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Potencial elétrico
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Sempre que o conceito de força é introduzido, e consequentemente o de energia, é possível modelar a força usando energia potencial. Da mesma forma, para a força descrita pela lei de Coulomb, pode-se derivar uma energia potencial, que neste contexto é conhecida como potencial elétrico.
ID:(1561, 0)
Potencial elétrico ao longo de um caminho
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Se múltiplos valores de distância infinitesimal ($ds$) forem considerados ao longo de um caminho, é possível calcular a energia por carga, correspondente a o potencial elétrico ($\varphi$), necessária para mover uma carga ao longo desse caminho com uma força por carga que corresponde a o campo elétrico ($\vec{E}$):
| $ \varphi =\varphi_0 - \displaystyle\int_C \vec{E}\cdot d\vec{s}$ |
Isso é representado graficamente como:
ID:(11517, 0)
Independência de caminho do potencial elétrico
Imagem
Se considerarmos dois caminhos distintos,
• um em que se chega a uma certa distância da carga e depois se aproxima dela de forma perpendicular ao campo elétrico,
• outro em que se afasta mais da origem e depois retorna à carga, compensando a distância adicional pelo sinal,
observar-se-á que ambos os caminhos produzem o mesmo resultado:
Portanto, podemos concluir que
O potencial elétrico entre dois pontos é igual ao integral de linha do campo elétrico ao longo de um segmento, sendo este integral independente do caminho escolhido.
Com esse conhecimento, é possível proceder à estimativa de campos elétricos escolhendo o caminho mais simples para a integração ou soma de campos ao longo dos segmentos.
ID:(11520, 0)
Modelo
Top
Parâmetros
Variáveis
Cálculos
para 
, depois, selecione a variável: 
para 
Cálculos
Cálculos
Variáve 
Dado Calcular 
Objetivo : Equação A ser usado 
Equações
$ \Delta\varphi = -\displaystyle\int_C \vec{E}\cdot d\vec{s} $
$ \displaystyle\oint_C \vec{E}\cdot d\vec{s}=0$
$ d\varphi \equiv -\lim_{q\rightarrow 0} \displaystyle\frac{1}{ q } dW $
dphi = - dW / q
$ d\varphi = -\vec{E} \cdot d\vec{s} $
dphi = - E ds
$ \Delta\varphi = \varphi - \varphi_0 $
Dphi = phi - phi_0
$ dW = q \vec{E} \cdot d\vec{s} $
dW = q E ds
$ \vec{E} = -\nabla\varphi $
E = - grad phi
$ \varphi =\varphi_0 - \displaystyle\int_C \vec{E}\cdot d\vec{s}$
phi = phi_0 - @INT( &E . d&s , C )
ID:(15801, 0)
Energia e campo elétrico
Equação
La variação infinitesimal de trabalho ($dW$) é com o campo elétrico ($\vec{E}$), la carga de teste ($q$) e o elemento do caminho percorrido ($d\vec{s}$) é igual a
| $ dW = q \vec{E} \cdot d\vec{s} $ |
Como la variação infinitesimal de trabalho ($dW$) está relacionado com la força ($\vec{F}$) e o elemento do caminho percorrido ($d\vec{s}$) por:
| $ dW = \vec{F} \cdot d\vec{s} $ |
e a força pode ser expressa em função de o campo elétrico ($\vec{E}$) e la carga de teste ($q$) como:
| $ \vec{F} = q \vec{E} $ |
a energia associada ao campo elétrico pode ser calculada usando:
| $ dW = q \vec{E} \cdot d\vec{s} $ |
ID:(11515, 0)
Energia por carga de teste
Equação
No contexto da energia para uma carga la carga de teste ($q$), surge novamente o problema de um parâmetro que, ao ser medido, depende dos instrumentos de medição. Portanto, faz sentido definir a energia por unidade de carga. Assim, la variação infinitesimal de potencial ($d\varphi$) é introduzido como la variação infinitesimal de trabalho ($dW$) vezes la carga de teste ($q$):
| $ d\varphi \equiv -\lim_{q\rightarrow 0} \displaystyle\frac{1}{ q } dW $ |
Um sinal negativo é incluído porque se entende que esta é a energia consumida, ou seja, subtraída do sistema.
ID:(11516, 0)
Potencial elétrico para um segmento
Equação
La variação infinitesimal de potencial ($d\varphi$) é com o campo elétrico ($\vec{E}$) e o elemento do caminho percorrido ($d\vec{s}$) o mesmo
| $ d\varphi = -\vec{E} \cdot d\vec{s} $ |
La variação infinitesimal de potencial ($d\varphi$) é La variação infinitesimal de trabalho ($dW$) multiplicado por la carga de teste ($q$):
| $ d\varphi \equiv -\lim_{q\rightarrow 0} \displaystyle\frac{1}{ q } dW $ |
Portanto, com o campo elétrico ($\vec{E}$) e o elemento do caminho percorrido ($d\vec{s}$):
| $ dW = q \vec{E} \cdot d\vec{s} $ |
Isso resulta em:
| $ d\varphi = -\vec{E} \cdot d\vec{s} $ |
A unidade de medida para o potencial elétrico é Newton metro por Coulomb (N m/C ou J/C), que é denominado Volt.
ID:(11518, 0)
Diferença de potencial elétrico como integral
Equação
La diferença potencial ($\Delta\varphi$) é igual à soma de o campo elétrico ($\vec{E}$) ao longo de um caminho integrado sobre o elemento do caminho percorrido ($d\vec{s}$):
| $ \Delta\varphi = -\displaystyle\int_C \vec{E}\cdot d\vec{s} $ |
Se somarmos as contribuições de la variação infinitesimal de potencial ($d\varphi$) com o campo elétrico ($\vec{E}$) sobre um elemento do caminho percorrido ($d\vec{s}$):
| $ d\varphi = -\vec{E} \cdot d\vec{s} $ |
obtém-se la diferença de potencial ($d\varphi$):
$d\varphi_1+d\varphi_2+d\varphi_3+\ldots = \displaystyle\sum_i d\varphi_i = \Delta\varphi$
e a soma dos campos ao longo dos caminhos:
$\vec{E}_1\cdot d\vec{s}_1+\vec{E}_2\cdot d\vec{s}_2+\vec{E}_3\cdot d\vec{s}_3+\ldots = \displaystyle\sum_i \vec{E}_i \cdot d\vec{s}_i$
que no limite contínuo pode ser escrito como a integral de:
| $ \Delta\varphi = -\displaystyle\int_C \vec{E}\cdot d\vec{s} $ |
ID:(11519, 0)
Potencial elétrico como diferença
Equação
La diferença potencial ($\Delta\varphi$) é calculado considerando o potencial elétrico ($\varphi$) menos o potencial elétrico básico ($\varphi_0$):
| $ \Delta\varphi = \varphi - \varphi_0 $ |
ID:(11521, 0)
Cálculo do potencial elétrico
Equação
O potencial elétrico ($\varphi$) pode ser calculado a partir de o potencial elétrico básico ($\varphi_0$) e o campo elétrico ($\vec{E}$) integrados ao longo de um caminho sobre o elemento do caminho percorrido ($d\vec{s}$):
| $ \varphi =\varphi_0 - \displaystyle\int_C \vec{E}\cdot d\vec{s}$ |
La diferença potencial ($\Delta\varphi$) é igual à soma de o campo elétrico ($\vec{E}$) ao longo de um caminho integrado sobre o elemento do caminho percorrido ($d\vec{s}$):
| $ \Delta\varphi = -\displaystyle\int_C \vec{E}\cdot d\vec{s} $ |
Como la diferença potencial ($\Delta\varphi$) é calculado considerando o potencial elétrico ($\varphi$) menos o potencial elétrico básico ($\varphi_0$):
| $ \Delta\varphi = \varphi - \varphi_0 $ |
portanto
| $ \varphi =\varphi_0 - \displaystyle\int_C \vec{E}\cdot d\vec{s}$ |
ID:(3844, 0)
Variações do potencial elétrico em caminho fechado
Equação
A integral do produto de o campo elétrico ($E$) multiplicado na direção do caminho, ou seja, integrado sobre o elemento do caminho percorrido ($d\vec{s}$) ao longo de um caminho fechado, é zero:
| $ \displaystyle\oint_C \vec{E}\cdot d\vec{s}=0$ |
Ao calcular a integral de o campo elétrico ($E$) sobre um caminho fechado o elemento do caminho percorrido ($d\vec{s}$), ela pode ser decomposta em duas partes: uma de P1 para P2 e outra de volta de P2 para P1. Isso resulta em
$\displaystyle\oint_C \vec{E}\cdot d\vec{s} = \displaystyle\oint_{P1}^{P2} \vec{E}\cdot d\vec{s} - \displaystyle\oint_{P2}^{P1} \vec{E}\cdot d\vec{s} = 0$
portanto, com
| $ \displaystyle\oint_C \vec{E}\cdot d\vec{s}=0$ |
Portanto,
Se uma partícula carregada percorre um caminho fechado em um campo elétrico, o campo fornecerá a mesma quantidade de energia que a partícula necessita para completar o caminho.
ID:(11522, 0)
Campo como gradiente de potencial elétrico
Equação
O campo elétrico ($\vec{E}$) é igual a menos que o gradiente de o potencial elétrico ($\varphi$):
| $ \vec{E} = -\nabla\varphi $ |
Como la variação infinitesimal de potencial ($d\varphi$) é o produto de o campo elétrico ($\vec{E}$) com o elemento do caminho percorrido ($d\vec{s}$)
| $ d\varphi = -\vec{E} \cdot d\vec{s} $ |
e considerando os componentes de o campo elétrico ($\vec{E}$)
$\vec{E} = \hat{x} E_x + \hat{y} E_y + \hat{z} E_z$
junto com os de o elemento do caminho percorrido ($d\vec{s}$)
$d\vec{s} = \hat{x} dx + \hat{y} dy + \hat{z} dz$
a expressão pode ser simplificada para
$d\varphi = -E_x dx - E_y dy - E_z dz$
Com a variação do potencial
| $ d\varphi = \displaystyle\frac{\partial \varphi}{\partial x} dx + \displaystyle\frac{\partial \varphi}{\partial y} dy + \displaystyle\frac{\partial \varphi}{\partial z} dz $ |
e o gradiente calculado como
| $ \nabla \varphi = \hat{x}\displaystyle\frac{\partial \varphi}{\partial x} + \hat{y}\displaystyle\frac{\partial \varphi}{\partial y} + \hat{z}\displaystyle\frac{\partial \varphi}{\partial z}$ |
conclui-se que o gradiente do potencial é igual ao negativo do campo elétrico.
| $ \vec{E} = -\nabla\varphi $ |
ID:(11557, 0)