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Elektrisches Potenzial
Storyboard 
Jedes Mal, wenn das Konzept der Kraft und damit das Konzept der Energie eingeführt wird, kann die Kraft unter Verwendung potenzieller Energie modelliert werden. Auf die gleiche Weise kann eine potentielle Energie für die durch das Coulombsche Gesetz definierte Kraft abgeleitet werden, die in diesem Fall als elektrisches Potential bezeichnet wird.
ID:(1561, 0)
Elektrisches Potential entlang einer Weges
Bild
Wenn entlang eines Pfades mehrere Werte von Infinitesimalen Entfernung ($ds$) betrachtet werden, lässt sich die Energie pro Ladung berechnen, die dem Wert der Elektrisches Potential ($\varphi$) entspricht. Diese Energie ist notwendig, um eine Ladung entlang dieses Weges mit einer Kraft pro Ladung, die der Elektrisches Feld ($\vec{E}$) entspricht, zu bewegen:
| $ \varphi =\varphi_0 - \displaystyle\int_C \vec{E}\cdot d\vec{s}$ |
Dies wird grafisch wie folgt dargestellt:
ID:(11517, 0)
Wegunabhängigkeit vom elektrischen Potential
Bild
Wenn wir zwei verschiedene Wege betrachten,
• einen, bei dem man sich einer Ladung aus einer bestimmten Entfernung nähert und sich dann senkrecht zum elektrischen Feld auf sie zu bewegt,
• einen anderen, bei dem man sich weiter vom Ursprung entfernt und dann zur Ladung zurückkehrt, wobei der zusätzliche Weg durch das Vorzeichen ausgeglichen wird,
wird beobachtet, dass beide Wege das gleiche Ergebnis liefern:
Daher können wir folgern, dass
Das elektrische Potential zwischen zwei Punkten entspricht dem Linienintegral des elektrischen Feldes entlang eines Segments, wobei das Integral unabhängig vom gewählten Weg ist.
Mit diesem Wissen kann man weiterhin elektrische Felder abschätzen, indem man den einfachsten Weg für die Integration oder Summation von Feldern entlang von Segmenten wählt.
ID:(11520, 0)
Modell
Top
Parameter
Variablen
Berechnungen
zu 
, dann die Variable auswählen: 
zu 
Berechnungen
Berechnungen
Variable 
Gegeben Berechnen 
Ziel : Gleichung Zu verwenden 
Gleichungen
$ \Delta\varphi = -\displaystyle\int_C \vec{E}\cdot d\vec{s} $
$ \displaystyle\oint_C \vec{E}\cdot d\vec{s}=0$
$ d\varphi \equiv -\lim_{q\rightarrow 0} \displaystyle\frac{1}{ q } dW $
dphi = - dW / q
$ d\varphi = -\vec{E} \cdot d\vec{s} $
dphi = - E ds
$ \Delta\varphi = \varphi - \varphi_0 $
Dphi = phi - phi_0
$ dW = q \vec{E} \cdot d\vec{s} $
dW = q E ds
$ \vec{E} = -\nabla\varphi $
E = - grad phi
$ \varphi =\varphi_0 - \displaystyle\int_C \vec{E}\cdot d\vec{s}$
phi = phi_0 - @INT( &E . d&s , C )
ID:(15801, 0)
Energie und elektrisches Feld
Gleichung
Die Unendlich kleine Variation der Arbeit ($dW$) ist mit der Elektrisches Feld ($\vec{E}$), die Test Ladung ($q$) und der Wegelement zurückgelegt ($d\vec{s}$) gleich
| $ dW = q \vec{E} \cdot d\vec{s} $ |
Da die Unendlich kleine Variation der Arbeit ($dW$) in Beziehung zu die Kraft ($\vec{F}$) und der Wegelement zurückgelegt ($d\vec{s}$) steht durch:
| $ dW = \vec{F} \cdot d\vec{s} $ |
und die Kraft in Abhängigkeit von der Elektrisches Feld ($\vec{E}$) und die Test Ladung ($q$) ausgedrückt werden kann als:
| $ \vec{F} = q \vec{E} $ |
kann die mit dem elektrischen Feld verbundene Energie berechnet werden mit:
| $ dW = q \vec{E} \cdot d\vec{s} $ |
ID:(11515, 0)
Energie pro Testladung
Gleichung
In Bezug auf die Energie für eine Ladung die Test Ladung ($q$) tritt erneut das Problem auf, dass ein Parameter, der gemessen wird, von den Messinstrumenten abhängt. Daher ist es sinnvoll, die Energie pro Ladungseinheit zu definieren. So wird die Infinitesimale Variation des Potenzials ($d\varphi$) als die Unendlich kleine Variation der Arbeit ($dW$) mal die Test Ladung ($q$) eingeführt:
| $ d\varphi \equiv -\lim_{q\rightarrow 0} \displaystyle\frac{1}{ q } dW $ |
Ein negatives Vorzeichen wird hinzugefügt, da es sich um die Energie handelt, die verbraucht wird, also vom System abgezogen wird.
ID:(11516, 0)
Elektrisches Potenzial für ein Segment
Gleichung
Die Infinitesimale Variation des Potenzials ($d\varphi$) ist mit der Elektrisches Feld ($\vec{E}$) und der Wegelement zurückgelegt ($d\vec{s}$) identisch
| $ d\varphi = -\vec{E} \cdot d\vec{s} $ |
Die Infinitesimale Variation des Potenzials ($d\varphi$) ist die Unendlich kleine Variation der Arbeit ($dW$) mal die Test Ladung ($q$):
| $ d\varphi \equiv -\lim_{q\rightarrow 0} \displaystyle\frac{1}{ q } dW $ |
Daher, mit der Elektrisches Feld ($\vec{E}$) und der Wegelement zurückgelegt ($d\vec{s}$):
| $ dW = q \vec{E} \cdot d\vec{s} $ |
Dies ergibt:
| $ d\varphi = -\vec{E} \cdot d\vec{s} $ |
Die Einheit zur Messung des elektrischen Potentials ist Newtonmeter pro Coulomb (N m/C oder J/C), was als Volt bezeichnet wird.
ID:(11518, 0)
Elektrische Potentialdifferenz als Integral
Gleichung
Die Potentialdifferenz ($\Delta\varphi$) entspricht der Summe von der Elektrisches Feld ($\vec{E}$) entlang eines über der Wegelement zurückgelegt ($d\vec{s}$) integrierten Pfads:
| $ \Delta\varphi = -\displaystyle\int_C \vec{E}\cdot d\vec{s} $ |
Wenn die Beiträge von die Infinitesimale Variation des Potenzials ($d\varphi$) mit der Elektrisches Feld ($\vec{E}$) über ein Wegelement zurückgelegt ($d\vec{s}$) summiert werden:
| $ d\varphi = -\vec{E} \cdot d\vec{s} $ |
erhalten wir die Potentialdifferenz ($d\varphi$):
$d\varphi_1+d\varphi_2+d\varphi_3+\ldots = \displaystyle\sum_i d\varphi_i = \Delta\varphi$
und die Summe der Felder entlang der Wege:
$\vec{E}_1\cdot d\vec{s}_1+\vec{E}_2\cdot d\vec{s}_2+\vec{E}_3\cdot d\vec{s}_3+\ldots = \displaystyle\sum_i \vec{E}_i \cdot d\vec{s}_i$
was im kontinuierlichen Grenzfall als das Integral von:
| $ \Delta\varphi = -\displaystyle\int_C \vec{E}\cdot d\vec{s} $ |
geschrieben werden kann.
ID:(11519, 0)
Elektrisches Potential als Differenz
Gleichung
Die Potentialdifferenz ($\Delta\varphi$) wird unter Berücksichtigung von der Elektrisches Potential ($\varphi$) minus der Elektrisches Grundpotential ($\varphi_0$) berechnet:
| $ \Delta\varphi = \varphi - \varphi_0 $ |
ID:(11521, 0)
Berechnung des elektrischen Potenzials
Gleichung
Der Elektrisches Potential ($\varphi$) kann aus der Elektrisches Grundpotential ($\varphi_0$) und der Elektrisches Feld ($\vec{E}$) berechnet werden, die entlang eines Pfads über der Wegelement zurückgelegt ($d\vec{s}$) integriert werden:
| $ \varphi =\varphi_0 - \displaystyle\int_C \vec{E}\cdot d\vec{s}$ |
Die Potentialdifferenz ($\Delta\varphi$) entspricht der Summe von der Elektrisches Feld ($\vec{E}$) entlang eines integrierten Pfades über der Wegelement zurückgelegt ($d\vec{s}$):
| $ \Delta\varphi = -\displaystyle\int_C \vec{E}\cdot d\vec{s} $ |
Da die Potentialdifferenz ($\Delta\varphi$) berechnet wird, indem man der Elektrisches Potential ($\varphi$) minus der Elektrisches Grundpotential ($\varphi_0$) betrachtet:
| $ \Delta\varphi = \varphi - \varphi_0 $ |
deshalb
| $ \varphi =\varphi_0 - \displaystyle\int_C \vec{E}\cdot d\vec{s}$ |
ID:(3844, 0)
Elektrische Potentialänderung auf einen geschlossenene Weg
Gleichung
Das Integral des Produkts von der Elektrisches Feld ($E$) multipliziert in Richtung des Pfades, also integriert über der Wegelement zurückgelegt ($d\vec{s}$) entlang eines geschlossenen Pfades, ist Null:
| $ \displaystyle\oint_C \vec{E}\cdot d\vec{s}=0$ |
Bei der Berechnung des Integrals von der Elektrisches Feld ($E$) über einen geschlossenen Pfad der Wegelement zurückgelegt ($d\vec{s}$) kann das Integral in zwei Teile zerlegt werden: einen von P1 nach P2 und einen zurück von P2 nach P1. Dadurch ergibt sich
$\displaystyle\oint_C \vec{E}\cdot d\vec{s} = \displaystyle\oint_{P1}^{P2} \vec{E}\cdot d\vec{s} - \displaystyle\oint_{P2}^{P1} \vec{E}\cdot d\vec{s} = 0$
daher, mit
| $ \displaystyle\oint_C \vec{E}\cdot d\vec{s}=0$ |
Deshalb,
Wenn ein geladenes Teilchen einen geschlossenen Weg in einem elektrischen Feld zurücklegt, wird das Feld die gleiche Menge an Energie bereitstellen, wie sie vom Teilchen benötigt wird, um den Weg zu vollenden.
ID:(11522, 0)
Feld als Gradient des elektrischen Potentials
Gleichung
Der Elektrisches Feld ($\vec{E}$) ist gleich kleiner als der Gradient von der Elektrisches Potential ($\varphi$):
| $ \vec{E} = -\nabla\varphi $ |
Da die Infinitesimale Variation des Potenzials ($d\varphi$) das Produkt von der Elektrisches Feld ($\vec{E}$) und der Wegelement zurückgelegt ($d\vec{s}$) ist
| $ d\varphi = -\vec{E} \cdot d\vec{s} $ |
und unter Berücksichtigung der Komponenten von der Elektrisches Feld ($\vec{E}$)
$\vec{E} = \hat{x} E_x + \hat{y} E_y + \hat{z} E_z$
zusammen mit denen von der Wegelement zurückgelegt ($d\vec{s}$)
$d\vec{s} = \hat{x} dx + \hat{y} dy + \hat{z} dz$
kann der Ausdruck vereinfacht werden zu
$d\varphi = -E_x dx - E_y dy - E_z dz$
Mit der Veränderung des Potentials
| $ d\varphi = \displaystyle\frac{\partial \varphi}{\partial x} dx + \displaystyle\frac{\partial \varphi}{\partial y} dy + \displaystyle\frac{\partial \varphi}{\partial z} dz $ |
und dem berechneten Gradienten
| $ \nabla \varphi = \hat{x}\displaystyle\frac{\partial \varphi}{\partial x} + \hat{y}\displaystyle\frac{\partial \varphi}{\partial y} + \hat{z}\displaystyle\frac{\partial \varphi}{\partial z}$ |
folgt, dass der Gradient des Potentials gleich dem negativen elektrischen Feld ist.
| $ \vec{E} = -\nabla\varphi $ |
ID:(11557, 0)