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Se considera una columna con agua con un orificio en su parte inferior. El vaciado es monitoreado obteniendo una velocidad de salida en función de la altura de la columna.

Si los datos se modelan con Bernoulli pero la salida por el orificio se modela con Hagen Poiseville con lo que se logra corregir el problema del caso en que se asumio sin viscosidad.

>Modelo

ID:(1428, 0)

Concepto

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ID:(15492, 0)

Descripción

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Si dejamos caer una pequeña esfera de radio $a$ en un medio con viscosidad $\eta$, esta experimentará una aceleración hasta que la fuerza gravitacional,

$mg=\displaystyle\frac{4\pi}{3}a^3\rho_sg$

donde $\rho_s$ es la densidad del material de la esfera, se iguale a la fuerza viscosa,

$6\pi \eta a v$

siendo $v$ la velocidad de la esfera.

De esta manera, es posible estimar la viscosidad del medio midiendo la velocidad, ya que se cumple la ecuación:

$\displaystyle\frac{4\pi}{3}a^3\rho_sg =6\pi \eta a v$

En esta imagen se puede apreciar el comportamiento de la esfera:

ID:(9871, 0)

Descripción

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Esto significa que a medida que la columna se va vaciando y la altura $h$ se reduce, la velocidad $v$ también disminuye de manera proporcional.

Los parámetros clave son:

• Diámetro interior de la cubeta: 93 mm

• Diámetro interior del canal de evacuación: 3 mm

• Longitud del canal de evacuación: 18 mm

Estos parámetros son importantes para comprender y analizar el proceso de vaciado de la columna y cómo la velocidad de salida varía con la altura.

ID:(9870, 0)

Descripción

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Si analizamos la ecuación

que describe la aplicación de Hagen-Poiseuille, se observa que la curva solo coincide con los datos experimentales en los siguientes casos:

La velocidad es baja (cuando la columna está casi vacía).

El radio del canal de evacuación debe reducirse de 1,5 mm a 0,6 mm.

Esto muestra que el flujo es principalmente turbulento y que solo a niveles de baja velocidad la velocidad es lo suficientemente baja como para que el número de Reynolds sea bajo y el flujo sea laminar.

ID:(11065, 0)

Imagen

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Si observamos el recorrido que realiza la bolita en el tiempo, podemos notar que en gran medida se desplaza a una velocidad constante de aproximadamente 0,31 metros en 25 segundos, es decir, 0,0124 m/s.

Despejando la igualdad entre la fuerza gravitacional y la fuerza de resistencia de Stokes:

$\displaystyle\frac{4\pi}{3}a^3\rho_sg =6\pi \eta a v$

obtenemos que:

$\eta = \displaystyle\frac{2 a^2\rho_sg}{9 v}$

Considerando que la bolita tiene un radio de 2 mm y pesa 8 mg, podemos calcular que su densidad es aproximadamente $\rho_s\sim 2,38 g/cm^3$. Por lo tanto, la viscosidad resultante es aproximadamente $\eta\sim 1,67 Pa s$.

ID:(9881, 0)

Concepto

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Parámetro seleccionado

Cálculos

ID:(15494, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Si observamos la ecuación para el vaciado de una columna de líquido viscoso:

podemos condensar las constantes en una unidad de tiempo característica:

$ \tau_{hp} = \displaystyle\frac{S \Delta L}{\pi R^4}\displaystyle\frac{8 \eta}{\rho g}$

Condiciones

Variables

$g$

Aceleración gravitacional

9.8

$m/s^2$

$\rho$

Densidad

$kg/m^3$

$\Delta L$

Largo de tubo

$m$

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

$R$

Radio del cilindro

$m$

$S$

Sección del tubo

$m^2$

$\tau_{hp}$

Tiempo característico columna con Hagen Pouseuille

$s$

$\eta$

Viscosidad

$Pa s$

Relación

Este valor se convierte en un tiempo característico para el vaciado de una columna de sección $S$ de un líquido viscoso con viscosidad $\eta$, que fluye a través de un tubo de radio $R$.

ID:(14521, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Para el caso de un líquido no viscoso que fluye en forma laminar, la diferencia de presión generada por la columna es:

lo que da lugar a un flujo de velocidad $v$ a través de un tubo según el principio de Bernoulli:

Dada la velocidad y el radio del tubo, podemos calcular el flujo, que se relaciona con el flujo dentro de la columna mediante la ley de continuidad. A su vez, esto se relaciona con la variación de la altura $h$, como se describe en:

$ S\displaystyle\frac{dh}{dt} = \pi R^2 \sqrt{2gh}$

Condiciones

Variables

$g$

Aceleración gravitacional

9.8

$m/s^2$

$h$

Altura de la columna

$m$

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

$R$

Radio del cilindro

$m$

$S$

Sección del tubo

$m^2$

$t$

Tiempo

$s$

Relación

Desarrollo

A partir de la ecuación de Bernoulli, podemos analizar el caso de una columna de agua que genera una diferencia de presión:

$ \Delta p = \rho_w g \Delta h $

y provoca un flujo de velocidad $v$ a través de un tubo, de acuerdo con:

$ \Delta p = - \rho \bar{v} \Delta v $

Por lo tanto, podemos estimar la velocidad como:

$v = \sqrt{2 g h}$

Esta velocidad, a través de una sección de tubo de radio $R$, genera un flujo:

$J = \pi R^2 v$

Si la columna tiene una sección $S$ y su altura disminuye con respecto a la variación de la altura $h$ en el tiempo $t$, podemos aplicar la ley de continuidad, que establece:

$ S_1 j_{s1} = S_2 j_{s2} $

Entonces, la ecuación que describe esta situación es:

$ S\displaystyle\frac{dh}{dt} = \pi R^2 \sqrt{2gh}$

ID:(9882, 0)

Descripción

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Consideremos el sistema de un cubo cilíndrico con un agujero de evacuación. Al retirar el tapón, el agua comienza a fluir en función de la presión existente. Según Bernoulli en el interior ($v\sim 0$), la velocidad es nula y tenemos:

$\displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h\sim \rho g h$

mientras que en el exterior ($h=0$), solo existe la componente cinética:

$\displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h\sim \displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2$

Como ambas expresiones son iguales, tenemos:

$\displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2=\rho g h$

por lo que la velocidad es:

$v=\sqrt{2 g h}$

Para comparar con el experimento, podemos utilizar esta expresión para estimar con:

el alcance que debería tener el chorro. Si lo representamos gráficamente, observamos:

donde:

• los puntos rojos corresponden a las mediciones experimentales,

• los puntos azules corresponden al alcance calculado utilizando un factor de 0.11,

• los puntos transparentes corresponden al alcance calculado utilizando un factor de 0.09.

Por lo tanto, podemos concluir que el modelo de Bernoulli sobreestima la velocidad a la que se vacía el cubo. Esto se debe a que en la zona del agujero de evacuación, los efectos de la viscosidad no son despreciables y, por lo tanto, la velocidad es menor.

ID:(11063, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Dado el modelo para el flujo de un líquido viscoso a través de un tubo, y considerando el hecho de que la altura de la columna determina la presión, podemos estimar la velocidad en función de la altura de la columna:

$ v = \displaystyle\frac{ \rho g R ^2}{8 \eta \Delta L } h $

Condiciones

Variables

$g$

Aceleración gravitacional

9.8

$m/s^2$

$h$

Altura de la columna

$m$

$\rho_w$

Densidad del líquido

$kg/m^3$

$\Delta L$

Largo de tubo

$m$

$R$

Radio del cilindro

$m$

$v_s$

Velocidad del flujo

$m/s$

$\eta$

Viscosidad

$Pa s$

Relación

Desarrollo

Si consideramos que el canal de drenaje presenta una resistencia hidráulica, podemos modelarlo con la ecuación de Hagen-Poiseuille:

$ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$

donde la diferencia de presión está determinada por la columna de agua:

$ p = \rho_w g h $

y la velocidad se obtiene a través del flujo:

$ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$

De esta manera, obtenemos la relación para el cálculo de la velocidad en función de la altura:

$ v = \displaystyle\frac{ \rho g R ^2}{8 \eta \Delta L } h $

ID:(11064, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

El flujo laminar de un fluido con viscosidad $\eta$ a través de un tubo de radio $R$ está descrito por la ley de Hagen-Poiseuille:

La diferencia de presión está determinada por la altura de la columna $\Delta h$:

la cual disminuye a medida que el líquido fluye. Al aplicar la ecuación de continuidad, podemos demostrar que la altura disminuye con el tiempo de la siguiente manera:

$ S \displaystyle\frac{dh}{dt} = - \displaystyle\frac{\pi R^4}{\Delta L}\displaystyle\frac{\rho g}{8 \eta} h $

Condiciones

Variables

$g$

Aceleración gravitacional

9.8

$m/s^2$

$h$

Altura de la columna

$m$

$\rho$

Densidad

$kg/m^3$

$\Delta L$

Largo de tubo

$m$

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

$R$

Radio del cilindro

$m$

$S$

Sección del tubo

$m^2$

$t$

Tiempo

$s$

$\eta$

Viscosidad

$Pa s$

Relación

Desarrollo

Si el flujo a través del tubo se describe mediante la ecuación:

$ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$

y la diferencia de presión $\Delta p$ es proporcional a la altura de la columna $\Delta h = h$,

$ \Delta p = \rho_w g \Delta h $

podemos aplicar la conservación del flujo $J_{V1}=J_V$ entre el tubo y la columna $J_{V2}$,

$ J_{V1} = J_{V2} $

,

donde el flujo en la columna $J_{V2}$ de sección $S$ está dado por:

$ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$

Aquí, la densidad de flujo $j_s$ corresponde a la velocidad media, que es igual a la variación de la altura en el tiempo:

$j_s = \displaystyle\frac{dh}{dt}$

De esta manera, obtenemos la ecuación para la altura de la columna en función del tiempo:

$ S \displaystyle\frac{dh}{dt} = - \displaystyle\frac{\pi R^4}{\Delta L}\displaystyle\frac{\rho g}{8 \eta} h $

ID:(14520, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La ecuación que describe la evolución de la columna de líquido viscoso que se está drenando es la siguiente:

Podemos reescribir esta ecuación utilizando el tiempo característico:

Luego, al realizar la integración, obtenemos:

$h = h_0 e^{-t/\tau_{hp}}$

Condiciones

Variables

$h$

Altura de la columna

$m$

$h_0$

Altura inicial de columna de líquido

$m$

$t$

Tiempo

$s$

$\tau_{hp}$

Tiempo característico columna con Hagen Pouseuille

$s$

Relación

Desarrollo

Si en la ecuación

$ S \displaystyle\frac{dh}{dt} = - \displaystyle\frac{\pi R^4}{\Delta L}\displaystyle\frac{\rho g}{8 \eta} h $

se reemplazan las constantes mediante

$ \tau_{hp} = \displaystyle\frac{S \Delta L}{\pi R^4}\displaystyle\frac{8 \eta}{\rho g}$

se obtiene la ecuación diferencial lineal de primer orden

$\displaystyle\frac{dh}{dt}=\displaystyle\frac{1}{\tau_{hp}} h$

cuya solución es

$h = h_0 e^{-t/\tau_{hp}}$

Donde $h_0$ representa la altura inicial.

ID:(14522, 0)