Storyboard

Sempre que o conceito de força é introduzido, e consequentemente o de energia, é possível modelar a força usando energia potencial. Da mesma forma, para a força descrita pela lei de Coulomb, pode-se derivar uma energia potencial, que neste contexto é conhecida como potencial elétrico.

>Modelo

ID:(1561, 0)

Iframe

>Top

ID:(15800, 0)

Imagem

>Top

Se múltiplos valores de distância infinitesimal ($ds$) forem considerados ao longo de um caminho, é possível calcular a energia por carga, correspondente a o potencial elétrico ($\varphi$), necessária para mover uma carga ao longo desse caminho com uma força por carga que corresponde a o campo elétrico ($\vec{E}$):

Isso é representado graficamente como:

ID:(11517, 0)

Imagem

>Top

Se considerarmos dois caminhos distintos,

• um em que se chega a uma certa distância da carga e depois se aproxima dela de forma perpendicular ao campo elétrico,
• outro em que se afasta mais da origem e depois retorna à carga, compensando a distância adicional pelo sinal,
observar-se-á que ambos os caminhos produzem o mesmo resultado:

Portanto, podemos concluir que

O potencial elétrico entre dois pontos é igual ao integral de linha do campo elétrico ao longo de um segmento, sendo este integral independente do caminho escolhido.

Com esse conhecimento, é possível proceder à estimativa de campos elétricos escolhendo o caminho mais simples para a integração ou soma de campos ao longo dos segmentos.

ID:(11520, 0)

Top

>Top

Parâmetros

Variáveis

$E$

E

Campo elétrico

V/m

$\vec{E}$

&E

Campo elétrico

V/m

$q$

q

Carga de teste

C

$Q$

Q

Charge

C

$\Delta\varphi$

Dphi

Diferença potencial

V

$ds$

ds

Distância infinitesimal

m

$d\vec{s}$

d&s

Elemento do caminho percorrido

m

$\vec{r}$

&r

Posição

m

$\varphi$

phi

Potencial elétrico

V

$\varphi_0$

phi_0

Potencial elétrico básico

V

$d\varphi$

dphi

Variação infinitesimal de potencial

J

$dW$

dW

Variação infinitesimal de trabalho

J

Cálculos

• Método alternativo
• Método tradicional
• Estratégia
• 2D
• 3D

Equação

Equação

Primeiro, selecione a equação: para , depois, selecione a variável: para

---

Cálculos

Símbolo

Equação

Resolvido

Traduzido

Cálculos

Símbolo

Equação

Resolvido

Traduzido

Variáve Dado Calcular Objetivo : Equação A ser usado

Equações

ID:(15801, 0)

Equação

>Top, >Modelo

La variação infinitesimal de trabalho ($dW$) é com o campo elétrico ($\vec{E}$), la carga de teste ($q$) e o elemento do caminho percorrido ($d\vec{s}$) é igual a

$dW = q \vec{E} \cdot d\vec{s}$

Condições

Variáveis

$\vec{E}$

Campo elétrico

$V/m$

9687

$Q$

Charge

$C$

5459

$d\vec{s}$

Elemento do caminho percorrido

$m$

8751

$dW$

Variação infinitesimal de trabalho

$J$

8590

Relação

Desenvolvimento

Como la variação infinitesimal de trabalho ($dW$) está relacionado com la força ($\vec{F}$) e o elemento do caminho percorrido ($d\vec{s}$) por:

$dW = \vec{F} \cdot d\vec{s}$

e a força pode ser expressa em função de o campo elétrico ($\vec{E}$) e la carga de teste ($q$) como:

$\vec{F} = q \vec{E}$

a energia associada ao campo elétrico pode ser calculada usando:

$dW = q \vec{E} \cdot d\vec{s}$

ID:(11515, 0)

Equação

>Top, >Modelo

No contexto da energia para uma carga la carga de teste ($q$), surge novamente o problema de um parâmetro que, ao ser medido, depende dos instrumentos de medição. Portanto, faz sentido definir a energia por unidade de carga. Assim, la variação infinitesimal de potencial ($d\varphi$) é introduzido como la variação infinitesimal de trabalho ($dW$) vezes la carga de teste ($q$):

$d\varphi \equiv -\lim_{q\rightarrow 0} \displaystyle\frac{1}{ q } dW$

Condições

Variáveis

$q$

Carga de teste

$C$

8746

$d\varphi$

Variação infinitesimal de potencial

$V$

9698

$dW$

Variação infinitesimal de trabalho

$J$

8590

Relação

Um sinal negativo é incluído porque se entende que esta é a energia consumida, ou seja, subtraída do sistema.

ID:(11516, 0)

Equação

>Top, >Modelo

La variação infinitesimal de potencial ($d\varphi$) é com o campo elétrico ($\vec{E}$) e o elemento do caminho percorrido ($d\vec{s}$) o mesmo

$d\varphi = -\vec{E} \cdot d\vec{s}$

Condições

Variáveis

$\vec{E}$

Campo elétrico

$V/m$

9687

$d\vec{s}$

Elemento do caminho percorrido

$m$

8751

$d\varphi$

Variação infinitesimal de potencial

$V$

9698

Relação

Desenvolvimento

La variação infinitesimal de potencial ($d\varphi$) é La variação infinitesimal de trabalho ($dW$) multiplicado por la carga de teste ($q$):

$d\varphi \equiv -\lim_{q\rightarrow 0} \displaystyle\frac{1}{ q } dW$

Portanto, com o campo elétrico ($\vec{E}$) e o elemento do caminho percorrido ($d\vec{s}$):

$dW = q \vec{E} \cdot d\vec{s}$

Isso resulta em:

$d\varphi = -\vec{E} \cdot d\vec{s}$

A unidade de medida para o potencial elétrico é Newton metro por Coulomb (N m/C ou J/C), que é denominado Volt.

ID:(11518, 0)

Equação

>Top, >Modelo

La diferença potencial ($\Delta\varphi$) é igual à soma de o campo elétrico ($\vec{E}$) ao longo de um caminho integrado sobre o elemento do caminho percorrido ($d\vec{s}$):

$\Delta\varphi = -\displaystyle\int_C \vec{E}\cdot d\vec{s}$

Condições

Variáveis

$\vec{E}$

Campo elétrico

$V/m$

9687

$\Delta\varphi$

Diferença potencial

$V$

5477

$d\vec{s}$

Elemento do caminho percorrido

$m$

8751

Relação

Desenvolvimento

Se somarmos as contribuições de la variação infinitesimal de potencial ($d\varphi$) com o campo elétrico ($\vec{E}$) sobre um elemento do caminho percorrido ($d\vec{s}$):

$d\varphi = -\vec{E} \cdot d\vec{s}$

obtém-se la diferença de potencial ($d\varphi$):

$d\varphi_1+d\varphi_2+d\varphi_3+\ldots = \displaystyle\sum_i d\varphi_i = \Delta\varphi$

e a soma dos campos ao longo dos caminhos:

$\vec{E}_1\cdot d\vec{s}_1+\vec{E}_2\cdot d\vec{s}_2+\vec{E}_3\cdot d\vec{s}_3+\ldots = \displaystyle\sum_i \vec{E}_i \cdot d\vec{s}_i$

que no limite contínuo pode ser escrito como a integral de:

$\Delta\varphi = -\displaystyle\int_C \vec{E}\cdot d\vec{s}$

ID:(11519, 0)

Equação

>Top, >Modelo

La diferença potencial ($\Delta\varphi$) é calculado considerando o potencial elétrico ($\varphi$) menos o potencial elétrico básico ($\varphi_0$):

$\Delta\varphi = \varphi - \varphi_0$

Condições

Variáveis

$\Delta\varphi$

Campo elétrico

$V/m$

5464

$\varphi$

Potencial elétrico

$V$

5479

$\varphi_0$

Potencial elétrico básico

$V$

5478

Relação

ID:(11521, 0)

Equação

>Top, >Modelo

O potencial elétrico ($\varphi$) pode ser calculado a partir de o potencial elétrico básico ($\varphi_0$) e o campo elétrico ($\vec{E}$) integrados ao longo de um caminho sobre o elemento do caminho percorrido ($d\vec{s}$):

$\varphi =\varphi_0 - \displaystyle\int_C \vec{E}\cdot d\vec{s}$

Condições

Variáveis

$\vec{E}$

Campo elétrico

$V/m$

9687

$d\vec{s}$

Distância infinitesimal

$m$

5480

$\varphi$

Potencial elétrico

$V$

5479

$\varphi_0$

Potencial elétrico básico

$V$

5478

Relação

Desenvolvimento

La diferença potencial ($\Delta\varphi$) é igual à soma de o campo elétrico ($\vec{E}$) ao longo de um caminho integrado sobre o elemento do caminho percorrido ($d\vec{s}$):

$\Delta\varphi = -\displaystyle\int_C \vec{E}\cdot d\vec{s}$

Como la diferença potencial ($\Delta\varphi$) é calculado considerando o potencial elétrico ($\varphi$) menos o potencial elétrico básico ($\varphi_0$):

$\Delta\varphi = \varphi - \varphi_0$

portanto

$\varphi =\varphi_0 - \displaystyle\int_C \vec{E}\cdot d\vec{s}$

ID:(3844, 0)

Equação

>Top, >Modelo

A integral do produto de o campo elétrico ($E$) multiplicado na direção do caminho, ou seja, integrado sobre o elemento do caminho percorrido ($d\vec{s}$) ao longo de um caminho fechado, é zero:

$\displaystyle\oint_C \vec{E}\cdot d\vec{s}=0$

Condições

Variáveis

$E$

Campo elétrico

$V/m$

5464

$d\vec{s}$

Elemento do caminho percorrido

$m$

8751

Relação

Desenvolvimento

Ao calcular a integral de o campo elétrico ($E$) sobre um caminho fechado o elemento do caminho percorrido ($d\vec{s}$), ela pode ser decomposta em duas partes: uma de P1 para P2 e outra de volta de P2 para P1. Isso resulta em

$\displaystyle\oint_C \vec{E}\cdot d\vec{s} = \displaystyle\oint_{P1}^{P2} \vec{E}\cdot d\vec{s} - \displaystyle\oint_{P2}^{P1} \vec{E}\cdot d\vec{s} = 0$

portanto, com

$\displaystyle\oint_C \vec{E}\cdot d\vec{s}=0$

Portanto,

Se uma partícula carregada percorre um caminho fechado em um campo elétrico, o campo fornecerá a mesma quantidade de energia que a partícula necessita para completar o caminho.

ID:(11522, 0)

Equação

>Top, >Modelo

O campo elétrico ($\vec{E}$) é igual a menos que o gradiente de o potencial elétrico ($\varphi$):

$\vec{E} = -\nabla\varphi$

Condições

Variáveis

$\vec{E}$

Campo elétrico

$V/m$

9687

$\vec{r}$

Posição

$m$

8747

$\varphi$

Potencial elétrico

$V$

5479

Relação

Desenvolvimento

Como la variação infinitesimal de potencial ($d\varphi$) é o produto de o campo elétrico ($\vec{E}$) com o elemento do caminho percorrido ($d\vec{s}$)

$d\varphi = -\vec{E} \cdot d\vec{s}$

e considerando os componentes de o campo elétrico ($\vec{E}$)

$\vec{E} = \hat{x} E_x + \hat{y} E_y + \hat{z} E_z$

junto com os de o elemento do caminho percorrido ($d\vec{s}$)

$d\vec{s} = \hat{x} dx + \hat{y} dy + \hat{z} dz$

a expressão pode ser simplificada para

$d\varphi = -E_x dx - E_y dy - E_z dz$

Com a variação do potencial

$d\varphi = \displaystyle\frac{\partial \varphi}{\partial x} dx + \displaystyle\frac{\partial \varphi}{\partial y} dy + \displaystyle\frac{\partial \varphi}{\partial z} dz$

e o gradiente calculado como

$\nabla \varphi = \hat{x}\displaystyle\frac{\partial \varphi}{\partial x} + \hat{y}\displaystyle\frac{\partial \varphi}{\partial y} + \hat{z}\displaystyle\frac{\partial \varphi}{\partial z}$

conclui-se que o gradiente do potencial é igual ao negativo do campo elétrico.

$\vec{E} = -\nabla\varphi$

ID:(11557, 0)