstrichene Zeit ($\Delta t_1$) an und erfährt dabei eine Beschleunigung von die Winkelbeschleunigung während der ersten Stufe ($\alpha_1$).
| $ \alpha_1 \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega_1 }{ \Delta t_1 }$ |
In der zweiten Stufe ändert das Objekt seine Geschwindigkeit weiterhin um die Variation der Winkelgeschwindigkeiten in der zweiten Stufe ($\Delta\omega_2$) über einen Zeitraum von der In der zweiten Phase verbrachte Zeit ($\Delta t_2$) mit einer Beschleunigung von die Winkelbeschleunigung während der zweiten Stufe ($\alpha_2$).
| $ \alpha_2 \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega_2 }{ \Delta t_2 }$ |
Graphisch dargestellt ergibt dies ein Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm, wie unten gezeigt:
Es ist wichtig zu beachten, dass die Zeitintervalle der In der ersten Phase verstrichene Zeit ($\Delta t_1$) und der In der zweiten Phase verbrachte Zeit ($\Delta t_2$) aufeinanderfolgend sind, ebenso wie die Geschwindigkeitsänderungen die Variation der Winkelgeschwindigkeiten in der ersten Stufe ($\Delta\omega_1$) und die Variation der Winkelgeschwindigkeiten in der zweiten Stufe ($\Delta\omega_2$).
ID:(12521, 0)
Winkelgeschwindigkeit in einer zweistufigen Bewegung
Notiz
Bei der Analyse einer in zwei Phasen segmentierten Bewegung ist die erste Phase durch eine lineare Funktion gekennzeichnet, die die Punkte der Startzeit ($t_0$), der Endzeit der ersten und Beginn der zweiten Etappe ($t_1$), die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$) und die Erste Endwinkelgeschwindigkeit und Beginn der zweiten Stufe ($\omega_1$) umfasst. Diese wird durch eine Gerade mit der Steigung die Winkelbeschleunigung während der ersten Stufe ($\alpha_1$) ausgedrückt, deren mathematische Beziehung in der folgenden Gleichung spezifiziert ist:
| $ \omega_1 = \omega_0 + \alpha_1 ( t_1 - t_0 )$ |
Beim Übergang zur zweiten Phase, die durch die Punkte die Erste Endwinkelgeschwindigkeit und Beginn der zweiten Stufe ($\omega_1$), die Endwinkelgeschwindigkeit der zweiten Stufe ($\omega_2$), der Endzeit der ersten und Beginn der zweiten Etappe ($t_1$) und der Endzeit der zweiten Etappe ($t_2$) definiert wird, wird eine neue lineare Funktion mit einer Steigung von die Winkelbeschleunigung während der zweiten Stufe ($\alpha_2$) übernommen. Diese Beziehung wird durch die zweite vorgestellte Gleichung dargelegt:
| $ \omega_2 = \omega_1 + \alpha_2 ( t_2 - t_1 )$ |
Die grafische Darstellung dieser linearen Beziehungen wird unten illustriert und bietet eine klare Visualisierung, wie sich die Steigung zwischen den beiden Phasen verändert:
ID:(12522, 0)
Winkels in einer zweistufigen Bewegung
Zitat
In einem Szenario mit einer Bewegung, die in zwei Phasen unterteilt ist, entspricht der Winkel am Ende der ersten Phase dem Winkel am Anfang der zweiten Phase, gekennzeichnet als der Der erste Schlusswinkel und die zweite Etappe begannen ($\theta_1$).
Ebenso fällt der Zeitpunkt, an dem die erste Phase endet, mit dem Beginn der zweiten Phase zusammen, markiert durch der Endzeit der ersten und Beginn der zweiten Etappe ($t_1$).
Da die Bewegung durch die erfahrene Winkelbeschleunigung definiert wird, muss die Winkelgeschwindigkeit am Ende der ersten Phase mit der Anfangswinkelgeschwindigkeit der zweiten Phase übereinstimmen, angezeigt durch die Erste Endwinkelgeschwindigkeit und Beginn der zweiten Stufe ($\omega_1$).
Im Kontext einer konstanten Winkelbeschleunigung wird der Winkel bei der Der erste Schlusswinkel und die zweite Etappe begannen ($\theta_1$) durch die Variablen der Anfangswinkel ($\theta_0$), die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$), die Winkelbeschleunigung während der ersten Stufe ($\alpha_1$), der Endzeit der ersten und Beginn der zweiten Etappe ($t_1$) und der Startzeit ($t_0$) bestimmt, wie in der folgenden Gleichung gezeigt:
| $ \theta_1 = \theta_0 + \omega_0 ( t_1 - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_1 ( t_1 - t_0 )^2$ |
In der zweiten Phase wird der Winkel bei die Endwinkel der zweiten Stufe ($\theta_2$) basierend auf der Der erste Schlusswinkel und die zweite Etappe begannen ($\theta_1$), die Erste Endwinkelgeschwindigkeit und Beginn der zweiten Stufe ($\omega_1$), die Winkelbeschleunigung während der zweiten Stufe ($\alpha_2$), der Endzeit der ersten und Beginn der zweiten Etappe ($t_1$) und der Endzeit der zweiten Etappe ($t_2$) berechnet, gemäß:
| $ \theta_2 = \theta_1 + \omega_1 ( t_2 - t_1 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_2 ( t_2 - t_1 )^2$ |
Die grafische Darstellung dieser Beziehungen wird unten illustriert:
ID:(12520, 0)
Konstante Winkelbeschleunigung, zwei Stufen
Beschreibung
Im Falle einer beschleunigten Winkelbewegung in zwei Phasen wird beim Übergang von der ersten zur zweiten Winkelbeschleunigung die Endwinkelgeschwindigkeit der ersten Phase zur Anfangswinkelgeschwindigkeit der zweiten Phase. Das Gleiche gilt für den Winkel, wobei der Endwinkel der ersten Phase dem Anfangswinkel der zweiten Phase entspricht. Im Gegensatz zum Modell mit zwei Winkelgeschwindigkeiten weist dieses Modell keine Diskontinuitätsprobleme auf, außer dass die Winkelbeschleunigung sich abrupt ändern kann, was technisch möglich ist, aber oft nicht sehr realistisch ist.
Variablen
Berechnungen
zu 
,
dann die Variable auswählen: 
zu 
Berechnungen
Variable
Gegeben
Berechnen
Ziel :
Gleichung
Zu verwenden
Gleichungen
Die Definition der durchschnittlichen Winkelbeschleunigung basiert auf dem zur ckgelegten Winkel
| $ \Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 $ |
und der verstrichenen Zeit
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
Die Beziehung zwischen beiden wird als die durchschnittliche Winkelbeschleunigung definiert
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
innerhalb dieses Zeitintervalls.
(ID 3234)
Die Definition der durchschnittlichen Winkelbeschleunigung basiert auf dem zur ckgelegten Winkel
| $ \Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 $ |
und der verstrichenen Zeit
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
Die Beziehung zwischen beiden wird als die durchschnittliche Winkelbeschleunigung definiert
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
innerhalb dieses Zeitintervalls.
(ID 3234)
Angesichts dessen, dass die Mittlere Beschleunigung ($\bar{a}$) gleich die Geschwindigkeit Unterschied ($\Delta v$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) gem
| $ \bar{a} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta t }$ |
und die Mittlere Winkelbeschleunigung ($\bar{\alpha}$) gleich die Unterschied in der Winkelgeschwindigkeiten ($\Delta\omega$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) laut
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
ist, folgt daraus, dass
$\bar{a}=\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}=r\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=\bar{\alpha}$
Unter der Annahme, dass die Mittlere Winkelbeschleunigung ($\bar{\alpha}$) gleich die Constant Angular Acceleration ($\alpha_0$) ist
| $ \bar{\alpha} = \alpha_0 $ |
und angenommen, dass die Mittlere Beschleunigung ($\bar{a}$) gleich die konstante Beschleunigung ($a_0$) ist
| $ a_0 = \bar{a} $ |
ergibt sich folgende Gleichung:
| $ a = r \alpha $ |
(ID 3236)
Angesichts dessen, dass die Mittlere Beschleunigung ($\bar{a}$) gleich die Geschwindigkeit Unterschied ($\Delta v$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) gem
| $ \bar{a} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta t }$ |
und die Mittlere Winkelbeschleunigung ($\bar{\alpha}$) gleich die Unterschied in der Winkelgeschwindigkeiten ($\Delta\omega$) und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) laut
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
ist, folgt daraus, dass
$\bar{a}=\displaystyle\frac{\Delta v}{\Delta t}=r\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=\bar{\alpha}$
Unter der Annahme, dass die Mittlere Winkelbeschleunigung ($\bar{\alpha}$) gleich die Constant Angular Acceleration ($\alpha_0$) ist
| $ \bar{\alpha} = \alpha_0 $ |
und angenommen, dass die Mittlere Beschleunigung ($\bar{a}$) gleich die konstante Beschleunigung ($a_0$) ist
| $ a_0 = \bar{a} $ |
ergibt sich folgende Gleichung:
| $ a = r \alpha $ |
(ID 3236)
Wenn wir annehmen, dass die Mittlere Winkelbeschleunigung ($\bar{\alpha}$) konstant und gleich die Constant Angular Acceleration ($\alpha_0$) ist, dann gilt die folgende Gleichung:
| $ \bar{\alpha} = \alpha_0 $ |
Daher, unter Ber cksichtigung von die Unterschied in der Winkelgeschwindigkeiten ($\Delta\omega$) zusammen mit die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) und die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$):
| $ \Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 $ |
und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) in Bezug auf der Zeit ($t$) und der Startzeit ($t_0$):
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
kann die Gleichung f r die Mittlere Winkelbeschleunigung ($\bar{\alpha}$):
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
wie folgt ausgedr ckt werden:
$\alpha_0 = \alpha = \displaystyle\frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \displaystyle\frac{\omega - \omega_0}{t - t_0}$
Durch Aufl sen erhalten wir:
| $ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
(ID 3237)
Wenn wir annehmen, dass die Mittlere Winkelbeschleunigung ($\bar{\alpha}$) konstant und gleich die Constant Angular Acceleration ($\alpha_0$) ist, dann gilt die folgende Gleichung:
| $ \bar{\alpha} = \alpha_0 $ |
Daher, unter Ber cksichtigung von die Unterschied in der Winkelgeschwindigkeiten ($\Delta\omega$) zusammen mit die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) und die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$):
| $ \Delta\omega = \omega_2 - \omega_1 $ |
und der Abgelaufene Zeit ($\Delta t$) in Bezug auf der Zeit ($t$) und der Startzeit ($t_0$):
| $ \Delta t \equiv t - t_0 $ |
kann die Gleichung f r die Mittlere Winkelbeschleunigung ($\bar{\alpha}$):
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
wie folgt ausgedr ckt werden:
$\alpha_0 = \alpha = \displaystyle\frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \displaystyle\frac{\omega - \omega_0}{t - t_0}$
Durch Aufl sen erhalten wir:
| $ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
(ID 3237)
Im Fall von die Constant Angular Acceleration ($\alpha_0$) folgt die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) als Funktion von der Zeit ($t$) einer linearen Beziehung mit der Startzeit ($t_0$) und die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$) in der Form:
| $ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
Da der zur ckgelegte Winkel gleich der Fl che unter der Kurve der Winkelgeschwindigkeit-Zeit ist, kann in diesem Fall der Beitrag des Rechtecks:
$\omega_0(t-t_0)$
und des Dreiecks:
$\displaystyle\frac{1}{2}\alpha_0(t-t_0)^2$
hinzugef gt werden.
Dies f hrt uns zu dem Ausdruck f r der Winkel ($\theta$) und der Anfangswinkel ($\theta_0$):
| $ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$ |
(ID 3682)
Im Fall von die Constant Angular Acceleration ($\alpha_0$) folgt die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) als Funktion von der Zeit ($t$) einer linearen Beziehung mit der Startzeit ($t_0$) und die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$) in der Form:
| $ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
Da der zur ckgelegte Winkel gleich der Fl che unter der Kurve der Winkelgeschwindigkeit-Zeit ist, kann in diesem Fall der Beitrag des Rechtecks:
$\omega_0(t-t_0)$
und des Dreiecks:
$\displaystyle\frac{1}{2}\alpha_0(t-t_0)^2$
hinzugef gt werden.
Dies f hrt uns zu dem Ausdruck f r der Winkel ($\theta$) und der Anfangswinkel ($\theta_0$):
| $ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$ |
(ID 3682)
Wenn wir die Zeit in der Gleichung von die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) aufl sen, die die Variablen die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$), der Zeit ($t$), der Startzeit ($t_0$) und die Constant Angular Acceleration ($\alpha_0$) umfasst:
| $ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
erhalten wir den folgenden Ausdruck f r die Zeit:
$t - t_0 = \displaystyle\frac{\omega - \omega_0}{\alpha_0}$
Diese L sung kann in die Gleichung eingesetzt werden, um der Winkel ($\theta$) unter Verwendung von der Anfangswinkel ($\theta_0$) wie folgt zu berechnen:
| $ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$ |
was in der folgenden Gleichung resultiert:
| $ \theta = \theta_0 +\displaystyle\frac{ \omega ^2- \omega_0 ^2}{2 \alpha_0 }$ |
(ID 4386)
Wenn wir die Zeit in der Gleichung von die Winkelgeschwindigkeit ($\omega$) aufl sen, die die Variablen die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$), der Zeit ($t$), der Startzeit ($t_0$) und die Constant Angular Acceleration ($\alpha_0$) umfasst:
| $ \omega = \omega_0 + \alpha_0 ( t - t_0 )$ |
erhalten wir den folgenden Ausdruck f r die Zeit:
$t - t_0 = \displaystyle\frac{\omega - \omega_0}{\alpha_0}$
Diese L sung kann in die Gleichung eingesetzt werden, um der Winkel ($\theta$) unter Verwendung von der Anfangswinkel ($\theta_0$) wie folgt zu berechnen:
| $ \theta = \theta_0 + \omega_0 ( t - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_0 ( t - t_0 )^2$ |
was in der folgenden Gleichung resultiert:
| $ \theta = \theta_0 +\displaystyle\frac{ \omega ^2- \omega_0 ^2}{2 \alpha_0 }$ |
(ID 4386)
Beispiele
(ID 15413)
In einem Szenario mit zweistufiger Bewegung passt das Objekt zun chst seine Geschwindigkeit um den Unterschied von die Variation der Winkelgeschwindigkeiten in der ersten Stufe ($\Delta\omega_1$) ber einen Zeitraum von der In der ersten Phase verstrichene Zeit ($\Delta t_1$) an und erf hrt dabei eine Beschleunigung von die Winkelbeschleunigung während der ersten Stufe ($\alpha_1$).
| $ \alpha_1 \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega_1 }{ \Delta t_1 }$ |
In der zweiten Stufe ndert das Objekt seine Geschwindigkeit weiterhin um die Variation der Winkelgeschwindigkeiten in der zweiten Stufe ($\Delta\omega_2$) ber einen Zeitraum von der In der zweiten Phase verbrachte Zeit ($\Delta t_2$) mit einer Beschleunigung von die Winkelbeschleunigung während der zweiten Stufe ($\alpha_2$).
| $ \alpha_2 \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega_2 }{ \Delta t_2 }$ |
Graphisch dargestellt ergibt dies ein Geschwindigkeits-Zeit-Diagramm, wie unten gezeigt:
Es ist wichtig zu beachten, dass die Zeitintervalle der In der ersten Phase verstrichene Zeit ($\Delta t_1$) und der In der zweiten Phase verbrachte Zeit ($\Delta t_2$) aufeinanderfolgend sind, ebenso wie die Geschwindigkeits nderungen die Variation der Winkelgeschwindigkeiten in der ersten Stufe ($\Delta\omega_1$) und die Variation der Winkelgeschwindigkeiten in der zweiten Stufe ($\Delta\omega_2$).
(ID 12521)
Bei der Analyse einer in zwei Phasen segmentierten Bewegung ist die erste Phase durch eine lineare Funktion gekennzeichnet, die die Punkte der Startzeit ($t_0$), der Endzeit der ersten und Beginn der zweiten Etappe ($t_1$), die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$) und die Erste Endwinkelgeschwindigkeit und Beginn der zweiten Stufe ($\omega_1$) umfasst. Diese wird durch eine Gerade mit der Steigung die Winkelbeschleunigung während der ersten Stufe ($\alpha_1$) ausgedr ckt, deren mathematische Beziehung in der folgenden Gleichung spezifiziert ist:
| $ \omega_1 = \omega_0 + \alpha_1 ( t_1 - t_0 )$ |
Beim bergang zur zweiten Phase, die durch die Punkte die Erste Endwinkelgeschwindigkeit und Beginn der zweiten Stufe ($\omega_1$), die Endwinkelgeschwindigkeit der zweiten Stufe ($\omega_2$), der Endzeit der ersten und Beginn der zweiten Etappe ($t_1$) und der Endzeit der zweiten Etappe ($t_2$) definiert wird, wird eine neue lineare Funktion mit einer Steigung von die Winkelbeschleunigung während der zweiten Stufe ($\alpha_2$) bernommen. Diese Beziehung wird durch die zweite vorgestellte Gleichung dargelegt:
| $ \omega_2 = \omega_1 + \alpha_2 ( t_2 - t_1 )$ |
Die grafische Darstellung dieser linearen Beziehungen wird unten illustriert und bietet eine klare Visualisierung, wie sich die Steigung zwischen den beiden Phasen ver ndert:
(ID 12522)
In einem Szenario mit einer Bewegung, die in zwei Phasen unterteilt ist, entspricht der Winkel am Ende der ersten Phase dem Winkel am Anfang der zweiten Phase, gekennzeichnet als der Der erste Schlusswinkel und die zweite Etappe begannen ($\theta_1$).
Ebenso f llt der Zeitpunkt, an dem die erste Phase endet, mit dem Beginn der zweiten Phase zusammen, markiert durch der Endzeit der ersten und Beginn der zweiten Etappe ($t_1$).
Da die Bewegung durch die erfahrene Winkelbeschleunigung definiert wird, muss die Winkelgeschwindigkeit am Ende der ersten Phase mit der Anfangswinkelgeschwindigkeit der zweiten Phase bereinstimmen, angezeigt durch die Erste Endwinkelgeschwindigkeit und Beginn der zweiten Stufe ($\omega_1$).
Im Kontext einer konstanten Winkelbeschleunigung wird der Winkel bei der Der erste Schlusswinkel und die zweite Etappe begannen ($\theta_1$) durch die Variablen der Anfangswinkel ($\theta_0$), die Anfängliche Winkelgeschwindigkeit ($\omega_0$), die Winkelbeschleunigung während der ersten Stufe ($\alpha_1$), der Endzeit der ersten und Beginn der zweiten Etappe ($t_1$) und der Startzeit ($t_0$) bestimmt, wie in der folgenden Gleichung gezeigt:
| $ \theta_1 = \theta_0 + \omega_0 ( t_1 - t_0 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_1 ( t_1 - t_0 )^2$ |
In der zweiten Phase wird der Winkel bei die Endwinkel der zweiten Stufe ($\theta_2$) basierend auf der Der erste Schlusswinkel und die zweite Etappe begannen ($\theta_1$), die Erste Endwinkelgeschwindigkeit und Beginn der zweiten Stufe ($\omega_1$), die Winkelbeschleunigung während der zweiten Stufe ($\alpha_2$), der Endzeit der ersten und Beginn der zweiten Etappe ($t_1$) und der Endzeit der zweiten Etappe ($t_2$) berechnet, gem :
| $ \theta_2 = \theta_1 + \omega_1 ( t_2 - t_1 )+\displaystyle\frac{1}{2} \alpha_2 ( t_2 - t_1 )^2$ |
Die grafische Darstellung dieser Beziehungen wird unten illustriert:
(ID 12520)
(ID 15424)
ID:(1409, 0)