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Kolumnencasting mit Hagen Poiseuille
Storyboard
Es handelt sich um einen Wassersäule mit einem Loch im unteren Teil. Das Entleeren wird überwacht, wobei eine Ausgabegeschwindigkeit abhängig von der Höhe der Säule erhalten wird.
Wenn die Daten mit Bernoulli modelliert werden, der Ausgang durch das Loch jedoch mit Hagen Poiseville modelliert wird, wird das Problem des Falls behoben, in dem angenommen wurde, dass es keine Viskosität gibt.
ID:(1428, 0)
Viskositätsmessung
Beschreibung
Wenn eine kleine Kugel mit dem Radius $a$ in ein Medium mit Viskosität $\eta$ fallen gelassen wird, beschleunigt sie, bis die Gravitationskraft
$mg=\displaystyle\frac{4\pi}{3}a^3\rho_sg$
wobei $\rho_s$ die Dichte des Kugelmaterials ist, gleich der Viskositätskraft ist
$6\pi \eta a v$
wobei $v$ die Geschwindigkeit ist.
Daher ist es möglich, die Viskosität durch Messung der Geschwindigkeit abzuschätzen, da gilt:
$\displaystyle\frac{4\pi}{3}a^3\rho_sg =6\pi \eta a v$
wobei der Radius direkt gemessen werden kann.
Hier können Sie das Verhalten der Kugel beobachten:
ID:(9871, 0)
Experiment zum entleeren von Säulen
Beschreibung
Dies bedeutet, dass sich mit dem Abnehmen der Säule und der Verringerung der Höhe $h$ auch die Geschwindigkeit $v$ proportional verringert.
Die Schlüsselparameter sind:
• Innen-Durchmesser des Gefäßes: 93 mm
• Innen-Durchmesser des Evakuierungskanals: 3 mm
• Länge des Evakuierungskanals: 18 mm
Diese Parameter sind wichtig, um den Prozess des Säulenentleerens zu verstehen und zu analysieren, sowie wie sich die Austrittsgeschwindigkeit mit der Höhe ändert.
ID:(9870, 0)
Säulenentleerungsexperiment: Viskositätseffekt
Beschreibung
Wenn wir die Gleichung
| $ v = \displaystyle\frac{ \rho g R ^2}{8 \eta \Delta L } h $ |
analysieren, die die Anwendung von Hagen-Poiseuille beschreibt, stellen wir fest, dass die Kurve nur mit den experimentellen Daten in folgenden Fällen übereinstimmt:
Die Geschwindigkeit ist niedrig (wenn die Säule fast leer ist).
Der Radius des Evakuierungskanals muss von 1,5 mm auf 0,6 mm reduziert werden.
Dies zeigt, dass der Fluss hauptsächlich turbulent ist und dass nur bei niedrigen Geschwindigkeiten die Geschwindigkeit niedrig genug ist, damit die Reynolds-Zahl niedrig ist und der Fluss laminar ist.
ID:(11065, 0)
Viskositätsberechnung
Bild
Wenn wir den Weg betrachten, den das kleine Kugelchen im Laufe der Zeit zurücklegt, können wir feststellen, dass es größtenteils mit einer konstanten Geschwindigkeit von etwa 0,31 Metern in 25 Sekunden oder 0,0124 m/s vorankommt.
Durch Umstellen der Gleichung zwischen der Gravitationskraft und der Stokeschen Widerstandskraft:
$\displaystyle\frac{4\pi}{3}a^3\rho_sg =6\pi \eta a v$
erhalten wir:
$\eta = \displaystyle\frac{2 a^2\rho_sg}{9 v}$
Angenommen, die Kugel hat einen Radius von 2 mm und wiegt 8 mg, können wir ihre Dichte auf etwa $\rho_s\sim 2,38,g/cm^3$ bestimmen. Daher wird die Viskosität auf ungefähr $\eta\sim 1,67 Pa s$ geschätzt.
ID:(9881, 0)
Modell
Konzept
Variablen
Parameter
Ausgewählter Parameter
Berechnungen
Gleichung
$h = h_0 e^{-t/\tau_{hp}}$
h = h_0 *exp(- t / tau_hp )
$ S \displaystyle\frac{dh}{dt} = - \displaystyle\frac{\pi R^4}{\Delta L}\displaystyle\frac{\rho g}{8 \eta} h $
S *DIFF(h,t,1) = - pi * R ^4 * rho * g * h /(8* eta * DL )
$ S\displaystyle\frac{dh}{dt} = \pi R^2 \sqrt{2gh}$
S*DIFF(h,t,1) = pi * R ^2*sqrt(2* g * h )
$ \tau_{hp} = \displaystyle\frac{S \Delta L}{\pi R^4}\displaystyle\frac{8 \eta}{\rho g}$
tau_hp = (8* eta * DL * S )/( pi * R ^4 * rho * g * h )
$ v = \displaystyle\frac{ \rho g R ^2}{8 \eta \Delta L } h $
v = rho * g * R ^2* h /(8* eta * l )
ID:(15494, 0)
Charakteristische Zeitsäule mit viskoser Flüssigkeit
Gleichung
Wenn wir die Gleichung für das Ablassen einer viskosen Flüssigkeitssäule betrachten:
| $ S \displaystyle\frac{dh}{dt} = - \displaystyle\frac{\pi R^4}{\Delta L}\displaystyle\frac{\rho g}{8 \eta} h $ |
können wir die Konstanten in eine charakteristische Zeit-Einheit zusammenfassen:
 $ \tau_{hp} = \displaystyle\frac{S \Delta L}{\pi R^4}\displaystyle\frac{8 \eta}{\rho g}$ |
Dieser Wert wird zu einer charakteristischen Zeit für das Ablassen einer Säule mit Querschnittsfläche $S$ einer viskosen Flüssigkeit mit Viskosität $\eta$, während sie durch ein Rohr mit Radius $R$ fließt.
ID:(14521, 0)
Höhe der nichtviskosen Flüssigkeitssäule im Zeitverlauf
Gleichung
Für den Fall eines nicht viskosen Flüssigkeitsstroms im laminaren Zustand wird der Druckunterschied, der von der Säule erzeugt wird, durch folgende Gleichung beschrieben:
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
Dies führt zu einem Geschwindigkeitsfluss $v$ durch ein Rohr gemäß dem Bernoulli-Prinzip:
| $ \Delta p = - \rho \bar{v} \Delta v $ |
Unter Berücksichtigung der Geschwindigkeit und des Radius des Rohrs können wir den Fluss berechnen, der durch das Gesetz der Kontinuität mit dem Fluss innerhalb der Säule in Beziehung steht. Dies wiederum ist mit der Änderung der Höhe $h$ verbunden, wie im folgenden beschrieben:
| $ S\displaystyle\frac{dh}{dt} = \pi R^2 \sqrt{2gh}$ |
Mit Hilfe der Bernoulli-Gleichung können wir den Fall einer Wassersäule analysieren, die einen Druckunterschied erzeugt:
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
und einen Geschwindigkeitsfluss $v$ durch ein Rohr verursacht, gemäß:
| $ \Delta p = - \rho \bar{v} \Delta v $ |
Daher können wir die Geschwindigkeit wie folgt schätzen:
$v = \sqrt{2 g h}$
Diese Geschwindigkeit, durch einen Rohrabchnitt mit Radius $R$, führt zu einem Fluss:
$J = \pi R^2 v$
Wenn die Säule einen Querschnittsbereich $S$ hat und ihre Höhe im Vergleich zur Variation der Höhe $h$ im Laufe der Zeit $t$ abnimmt, können wir das Kontinuitätsgesetz anwenden, das besagt:
| $ S_1 j_{s1} = S_2 j_{s2} $ |
Daher ist die Gleichung, die diese Situation beschreibt:
| $ S\displaystyle\frac{dh}{dt} = \pi R^2 \sqrt{2gh}$ |
ID:(9882, 0)
Experiment zum Entleeren von Säulen: Model mit Bernoulli
Beschreibung
Betrachten wir das System eines zylindrischen Eimers mit einem Abflussloch. Wenn der Stopfen entfernt wird, beginnt das Wasser aufgrund des vorhandenen Drucks zu fließen. Gemäß dem Bernoulli-Prinzip ist die Geschwindigkeit im Inneren des Eimers ($v\sim 0$) null, und wir haben:
$\displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h\sim \rho g h$
während außerhalb des Eimers ($h=0$) nur die kinetische Komponente vorhanden ist:
$\displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h\sim \displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2$
Da beide Ausdrücke gleich sind, haben wir:
$\displaystyle\frac{1}{2}\rho v^2=\rho g h$
was zur Geschwindigkeit führt:
$v=\sqrt{2 g h}$
Um den Versuch mit der Theorie zu vergleichen, können wir diesen Ausdruck verwenden, um mit:
| $ S\displaystyle\frac{dh}{dt} = \pi R^2 \sqrt{2gh}$ |
die Reichweite zu berechnen, die der Strahl haben sollte. Wenn wir dies grafisch darstellen, beobachten wir:
wo:
• die roten Punkte den experimentellen Messungen entsprechen,
• die blauen Punkte der berechneten Reichweite unter Verwendung eines Faktors von 0,11 entsprechen,
• die transparenten Punkte der berechneten Reichweite unter Verwendung eines Faktors von 0,09 entsprechen.
Daher können wir folgern, dass das Bernoulli-Modell die Geschwindigkeit, mit der der Eimer sich entleert, überschätzt. Dies liegt daran, dass in der Nähe des Abflusslochs die Auswirkungen der Viskosität nicht vernachlässigbar sind und die Geschwindigkeit daher geringer ist.
ID:(11063, 0)
Experiment zum Entleeren von Säulen: Model mit Hagen Poiseuille
Gleichung
Basierend auf dem Modell für den Fluss einer viskosen Flüssigkeit durch ein Rohr und unter Berücksichtigung der Tatsache, dass die Höhe der Säule den Druck bestimmt, können wir die Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Höhe der Säule abschätzen:
| $ v = \displaystyle\frac{ \rho g R ^2}{8 \eta \Delta L } h $ |
Wenn wir davon ausgehen, dass der Entwässerungskanal einen hydraulischen Widerstand aufweist, können wir ihn mit der Hagen-Poiseuille-Gleichung modellieren:
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
wobei der Druckunterschied durch die Wassersäule bestimmt wird:
| $ p = \rho_w g h $ |
und die Geschwindigkeit durch den Durchfluss bestimmt wird:
| $ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$ |
Auf diese Weise erhalten wir die Beziehung zur Berechnung der Geschwindigkeit in Abhängigkeit von der Höhe:
| $ v = \displaystyle\frac{ \rho g R ^2}{8 \eta \Delta L } h $ |
ID:(11064, 0)
Höhe der viskosen Flüssigkeitssäule im Zeitverlauf
Gleichung
Die laminare Strömung eines Fluids mit Viskosität $\eta$ durch ein Rohr mit Radius $R$ wird durch das Hagen-Poiseuille-Gesetz beschrieben:
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
Der Druckunterschied wird durch die Höhe der Säule $\Delta h$ bestimmt:
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
die abnimmt, wenn die Flüssigkeit abfließt. Durch Anwendung der Kontinuitätsgleichung können wir zeigen, dass die Höhe im Laufe der Zeit wie folgt abnimmt:
| $ S \displaystyle\frac{dh}{dt} = - \displaystyle\frac{\pi R^4}{\Delta L}\displaystyle\frac{\rho g}{8 \eta} h $ |
Wenn der Durchfluss durch das Rohr durch die Gleichung beschrieben wird:
| $ J_V =-\displaystyle\frac{ \pi R ^4}{8 \eta }\displaystyle\frac{ \Delta p }{ \Delta L }$ |
und der Druckunterschied $\Delta p$ proportional zur Höhe der Säule $\Delta h = h$ ist:
| $ \Delta p = \rho_w g \Delta h $ |
können wir das Erhaltungsgesetz des Flusses $J_{V1}=J_V$ zwischen dem Rohr und der Säule $J_{V2}$ anwenden:
| $ J_{V1} = J_{V2} $ |
,
wobei der Fluss in der Säule $J_{V2}$ mit Querschnittsfläche $S$ gegeben ist durch:
| $ j_s = \displaystyle\frac{ J_V }{ S }$ |
Hier entspricht die Flussdichte $j_s$ der Durchschnittsgeschwindigkeit, die der Änderungsrate der Höhe im Laufe der Zeit entspricht:
$j_s = \displaystyle\frac{dh}{dt}$
Auf diese Weise erhalten wir die Gleichung für die Höhe der Säule als Funktion der Zeit:
| $ S \displaystyle\frac{dh}{dt} = - \displaystyle\frac{\pi R^4}{\Delta L}\displaystyle\frac{\rho g}{8 \eta} h $ |
ID:(14520, 0)
Zeitliche Entwicklung der viskosen Flüssigkeitssäule
Gleichung
Die Gleichung, die die Entwicklung der abfließenden viskosen Flüssigkeitssäule beschreibt, lautet:
| $ S \displaystyle\frac{dh}{dt} = - \displaystyle\frac{\pi R^4}{\Delta L}\displaystyle\frac{\rho g}{8 \eta} h $ |
Wir können diese Gleichung mithilfe der charakteristischen Zeit umschreiben:
| $ \tau_{hp} = \displaystyle\frac{S \Delta L}{\pi R^4}\displaystyle\frac{8 \eta}{\rho g}$ |
Nach der Integration ergibt sich:
| $h = h_0 e^{-t/\tau_{hp}}$ |
Wenn in der Gleichung
| $ S \displaystyle\frac{dh}{dt} = - \displaystyle\frac{\pi R^4}{\Delta L}\displaystyle\frac{\rho g}{8 \eta} h $ |
die Konstanten durch
| $ \tau_{hp} = \displaystyle\frac{S \Delta L}{\pi R^4}\displaystyle\frac{8 \eta}{\rho g}$ |
ersetzt werden, erhalten wir die lineare Differentialgleichung erster Ordnung
$\displaystyle\frac{dh}{dt}=\displaystyle\frac{1}{\tau_{hp}} h$
deren Lösung lautet
| $h = h_0 e^{-t/\tau_{hp}}$ |
wobei $h_0$ die anfängliche Höhe darstellt.
ID:(14522, 0)