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Ley de Gauss
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La ley de Gauss dice que si se tiene una superficie cerrada y se suma la proyección del campo eléctrico sobre toda la superficie es proporcional a la carga contenida en el volumen.
ID:(824, 0)
Flujo de una carga
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Si la superficie rodea una carga se observa que no existe compensación y que el flujo solo depende del signo de la carga:
• si la carga es positiva, los versores normales son paralelos al campo y el flujo resulta positivo
• si la carga es negativa los versores normales son anti paralelos al campo y el flujo resulta negativo
ID:(1776, 0)
Flujo de dos cargas opuestas
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Si se consideran dos cargas opuestas y se estudia el flujo a través de una superficie que contiene a ambas, observamos que los flujos nuevamente se compensan siendo al final el flujo total nulo. De esta forma concluimos que:
• no existe flujo total en un volumen que no contiene cargas
• no existe flujo total en un volumen que contiene un igual numero de cargas positivas y negativas
• solo existe flujo total en la medida que existan cargas cuya suma total no sea nula
ID:(11375, 0)
Flujo por un volumen cerrado sin cargas
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Si se toma un elemento de volumen y se le coloca en un flujo eléctrico se observara que un lado del cuerpo esta orientado a lo largo del campo mientras el lado opuesto esta orientado en el sentido opuesto al campo:
Esto lleva a que el flujo que 'sale' se compense con el que 'entra'. Esto es solo si no hay cargas al interior o sea que no existe una fuente o sumidero que genere o destruya lineas de campo. En ese sentido se puede hablar de la conservación del flujo igual que en un liquido.
ID:(1777, 0)
Ley de Gauss
Concepto
El flujo eléctrico ($\Phi$) se define como la componente normal del campo eléctrico, calculada a partir de el campo eléctrico en superficie i ($\vec{E}_i$) y el versor normal a la superficie i ($\hat{n}_i$), multiplicada por la elemento de superficie i ($dS_i$) para cada elemento
i, que luego se suma sobre toda la sección:
| $ \Phi \equiv \displaystyle\sum_i \vec{E}_i\cdot\hat{n}_i\,dS_i $ |
La magnitud de el campo eléctrico ($E$) generada por la carga ($Q$), que se encuentran a una distancia de la distancia ($r$), se calcula utilizando la constante de campo eléctrico ($\epsilon_0$) y la constante dieléctrica ($\epsilon$) de la siguiente manera:
| $ E =\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q }{ r ^2}$ |
Dado que la superficie de una esfera ($S$) es con la distancia ($r$):
| $ S = 4 \pi r ^2$ |
Se tiene que el flujo es:
$\Phi = | \vec{E} | S = \displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon \epsilon_0} \displaystyle\frac{ Q }{ r ^2} 4 \pi r ^2=\displaystyle\frac{ Q }{ \epsilon_0 \epsilon }$
Con lo que se puede inferir que la relación es:
| $ \displaystyle\sum_i \vec{E}_i \cdot \hat{n}_i dS_i = \displaystyle\frac{ Q }{ \epsilon_0 \epsilon }$ |
Con el elemento de superficie ($dS$) del producto punto de el campo eléctrico ($\vec{E}$) y el versor normal a la sección ($\hat{n}$), se obtiene la versión continua de la ley de Gauss:
| $\displaystyle\int_S\vec{E}\cdot\hat{n}\,dS=\displaystyle\frac{Q}{\epsilon_0\epsilon}$ |
Esta corresponde a la versión de la ecuación de Gauss descubierta en 1835 que se publico en forma postuma [1].
[1] "Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnisse des Quadrats der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstossungskräfte" (Teoremas generales relacionados con las fuerzas de atracción y repulsión que actúan en la proporción invertida del cuadrado de la distancia), Carl Friedrich Gauss, Werke, 1867
ID:(15791, 0)
Representación grafica de la ley de Gauss
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La ley de Gauss considera las líneas de campo respecto a una superficie cerrada.
• Si la superficie no encierra ninguna carga, las líneas de campo se conservan, es decir, fluyen tanto hacia adentro como hacia afuera de la superficie.
• Si la superficie rodea una carga la carga total ($Q_t$), se crean (carga positiva) o se destruyen (carga negativa) un número proporcional a dicha carga.
• Si las cargas contenidas en su suma son nulas, la suma de las componentes del campo perpendiculares a la superficie también será nula.
ID:(224, 0)
Aplicación al caso de un campo al interior de un conductor
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En el interior de un conductor se puede definir una superficie
por ello el campo eléctrico es nulo. El conductor genera lo que se llama una jaula de Faraday.
ID:(1924, 0)
Ejemplo de campo nulo al interior de un conductor
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El fuselaje de un avión de pasajeros es generalmente un buen conductor de electricidad. Por ello, si un avión es impactado por un rayo, las cargas se distribuyen sobre su superficie y, por la ley de Gauss, no se genera un campo eléctrico en el interior de la aeronave.
| $ E =0$ |
De esta manera, los pasajeros no sufren daño y, finalmente, la carga continúa su camino, generando un nuevo rayo que se desplaza hacia algún otro lugar cargado positivamente.
Por ello, se asume que los rayos no son peligrosos para los aviones en vuelo y que cada avión sufre varios impactos al año. Sin embargo, existe un riesgo durante el proceso de aterrizaje: si el avión es tocado por un rayo en el momento de posarse en tierra, las cargas pueden fluir por los neumáticos hacia la pista, generando niveles de calor que pueden dañarlos. En general, los pilotos están entrenados para manejar situaciones en las que el tren de aterrizaje sufre daños, por lo que el riesgo para los pasajeros no es tan elevado. Sin embargo, el daño a la aeronave puede ser mayor y requerir una reparación más extensa antes de poder volver a operar.
ID:(11374, 0)
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Ecuaciones
$ \displaystyle\sum_i \vec{E}_i \cdot \hat{n}_i dS_i = \displaystyle\frac{ Q }{ \epsilon_0 \epsilon }$
@SUM( &E_i * &n_i * dS_i , i , 1 , N ) = Q /( epsilon * epsilon_0 )
$ E =0$
E =0
$ Q = \displaystyle\sum_ i ^ N q_i$
Q =@SUM( q_i , i , 1 , N )
$\displaystyle\int_S\vec{E}\cdot\hat{n}\,dS=\displaystyle\frac{Q}{\epsilon_0\epsilon}$
int_S E n dS=Q/(e_0 e)
ID:(15783, 0)
Suma de todas las cargas
Ecuación
El flujo depende de la carga total ($Q_t$) contenida en el volumen que las contiene. Por ello, debemos sumar todas las la carga i ($q_i$) contenidas, independientemente de su posición:
| $ Q = \displaystyle\sum_ i ^ N q_i$ |
ID:(11376, 0)
Ley de Gauss discreta
Ecuación
El campo eléctrico en superficie i ($\vec{E}_i$) y el versor normal a la superficie i ($\hat{n}_i$), multiplicadas por la elemento de superficie i ($dS_i$) para cada elemento $i$, y luego sumadas sobre toda la sección, son iguales a la carga total ($Q_t$) dividido por la constante de campo eléctrico ($\epsilon_0$) y la constante dieléctrica ($\epsilon$):
| $ \displaystyle\sum_i \vec{E}_i \cdot \hat{n}_i dS_i = \displaystyle\frac{ Q }{ \epsilon_0 \epsilon }$ |
El flujo eléctrico ($\Phi$) se define como la componente normal del campo eléctrico, calculada a partir de el campo eléctrico en superficie i ($\vec{E}_i$) y el versor normal a la superficie i ($\hat{n}_i$), multiplicada por la elemento de superficie i ($dS_i$) para cada elemento
i, que luego se suma sobre toda la sección:
| $ \Phi \equiv \displaystyle\sum_i \vec{E}_i\cdot\hat{n}_i\,dS_i $ |
La magnitud de el campo eléctrico ($E$) generada por la carga ($Q$), que se encuentran a una distancia de la distancia ($r$), se calcula utilizando la constante de campo eléctrico ($\epsilon_0$) y la constante dieléctrica ($\epsilon$) de la siguiente manera:
| $ E =\displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon_0 \epsilon }\displaystyle\frac{ Q }{ r ^2}$ |
Dado que la superficie de una esfera ($S$) es con la distancia ($r$):
| $ S = 4 \pi r ^2$ |
Se tiene que el flujo es:
$\Phi = | \vec{E} | S = \displaystyle\frac{1}{4 \pi \epsilon \epsilon_0} \displaystyle\frac{ Q }{ r ^2} 4 \pi r ^2=\displaystyle\frac{ Q }{ \epsilon_0 \epsilon }$
Con lo que se puede inferir que la relación es:
| $ \displaystyle\sum_i \vec{E}_i \cdot \hat{n}_i dS_i = \displaystyle\frac{ Q }{ \epsilon_0 \epsilon }$ |
ID:(11377, 0)
Ley de Gauss en versión integral
Ecuación
Con el elemento de superficie ($dS$) del producto punto de el campo eléctrico ($\vec{E}$) y el versor normal a la sección ($\hat{n}$), y la carga total ($Q_t$) dividido por la constante de campo eléctrico ($\epsilon_0$) y la constante dieléctrica ($\epsilon$), se llega a la expresión de la ley de Gauss:
| $\displaystyle\int_S\vec{E}\cdot\hat{n}\,dS=\displaystyle\frac{Q}{\epsilon_0\epsilon}$ |
El campo eléctrico en superficie i ($\vec{E}_i$) y el versor normal a la superficie i ($\hat{n}_i$), multiplicada por la elemento de superficie i ($dS_i$) para cada elemento $i$, que luego se suma sobre toda la sección, es igual a la carga total ($Q_t$) dividido por la constante de campo eléctrico ($\epsilon_0$) y la constante dieléctrica ($\epsilon$):
| $ \displaystyle\sum_i \vec{E}_i \cdot \hat{n}_i dS_i = \displaystyle\frac{ Q }{ \epsilon_0 \epsilon }$ |
Con el elemento de superficie ($dS$) del producto punto de el campo eléctrico ($\vec{E}$) y el versor normal a la sección ($\hat{n}$), se obtiene la versión continua de la ley de Gauss:
| $\displaystyle\int_S\vec{E}\cdot\hat{n}\,dS=\displaystyle\frac{Q}{\epsilon_0\epsilon}$ |
ID:(3213, 0)
Campo en el interior de un conductor
Ecuación
Consideremos una esfera hueca con cargas distribuidas uniformemente en su superficie. En este caso, podemos definir una superficie interna dentro de la esfera. Como la cantidad de carga la carga total ($Q_t$) contenida en el volumen encerrado por esta superficie interna es cero, el campo eléctrico el campo eléctrico ($E$) también será cero:
| $ E =0$ |
ID:(3842, 0)