mechanisms

Die schwedische Kriegsschiff Vasa ist ein bekanntes Beispiel f r ein instabiles Schiff. Am 10. August 1628, nur 20 Minuten nach dem Verlassen der Werft auf seiner Jungfernfahrt im Hafen von Stockholm, kenterte und sank das Schiff:

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Das Design des Schiffes war fehlerhaft, da die schmale Konstruktion f r hohe Geschwindigkeiten und die hohe Struktur f r 64 Kanonen, eine erhebliche Anzahl, gedacht war. Dieses Design machte das Schiff jedoch von Natur aus instabil, was zu seiner Kenterung bei der ersten Windb e f hrte.

Gl cklicherweise sank das Schiff in flachem Wasser und wurde f r 333 Jahre in Salzwasser konserviert, bis es 1961 geborgen wurde. Zun chst wurde das Schiff nass gehalten und dann langsam das Wasser durch eine Wachsmischung ersetzt, so dass es heute trocken im Museum ausgestellt werden kann, nur wenige Meter von der Stelle entfernt, wo es sank.

Die Vasa dient als Mahnung in der Schiffbauindustrie und zeigt die Bedeutung von sorgf ltigem Design und Stabilit t auf. Ihre Ausstellung im Museum ist eine beliebte Attraktion und zieht Besucher aus aller Welt an, um dieses bemerkenswerte St ck Seefahrtgeschichte zu sehen.

Der Angriffspunkt der Auftriebskraft entspricht dem Schwerpunkt des verdr ngten Fl ssigkeitsvolumens:

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Bei einem typischen Boot mit quadratischem Profil entspricht dies einem Punkt in der Mitte des Tiefgangs (Eintauchtiefe).

Wenn eine seitliche Kraft auf das Objekt ausge bt wird und es gekippt wird, kann beobachtet werden, dass sich der Punkt, an dem die Auftriebskraft wirkt, von der Achse entfernt. Zeichnet man eine vertikale Linie von dieser neuen Position aus, so wird die Linie an einem Punkt mit der Achse gekreuzt, der als Metazentrum bezeichnet wird:

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Die Schwerkraft wirkt auf den Schwerpunkt, der normalerweise ber dem Angriffspunkt der Auftriebskraft liegt, aber ber oder unter dem Metazentrum liegen kann:

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Wenn der Metazentrum ber dem Schwerpunkt liegt, erzeugt die Schwerkraft ein Drehmoment, das dazu neigt, das Objekt zu stabilisieren. Es ist so, als ob das Objekt vom Metazentrum aufgeh ngt w re und die Schwerkraft Rotationen um dieses erzeugt. Wenn der Schwerpunkt unter dem Metazentrum liegt, erzeugt das Drehmoment eine Drehung zum Achsenpunkt hin, d.h. es neigt dazu, die Schr glage zu korrigieren und das Objekt zu stabilisieren:

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Wenn der Metazentrum ber oder unter dem Schwerpunkt liegt, kann dies leicht passieren, wenn man eine Last oben auf dem K rper hinzuf gt, was dazu f hrt, dass der Schwerpunkt steigt und das System instabil wird.

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Hinweis: Um die Stabilit t zu erhalten, ist es wichtig, die Last in einer niedrigen Position (am Boden des Bootes) zu positionieren.

Wenn der Metazentrum unter dem Schwerpunkt liegt, erzeugt die Schwerkraft ein Drehmoment, das dazu neigt, das Objekt zu destabilisieren. Es ist so, als ob das Objekt vom Metazentrum aufgeh ngt w re und die Schwerkraft Rotationen um dieses erzeugt. Wenn der Schwerpunkt ber dem Metazentrum liegt, erzeugt das Drehmoment eine Drehung, die es vom Achsenpunkt entfernt, d.h. es neigt dazu, die Neigung zu erh hen und das Objekt zu destabilisieren:

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Das Modell des Schiffsrumpfes wird auf ein Parallelepipid mit den L ngen von der Mittlere Länge des Parallelepipeds ($a$), der Halbe Breite des Parallelepipeds ($b$) und die Halbe Höhe des Parallelepipeds ($c$) reduziert, was zu Abmessungen von $2a \times 2b \times 2c$ f hrt, mit einem Tiefgang von ein Tiefgang des Objekts ($d$):

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Ein Modell, das f r Boote verwendet wird, ist das eines geraden Parallelepipeds mit L ngen von der Mittlere Länge des Parallelepipeds ($a$), der Halbe Breite des Parallelepipeds ($b$) und die Halbe Höhe des Parallelepipeds ($c$), und einem Massenschwerpunkt in seinem geometrischen Zentrum. Wenn es ins Wasser gelegt wird, sinkt der K rper auf eine Tiefe von ein Tiefgang des Objekts ($d$). Die Position des Zentrums, an dem die Auftriebskraft wirkt, ist in folgendem Bild zu sehen, mit den Koordinaten die Auftrieb Angriffspunkt ($z_B$), die Höhe des Schwerpunkts ($z_G$) und die Höhe des Metazentrums ($z_M$):

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Daher ist die Höhe des Schwerpunkts ($z_G$) gleich

equation=11966

Das Metazentrum wird berechnet, indem der Schwerpunkt des gekippten K rpers unter der Bedingung bestimmt wird, dass die Fl che unter der Wasserlinie (blaue Linie) konstant bleibt:

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Wenn das Boot kr ngt, bewegt sich auf der einen Seite ein gr erer Wasserabschnitt und auf der gegen berliegenden Seite derselbe kleinere Wasserabschnitt. Der Massenschwerpunkt verschiebt sich also von der Mitte in den Sektor mit der gr ten Verschiebung, die durch berechnet wird

$\bar{x} = \displaystyle\frac{\displaystyle\sum_i m_i x_i}{\displaystyle\sum_i m_i}$

Die Masse ist proportional zum Querschnitt, der aus der Halbe Breite des Parallelepipeds ($b$) und der Tiefgang des Objekts ($d$) berechnet wird durch:

$2b d$

Alle Massen, die auf beiden Seiten der Achse versetzt sind, tragen nicht zum Z hler bei und nur die beiden angegebenen Dreiecke ergeben eine Fl che mit der Krängungswinkel ($\phi$)

$b^2\phi$

Gewichten Sie die Position des Massenschwerpunkts der Dreiecke

$\displaystyle\frac{2b}{3}$

Was ist in der Grafik zu sehen:

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Daher betr gt der Abstand vom Massenschwerpunkt des von der Achse verschobenen Wassers

$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2b}{3} b^2\phi}{2bd}=\displaystyle\frac{b^2\phi}{3d}$

Wenn ein Schiff bei der Krängungswinkel ($\phi$) kr ngt, verschiebt sich der Schwerpunkt des verdr ngten Wassers um der Halbe Breite des Parallelepipeds ($b$) und der Mittlere Länge des Parallelepipeds ($a$) um eine Distanz von:

$\displaystyle\frac{b^2\phi}{3d}$

Da dieser Abstand der Bogen des Kreises ist, der um das Metazentrum gezogen werden kann, betr gt der Abstand zwischen dem Metazentrum und dem Massenschwerpunkt des verdr ngten Wassers, der dem Radius entspricht:

$\displaystyle\frac{b^2}{3d}$

Daher muss bei der Position des Metazentrums ber cksichtigt werden, dass sich das Koordinatenzentrum auf der H he der Wasseroberfl che befindet, also einen Abstand $d/2$ ber dem Massenschwerpunkt des verdr ngten Wassers:

Bild

mit die Höhe des Metazentrums ($z_M$):

equation=11973

Um sicherzustellen, dass der Quader stabil ist, muss die Höhe des Metazentrums ($z_M$) immer gr er oder gleich die Höhe des Schwerpunkts ($z_G$) sein, das hei t

equation=11974

Daher ist mit die Höhe des Schwerpunkts ($z_G$) als dem Angriffspunkt der gegebenen Auftriebskraft mit die Halbe Höhe des Parallelepipeds ($c$) und der Tiefgang des Objekts ($d$):

equation=11966

und die Höhe des Metazentrums ($z_M$) mit der Halbe Breite des Parallelepipeds ($b$):

equation=11973

erhalten wir die Stabilitätszustand eines Schwimmkörpers ($e$):

equation=11975

Das bedeutet, dass es im Diagramm $b/c$ (Breite/Tiefe) versus $d/2c$ (Tiefe/H he) einen Bereich gibt, in dem das System stabil und in seinem Komplement instabil ist:

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Mit anderen Worten: Stabilit t wird mit gro en Werten von $b/c$ (Breite gr er als Tiefgang) erreicht. Im Fall des Vasa-Schiffes bestand das Problem darin, dass das Schiff f r seine Breite zu hoch war. Eine L sung w re gewesen, es tiefer zu versenken oder einen h heren $d/c$-Wert zu erreichen, um die Zone der Instabilit t zu vermeiden. Dies war jedoch aufgrund der ffnungen f r die Kanonen, durch die Wasser eingedrungen w re, nicht m glich.

Weitere Informationen zu Buildfehlern finden Sie unter Why The Vasa Sank: 10 Problems and Some Antidotes for Software Projects, Richard E. Fairley, Mary Jane Willshire, M rz/April 2003 IEEE SOFTWARE, das f r Softwareprojekte gilt.

Durch die Untersuchung der Baupl ne der Vasa kann man die Koeffizienten des Verh ltnisses zwischen Breite und H he sowie zwischen Tiefgang und H he absch tzen. Diese Analyse zeigt, dass das Schiff instabil ist:

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model

Wenn die Auftriebskraft ($F_b$) und die Schwerkraft ($F_g$) gleich sind, wird der Gegenstand schwimmen. In diesem Fall bedeutet das, dass die Masse eines schwimmenden Objekts ($M_s$) gleich die Masse der verdrängte Flüssigkeit ($M_b$) sein muss, was zu folgendem Ergebnis f hrt:

kyon

Hinweis: Diese Beziehung ist nur m glich, wenn der Gegenstand 'weniger als Wasser wiegt', was bedeutet, dass das verdr ngte Wasser ein gleiches oder gr eres Volumen als der Gegenstand einnimmt.

Die Masse eines schwimmenden Objekts ($M_s$) kann aus die Objektdichte ($\rho_s$) und dem Volumen, das durch seine geometrischen Parameter der Mittlere Länge des Parallelepipeds ($a$), der Halbe Breite des Parallelepipeds ($b$) und die Halbe Höhe des Parallelepipeds ($c$) gegeben ist, berechnet werden.

Daher gilt:

kyon

Die Masse der verdrängte Flüssigkeit ($M_b$) kann aus die Flüssigkeitsdichte ($\rho_w$) und dem durch seine geometrischen Parameter der Mittlere Länge des Parallelepipeds ($a$), der Halbe Breite des Parallelepipeds ($b$) und der Tiefgang des Objekts ($d$).

Daher:

kyon

Der Verdrängtes Volumen ($V_b$) kann aus seinen geometrischen Parametern der Mittlere Länge des Parallelepipeds ($a$), der Halbe Breite des Parallelepipeds ($b$) und der Tiefgang des Objekts ($d$) berechnet werden.

Daher:

kyon

Das Archimedes-Prinzip besagt, dass die Masse des verdr ngten Wassers gleich der Masse des Objekts ist. F r den spezifischen Fall des rechtwinkligen Parallelipeds kann dies wie folgt ausgedr ckt werden: die Objektdichte ($\rho_s$), die Flüssigkeitsdichte ($\rho_w$), der Tiefgang des Objekts ($d$) und die Halbe Höhe des Parallelepipeds ($c$):

kyon

Der Angriffspunkt der Auftriebskraft befindet sich im Schwerpunkt des verdr ngten Wasservolumens. Solange das Schiff nicht gekr ngt ist, befindet sich dieser Punkt im Zentrum des Volumens auf halber H he des Tiefgangs.

Unter Ber cksichtigung dessen k nnen Sie die Auftrieb Angriffspunkt ($z_B$) als Funktion von der Tiefgang des Objekts ($d$) ausdr cken:

kyon

Der Angriffspunkt der Gravitationskraft entspricht dem Zentrum des Parallelepipedums, das den Rumpf modelliert. Wenn wir das Koordinatensystem auf der Wasseroberfl che festlegen, wird die Höhe des Schwerpunkts ($z_G$) durch Subtraktion von der Tiefgang des Objekts ($d$) von die Halbe Höhe des Parallelepipeds ($c$) erhalten:

kyon

Die Berechnung von die Höhe des Metazentrums ($z_M$) aus dem Abstand zwischen dem Metazentrum und dem Schwerpunkt des verdr ngten Wassers, ausgedr ckt durch der Halbe Breite des Parallelepipeds ($b$) und der Tiefgang des Objekts ($d$), erfolgt wie folgt:

kyon

Damit das Objekt stabil ist, muss die Höhe des Metazentrums ($z_M$) immer gr er oder gleich die Höhe des Schwerpunkts ($z_G$) sein.

Daher muss es sein:

kyon

F r einen rechteckigen Parallelepiped ist die Stabilitätszustand eines Schwimmkörpers ($e$) mit der Halbe Breite des Parallelepipeds ($b$), die Halbe Höhe des Parallelepipeds ($c$) und der Tiefgang des Objekts ($d$):

kyon

was gr er als eins im Falle einer stabilen Situation und negativ im Falle von Instabilit t ist.