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Die durch den Auftrieb entstehende Kraft wirkt im Zentrum des verdrängten Volumens, das in der Regel unterhalb des Massenschwerpunkts des Objekts im Wasser liegt. Dieses Kräftepaar erzeugt Drehmomente, die das Objekt stabilisieren oder destabilisieren können. Im letzteren Fall könnte es sogar umkippen. Dieses Prinzip gilt sowohl für unbewegliche Objekte als auch für lebende Organismen, die aufgrund von Krankheiten Schwierigkeiten haben können, eine aufrechte Position zu halten.

>Modell

ID:(1610, 0)

Konzept

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ID:(15481, 0)

Beschreibung

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Die schwedische Kriegsschiff Vasa ist ein bekanntes Beispiel für ein instabiles Schiff. Am 10. August 1628, nur 20 Minuten nach dem Verlassen der Werft auf seiner Jungfernfahrt im Hafen von Stockholm, kenterte und sank das Schiff:

Das Design des Schiffes war fehlerhaft, da die schmale Konstruktion für hohe Geschwindigkeiten und die hohe Struktur für 64 Kanonen, eine erhebliche Anzahl, gedacht war. Dieses Design machte das Schiff jedoch von Natur aus instabil, was zu seiner Kenterung bei der ersten Windböe führte.

Glücklicherweise sank das Schiff in flachem Wasser und wurde für 333 Jahre in Salzwasser konserviert, bis es 1961 geborgen wurde. Zunächst wurde das Schiff nass gehalten und dann langsam das Wasser durch eine Wachsmischung ersetzt, so dass es heute trocken im Museum ausgestellt werden kann, nur wenige Meter von der Stelle entfernt, wo es sank.

Die Vasa dient als Mahnung in der Schiffbauindustrie und zeigt die Bedeutung von sorgfältigem Design und Stabilität auf. Ihre Ausstellung im Museum ist eine beliebte Attraktion und zieht Besucher aus aller Welt an, um dieses bemerkenswerte Stück Seefahrtgeschichte zu sehen.

ID:(11977, 0)

Beschreibung

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Der Angriffspunkt der Auftriebskraft entspricht dem Schwerpunkt des verdrängten Flüssigkeitsvolumens:

Bei einem typischen Boot mit quadratischem Profil entspricht dies einem Punkt in der Mitte des Tiefgangs (Eintauchtiefe).

ID:(11957, 0)

Beschreibung

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Wenn eine seitliche Kraft auf das Objekt ausgeübt wird und es gekippt wird, kann beobachtet werden, dass sich der Punkt, an dem die Auftriebskraft wirkt, von der Achse entfernt. Zeichnet man eine vertikale Linie von dieser neuen Position aus, so wird die Linie an einem Punkt mit der Achse gekreuzt, der als Metazentrum bezeichnet wird:

ID:(11959, 0)

Konzept

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Die Schwerkraft wirkt auf den Schwerpunkt, der normalerweise über dem Angriffspunkt der Auftriebskraft liegt, aber über oder unter dem Metazentrum liegen kann:

ID:(11960, 0)

Beschreibung

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Wenn der Metazentrum über dem Schwerpunkt liegt, erzeugt die Schwerkraft ein Drehmoment, das dazu neigt, das Objekt zu stabilisieren. Es ist so, als ob das Objekt vom Metazentrum aufgehängt wäre und die Schwerkraft Rotationen um dieses erzeugt. Wenn der Schwerpunkt unter dem Metazentrum liegt, erzeugt das Drehmoment eine Drehung zum Achsenpunkt hin, d.h. es neigt dazu, die Schräglage zu korrigieren und das Objekt zu stabilisieren:

ID:(11961, 0)

Beschreibung

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Wenn der Metazentrum über oder unter dem Schwerpunkt liegt, kann dies leicht passieren, wenn man eine Last oben auf dem Körper hinzufügt, was dazu führt, dass der Schwerpunkt steigt und das System instabil wird.

Hinweis: Um die Stabilität zu erhalten, ist es wichtig, die Last in einer niedrigen Position (am Boden des Bootes) zu positionieren.

ID:(11962, 0)

Beschreibung

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Wenn der Metazentrum unter dem Schwerpunkt liegt, erzeugt die Schwerkraft ein Drehmoment, das dazu neigt, das Objekt zu destabilisieren. Es ist so, als ob das Objekt vom Metazentrum aufgehängt wäre und die Schwerkraft Rotationen um dieses erzeugt. Wenn der Schwerpunkt über dem Metazentrum liegt, erzeugt das Drehmoment eine Drehung, die es vom Achsenpunkt entfernt, d.h. es neigt dazu, die Neigung zu erhöhen und das Objekt zu destabilisieren:

ID:(11963, 0)

Beschreibung

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Das Modell des Schiffsrumpfes wird auf ein Parallelepipid mit den Längen von der Mittlere Länge des Parallelepipeds ($a$), der Halbe Breite des Parallelepipeds ($b$) und die Halbe Höhe des Parallelepipeds ($c$) reduziert, was zu Abmessungen von $2a \times 2b \times 2c$ führt, mit einem Tiefgang von ein Tiefgang des Objekts ($d$):

ID:(11969, 0)

Konzept

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Ein Modell, das für Boote verwendet wird, ist das eines geraden Parallelepipeds mit Längen von der Mittlere Länge des Parallelepipeds ($a$), der Halbe Breite des Parallelepipeds ($b$) und die Halbe Höhe des Parallelepipeds ($c$), und einem Massenschwerpunkt in seinem geometrischen Zentrum. Wenn es ins Wasser gelegt wird, sinkt der Körper auf eine Tiefe von ein Tiefgang des Objekts ($d$). Die Position des Zentrums, an dem die Auftriebskraft wirkt, ist in folgendem Bild zu sehen, mit den Koordinaten die Auftrieb Angriffspunkt ($z_B$), die Höhe des Schwerpunkts ($z_G$) und die Höhe des Metazentrums ($z_M$):

Daher ist die Höhe des Schwerpunkts ($z_G$) gleich

ID:(11964, 0)

Beschreibung

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Das Metazentrum wird berechnet, indem der Schwerpunkt des gekippten Körpers unter der Bedingung bestimmt wird, dass die Fläche unter der Wasserlinie (blaue Linie) konstant bleibt:

ID:(11979, 0)

Beschreibung

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Wenn das Boot krängt, bewegt sich auf der einen Seite ein größerer Wasserabschnitt und auf der gegenüberliegenden Seite derselbe kleinere Wasserabschnitt. Der Massenschwerpunkt verschiebt sich also von der Mitte in den Sektor mit der größten Verschiebung, die durch berechnet wird

$\bar{x} = \displaystyle\frac{\displaystyle\sum_i m_i x_i}{\displaystyle\sum_i m_i}$

Die Masse ist proportional zum Querschnitt, der aus der Halbe Breite des Parallelepipeds ($b$) und der Tiefgang des Objekts ($d$) berechnet wird durch:

$2b d$

Alle Massen, die auf beiden Seiten der Achse versetzt sind, tragen nicht zum Zähler bei und nur die beiden angegebenen Dreiecke ergeben eine Fläche mit der Krängungswinkel ($\phi$)

$b^2\phi$

Gewichten Sie die Position des Massenschwerpunkts der Dreiecke

$\displaystyle\frac{2b}{3}$

Was ist in der Grafik zu sehen:

Daher beträgt der Abstand vom Massenschwerpunkt des von der Achse verschobenen Wassers

$\displaystyle\frac{\displaystyle\frac{2b}{3} b^2\phi}{2bd}=\displaystyle\frac{b^2\phi}{3d}$

ID:(14248, 0)

Beschreibung

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Wenn ein Schiff bei der Krängungswinkel ($\phi$) krängt, verschiebt sich der Schwerpunkt des verdrängten Wassers um der Halbe Breite des Parallelepipeds ($b$) und der Mittlere Länge des Parallelepipeds ($a$) um eine Distanz von:

$\displaystyle\frac{b^2\phi}{3d}$

Da dieser Abstand der Bogen des Kreises ist, der um das Metazentrum gezogen werden kann, beträgt der Abstand zwischen dem Metazentrum und dem Massenschwerpunkt des verdrängten Wassers, der dem Radius entspricht:

$\displaystyle\frac{b^2}{3d}$

Daher muss bei der Position des Metazentrums berücksichtigt werden, dass sich das Koordinatenzentrum auf der Höhe der Wasseroberfläche befindet, also einen Abstand $d/2$ über dem Massenschwerpunkt des verdrängten Wassers:



mit die Höhe des Metazentrums ($z_M$):

ID:(11967, 0)

Beschreibung

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Der Stabilitätszustand liegt bei die Höhe des Metazentrums ($z_M$) und die Höhe des Schwerpunkts ($z_G$)

Dies ermöglicht die Definition von eine Stabilitätszustand eines Schwimmkörpers ($e$), die mit der Halbe Breite des Parallelepipeds ($b$), die Halbe Höhe des Parallelepipeds ($c$) und der Tiefgang des Objekts ($d$) ausgedrückt werden kann, indem:

Das bedeutet, dass es im Diagramm $b/c$ (Breite/Tiefe) versus $d/2c$ (Tiefe/Höhe) einen Bereich gibt, in dem das System stabil und in seinem Komplement instabil ist:

Mit anderen Worten: Stabilität wird mit großen Werten von $b/c$ (Breite größer als Tiefgang) erreicht. Im Fall des Vasa-Schiffes bestand das Problem darin, dass das Schiff für seine Breite zu hoch war. Eine Lösung wäre gewesen, es tiefer zu versenken oder einen höheren $d/c$-Wert zu erreichen, um die Zone der Instabilität zu vermeiden. Dies war jedoch aufgrund der Öffnungen für die Kanonen, durch die Wasser eingedrungen wäre, nicht möglich.

Weitere Informationen zu Buildfehlern finden Sie unter Why The Vasa Sank: 10 Problems and Some Antidotes for Software Projects, Richard E. Fairley, Mary Jane Willshire, März/April 2003 IEEE SOFTWARE, das für Softwareprojekte gilt.

ID:(11976, 0)

Beschreibung

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Durch die Untersuchung der Baupläne der Vasa kann man die Koeffizienten des Verhältnisses zwischen Breite und Höhe sowie zwischen Tiefgang und Höhe abschätzen. Diese Analyse zeigt, dass das Schiff instabil ist:

ID:(14247, 0)

Konzept

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Ausgewählter Parameter

Berechnungen

ID:(15483, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn die Auftriebskraft ($F_b$) und die Schwerkraft ($F_g$) gleich sind, wird der Gegenstand schwimmen. In diesem Fall bedeutet das, dass die Masse eines schwimmenden Objekts ($M_s$) gleich die Masse der verdrängte Flüssigkeit ($M_b$) sein muss, was zu folgendem Ergebnis führt:

$ M_b = M_s $

Bedingungen

Variablen

$M_b$

Masse der verdrängte Flüssigkeit

$kg$

$M_s$

Masse eines schwimmenden Objekts

$kg$

Beziehung

Entwicklung

Die Auftriebskraft ($F_b$) wird durch die Flüssigkeitsdichte ($\rho_w$), der Verdrängtes Volumen ($V_b$) und die Gravitationsbeschleunigung ($g$) bestimmt als:

$ F_b = \rho_w V_b g $

was die Schwerkraft ($F_g$) mit die Masse eines schwimmenden Objekts ($M_s$) entgegenwirkt gemäß:

$ F_g = m_g g $

daher, mit die Masse der verdrängte Flüssigkeit ($M_b$) und die Masse eines schwimmenden Objekts ($M_s$),

$F_b = \rho_w V_w g = M_w g = M_s g = F_g$

ergibt sich:

$ M_b = M_s $

Hinweis: Diese Beziehung ist nur möglich, wenn der Gegenstand 'weniger als Wasser wiegt', was bedeutet, dass das verdrängte Wasser ein gleiches oder größeres Volumen als der Gegenstand einnimmt.

ID:(11955, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Die Masse eines schwimmenden Objekts ($M_s$) kann aus die Objektdichte ($\rho_s$) und dem Volumen, das durch seine geometrischen Parameter der Mittlere Länge des Parallelepipeds ($a$), der Halbe Breite des Parallelepipeds ($b$) und die Halbe Höhe des Parallelepipeds ($c$) gegeben ist, berechnet werden.

Daher gilt:

$ M_s =8 a b c \rho_s $

Bedingungen

Variablen

$b$

Halbe Breite des Parallelepipeds

$m$

$c$

Halbe Höhe des Parallelepipeds

$m$

$M_g$

Masse eines schwimmenden Objekts

$kg$

$a$

Mittlere Länge des Parallelepipeds

$m$

$\rho_s$

Objektdichte

$kg/m^3$

Beziehung

ID:(11970, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Die Masse der verdrängte Flüssigkeit ($M_b$) kann aus die Flüssigkeitsdichte ($\rho_w$) und dem durch seine geometrischen Parameter der Mittlere Länge des Parallelepipeds ($a$), der Halbe Breite des Parallelepipeds ($b$) und der Tiefgang des Objekts ($d$).

Daher:

$ M_b =4 a b d \rho_w $

Bedingungen

Variablen

$\rho_w$

Flüssigkeitsdichte

$kg/m^3$

$b$

Halbe Breite des Parallelepipeds

$m$

$M_b$

Masse der verdrängte Flüssigkeit

$kg$

$a$

Mittlere Länge des Parallelepipeds

$m$

$d$

Tiefgang des Objekts

$m$

Beziehung

ID:(11971, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Der Verdrängtes Volumen ($V_b$) kann aus seinen geometrischen Parametern der Mittlere Länge des Parallelepipeds ($a$), der Halbe Breite des Parallelepipeds ($b$) und der Tiefgang des Objekts ($d$) berechnet werden.

Daher:

$ V_b = 4 a b d $

Bedingungen

Variablen

$b$

Halbe Breite des Parallelepipeds

$m$

$a$

Mittlere Länge des Parallelepipeds

$m$

$d$

Tiefgang des Objekts

$m$

$V_b$

Verdrängtes Volumen

$m^3$

Beziehung

ID:(11968, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Das Archimedes-Prinzip besagt, dass die Masse des verdrängten Wassers gleich der Masse des Objekts ist. Für den spezifischen Fall des rechtwinkligen Parallelipeds kann dies wie folgt ausgedrückt werden: die Objektdichte ($\rho_s$), die Flüssigkeitsdichte ($\rho_w$), der Tiefgang des Objekts ($d$) und die Halbe Höhe des Parallelepipeds ($c$):

$ \displaystyle\frac{ \rho_s }{ \rho_w }= \displaystyle\frac{ d }{ 2 c }$

Bedingungen

Variablen

$\rho_w$

Flüssigkeitsdichte

$kg/m^3$

$c$

Halbe Höhe des Parallelepipeds

$m$

$\rho_s$

Objektdichte

$kg/m^3$

$d$

Tiefgang des Objekts

$m$

Beziehung

Entwicklung

Da das Archimedes-Prinzip besagt, dass die Masse der verdrängte Flüssigkeit ($M_b$) gleich die Masse eines schwimmenden Objekts ($M_s$) ist,

$ M_b = M_s $

ergibt sich, dass die Masse der verdrängte Flüssigkeit ($M_b$) in Beziehung zu die Flüssigkeitsdichte ($\rho_w$), der Mittlere Länge des Parallelepipeds ($a$), der Halbe Breite des Parallelepipeds ($b$) und der Tiefgang des Objekts ($d$) steht wie folgt:

$ M_b =4 a b d \rho_w $

und die Masse eines schwimmenden Objekts ($M_s$) in Beziehung zu die Objektdichte ($\rho_s$), der Mittlere Länge des Parallelepipeds ($a$), der Halbe Breite des Parallelepipeds ($b$) und die Halbe Höhe des Parallelepipeds ($c$) steht wie folgt:

$ M_s =8 a b c \rho_s $

was bedeutet, dass

$ \displaystyle\frac{ \rho_s }{ \rho_w }= \displaystyle\frac{ d }{ 2 c }$

ID:(11972, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Der Angriffspunkt der Auftriebskraft befindet sich im Schwerpunkt des verdrängten Wasservolumens. Solange das Schiff nicht gekrängt ist, befindet sich dieser Punkt im Zentrum des Volumens auf halber Höhe des Tiefgangs.

Unter Berücksichtigung dessen können Sie die Auftrieb Angriffspunkt ($z_B$) als Funktion von der Tiefgang des Objekts ($d$) ausdrücken:

$ z_B =-\displaystyle\frac{ d }{2}$

Bedingungen

Variablen

$z_B$

Auftrieb Angriffspunkt

$m$

$d$

Tiefgang des Objekts

$m$

Beziehung

ID:(11965, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Der Angriffspunkt der Gravitationskraft entspricht dem Zentrum des Parallelepipedums, das den Rumpf modelliert. Wenn wir das Koordinatensystem auf der Wasseroberfläche festlegen, wird die Höhe des Schwerpunkts ($z_G$) durch Subtraktion von der Tiefgang des Objekts ($d$) von die Halbe Höhe des Parallelepipeds ($c$) erhalten:

$ z_G = c - d $

Bedingungen

Variablen

$c$

Halbe Höhe des Parallelepipeds

$m$

$z_G$

Höhe des Schwerpunkts

$m$

$d$

Tiefgang des Objekts

$m$

Beziehung

ID:(11966, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Die Höhe des Metazentrums ($z_M$) wird aus der Entfernung zwischen dem Metazentrum und dem Schwerpunkt des verdrängten Wassers berechnet, die durch der Halbe Breite des Parallelepipeds ($b$) und der Tiefgang des Objekts ($d$) ausgedrückt wird als:

$\displaystyle\frac{b^2}{3d}$

Da der Ursprung auf Höhe des Wassers liegt, muss der Abstand

$\displaystyle\frac{d}{2}$

subtrahiert werden, was zu folgendem Ergebnis führt:

$ z_M = -\displaystyle\frac{ d }{2} + \displaystyle\frac{ b ^2}{ 3 d }$

Bedingungen

Variablen

$b$

Halbe Breite des Parallelepipeds

$m$

$z_M$

Höhe des Metazentrums

$m$

$d$

Tiefgang des Objekts

$m$

Beziehung

ID:(11973, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Damit das Objekt stabil ist, muss die Höhe des Metazentrums ($z_M$) immer größer oder gleich die Höhe des Schwerpunkts ($z_G$) sein.

Daher muss es sein:

$ z_M \geq z_G $

Bedingungen

Variablen

$z_M$

Höhe des Metazentrums

$m$

$z_G$

Höhe des Schwerpunkts

$m$

Beziehung

ID:(11974, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Da das System stabil ist, wenn die Bedingung zwischen die Höhe des Metazentrums ($z_M$) und die Höhe des Schwerpunkts ($z_G$) erfüllt ist:

können wir die Gleichungen für beide Tiefen verwenden. Für einen rechteckigen Parallelepiped ist die Stabilitätszustand eines Schwimmkörpers ($e$) mit der Halbe Breite des Parallelepipeds ($b$), die Halbe Höhe des Parallelepipeds ($c$) und der Tiefgang des Objekts ($d$):

$ e = \displaystyle\frac{1}{6}\displaystyle\frac{ b ^2}{ c ^2} - \displaystyle\frac{ d }{2 c }\left(1-\displaystyle\frac{ d }{2 c }\right)$

Bedingungen

Variablen

$b$

Halbe Breite des Parallelepipeds

$m$

$c$

Halbe Höhe des Parallelepipeds

$m$

$e$

Stabilitätszustand eines Schwimmkörpers

$-$

$d$

Tiefgang des Objekts

$m$

Beziehung

Entwicklung

Um sicherzustellen, dass der Quader stabil ist, muss die Höhe des Metazentrums ($z_M$) immer größer oder gleich die Höhe des Schwerpunkts ($z_G$) sein, das heißt

$ z_M \geq z_G $

Daher ist mit die Höhe des Schwerpunkts ($z_G$) als dem Angriffspunkt der gegebenen Auftriebskraft mit die Halbe Höhe des Parallelepipeds ($c$) und der Tiefgang des Objekts ($d$):

$ z_G = c - d $

und die Höhe des Metazentrums ($z_M$) mit der Halbe Breite des Parallelepipeds ($b$):

$ z_M = -\displaystyle\frac{ d }{2} + \displaystyle\frac{ b ^2}{ 3 d }$

erhalten wir die Stabilitätszustand eines Schwimmkörpers ($e$):

$ e = \displaystyle\frac{1}{6}\displaystyle\frac{ b ^2}{ c ^2} - \displaystyle\frac{ d }{2 c }\left(1-\displaystyle\frac{ d }{2 c }\right)$

was größer als eins im Falle einer stabilen Situation und negativ im Falle von Instabilität ist.

ID:(11975, 0)

0

Video

Video: Auftriebsstabilität