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Potentiel électrique
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Chaque fois que le concept de force est introduit, et par conséquent celui d'énergie, il est possible de modéliser la force à l'aide d'une énergie potentielle. De même, pour la force décrite par la loi de Coulomb, on peut dériver une énergie potentielle, qui dans ce contexte est appelée potentiel électrique.
ID:(1561, 0)
Potentiel électrique le long d'un chemin
Image
Si plusieurs valeurs de distance infinitésimale ($ds$) sont prises en compte le long d'un chemin, il est possible de calculer l'énergie par charge, correspondant à Le potentiel électrique ($\varphi$), nécessaire pour déplacer une charge le long de ce chemin avec une force par charge correspondant à Le champ électrique ($\vec{E}$) :
| $ \varphi =\varphi_0 - \displaystyle\int_C \vec{E}\cdot d\vec{s}$ |
Ceci est représenté graphiquement comme suit :
ID:(11517, 0)
Indépendance du chemin du potentiel électrique
Image
Si nous considérons deux chemins différents,
• un où l'on s'approche d'une charge à partir d'une certaine distance puis on se dirige vers elle perpendiculairement au champ électrique,
• un autre où l'on s'éloigne davantage de l'origine puis on revient vers la charge, compensant la distance supplémentaire par le signe,
il sera observé que les deux chemins donnent le même résultat :
Par conséquent, nous pouvons conclure que
Le potentiel électrique entre deux points est égal à l'intégrale curviligne du champ électrique le long d'un segment, cette intégrale étant indépendante du chemin choisi.
Avec cette connaissance, on peut procéder à l'estimation des champs électriques en choisissant le chemin le plus simple pour l'intégration ou la sommation des champs le long des segments.
ID:(11520, 0)
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Équations
$ \Delta\varphi = -\displaystyle\int_C \vec{E}\cdot d\vec{s} $
$ \displaystyle\oint_C \vec{E}\cdot d\vec{s}=0$
$ d\varphi \equiv -\lim_{q\rightarrow 0} \displaystyle\frac{1}{ q } dW $
dphi = - dW / q
$ d\varphi = -\vec{E} \cdot d\vec{s} $
dphi = - E ds
$ \Delta\varphi = \varphi - \varphi_0 $
Dphi = phi - phi_0
$ dW = q \vec{E} \cdot d\vec{s} $
dW = q E ds
$ \vec{E} = -\nabla\varphi $
E = - grad phi
$ \varphi =\varphi_0 - \displaystyle\int_C \vec{E}\cdot d\vec{s}$
phi = phi_0 - @INT( &E . d&s , C )
ID:(15801, 0)
Énergie et champ électrique
Équation
A variation infinitésimale du travail ($dW$) est avec le champ électrique ($\vec{E}$), a charge d'essai ($q$) et le élément de chemin parcouru ($d\vec{s}$) est égal à
| $ dW = q \vec{E} \cdot d\vec{s} $ |
Étant donné que a variation infinitésimale du travail ($dW$) est lié à A force ($\vec{F}$) et le élément de chemin parcouru ($d\vec{s}$) par:
| $ dW = \vec{F} \cdot d\vec{s} $ |
et que la force peut être exprimée en fonction de le champ électrique ($\vec{E}$) et a charge d'essai ($q$) comme suit:
| $ \vec{F} = q \vec{E} $ |
l'énergie associée au champ électrique peut être calculée en utilisant:
| $ dW = q \vec{E} \cdot d\vec{s} $ |
ID:(11515, 0)
Énergie par charge de test
Équation
Dans le contexte de l'énergie pour une charge a charge d'essai ($q$), le problème se pose à nouveau d'un paramètre qui, lorsqu'il est mesuré, dépend des instruments de mesure. Par conséquent, il est logique de définir l'énergie par unité de charge. Ainsi, a variation infinitésimale du potentiel ($d\varphi$) est introduit comme a variation infinitésimale du travail ($dW$) multiplié par a charge d'essai ($q$) :
| $ d\varphi \equiv -\lim_{q\rightarrow 0} \displaystyle\frac{1}{ q } dW $ |
Un signe négatif est inclus car on considère qu'il s'agit de l'énergie consommée, c'est-à-dire soustraite du système.
ID:(11516, 0)
Potentiel électrique pour un segment
Équation
A variation infinitésimale du potentiel ($d\varphi$) est identique à Le champ électrique ($\vec{E}$) et le élément de chemin parcouru ($d\vec{s}$)
| $ d\varphi = -\vec{E} \cdot d\vec{s} $ |
A variation infinitésimale du potentiel ($d\varphi$) est a variation infinitésimale du travail ($dW$) multiplié par a charge d'essai ($q$) :
| $ d\varphi \equiv -\lim_{q\rightarrow 0} \displaystyle\frac{1}{ q } dW $ |
Donc, avec le champ électrique ($\vec{E}$) et le élément de chemin parcouru ($d\vec{s}$) :
| $ dW = q \vec{E} \cdot d\vec{s} $ |
Cela donne :
| $ d\varphi = -\vec{E} \cdot d\vec{s} $ |
L'unité de mesure du potentiel électrique est le newton-mètre par coulomb (N m/C ou J/C), que l'on appelle le volt.
ID:(11518, 0)
Différence de potentiel électrique comme intégrale
Équation
A différence potentielle ($\Delta\varphi$) est égal à la somme de le champ électrique ($\vec{E}$) le long d'un chemin intégré sur le élément de chemin parcouru ($d\vec{s}$) :
| $ \Delta\varphi = -\displaystyle\int_C \vec{E}\cdot d\vec{s} $ |
Si l'on additionne les contributions de a variation infinitésimale du potentiel ($d\varphi$) avec le champ électrique ($\vec{E}$) sur un élément de chemin parcouru ($d\vec{s}$) :
| $ d\varphi = -\vec{E} \cdot d\vec{s} $ |
on obtient a différence de potentiel ($d\varphi$) :
$d\varphi_1+d\varphi_2+d\varphi_3+\ldots = \displaystyle\sum_i d\varphi_i = \Delta\varphi$
et la somme des champs le long des chemins :
$\vec{E}_1\cdot d\vec{s}_1+\vec{E}_2\cdot d\vec{s}_2+\vec{E}_3\cdot d\vec{s}_3+\ldots = \displaystyle\sum_i \vec{E}_i \cdot d\vec{s}_i$
qui, dans la limite continue, peut être écrite comme l'intégrale de :
| $ \Delta\varphi = -\displaystyle\int_C \vec{E}\cdot d\vec{s} $ |
ID:(11519, 0)
Potentiel électrique comme différence
Équation
A différence potentielle ($\Delta\varphi$) est calculé en considérant le potentiel électrique ($\varphi$) moins le potentiel électrique de base ($\varphi_0$) :
| $ \Delta\varphi = \varphi - \varphi_0 $ |
ID:(11521, 0)
Calcul du potentiel électrique
Équation
Le potentiel électrique ($\varphi$) peut être calculé à partir de le potentiel électrique de base ($\varphi_0$) et le champ électrique ($\vec{E}$) intégrés le long d'un chemin sur le élément de chemin parcouru ($d\vec{s}$) :
| $ \varphi =\varphi_0 - \displaystyle\int_C \vec{E}\cdot d\vec{s}$ |
A différence potentielle ($\Delta\varphi$) est égal à la somme de le champ électrique ($\vec{E}$) le long d'un chemin intégré sur le élément de chemin parcouru ($d\vec{s}$) :
| $ \Delta\varphi = -\displaystyle\int_C \vec{E}\cdot d\vec{s} $ |
Comme a différence potentielle ($\Delta\varphi$) est calculé en considérant le potentiel électrique ($\varphi$) moins le potentiel électrique de base ($\varphi_0$) :
| $ \Delta\varphi = \varphi - \varphi_0 $ |
donc
| $ \varphi =\varphi_0 - \displaystyle\int_C \vec{E}\cdot d\vec{s}$ |
ID:(3844, 0)
Variations de potentiel électrique dans un chemin fermé
Équation
L'intégrale du produit de le champ électrique ($E$) multiplié dans la direction du chemin, c'est-à-dire intégré sur le élément de chemin parcouru ($d\vec{s}$) le long d'un chemin fermé, est nulle :
| $ \displaystyle\oint_C \vec{E}\cdot d\vec{s}=0$ |
Lors du calcul de l'intégrale de le champ électrique ($E$) sur un chemin fermé Le élément de chemin parcouru ($d\vec{s}$), celle-ci peut être décomposée en deux parties : une de P1 à P2 et une autre de P2 à P1. Cela donne
$\displaystyle\oint_C \vec{E}\cdot d\vec{s} = \displaystyle\oint_{P1}^{P2} \vec{E}\cdot d\vec{s} - \displaystyle\oint_{P2}^{P1} \vec{E}\cdot d\vec{s} = 0$
donc, avec
| $ \displaystyle\oint_C \vec{E}\cdot d\vec{s}=0$ |
Par conséquent,
Si une particule chargée parcourt un chemin fermé dans un champ électrique, le champ fournira la même quantité d'énergie que celle requise par la particule pour compléter le chemin.
ID:(11522, 0)
Champ comme gradient de potentiel électrique
Équation
Le champ électrique ($\vec{E}$) est égal à moins que le gradient de le potentiel électrique ($\varphi$) :
| $ \vec{E} = -\nabla\varphi $ |
Puisque a variation infinitésimale du potentiel ($d\varphi$) est le produit de le champ électrique ($\vec{E}$) et le élément de chemin parcouru ($d\vec{s}$)
| $ d\varphi = -\vec{E} \cdot d\vec{s} $ |
et en considérant les composantes de le champ électrique ($\vec{E}$)
$\vec{E} = \hat{x} E_x + \hat{y} E_y + \hat{z} E_z$
ainsi que celles de le élément de chemin parcouru ($d\vec{s}$)
$d\vec{s} = \hat{x} dx + \hat{y} dy + \hat{z} dz$
l'expression peut être simplifiée à
$d\varphi = -E_x dx - E_y dy - E_z dz$
Avec la variation du potentiel
| $ d\varphi = \displaystyle\frac{\partial \varphi}{\partial x} dx + \displaystyle\frac{\partial \varphi}{\partial y} dy + \displaystyle\frac{\partial \varphi}{\partial z} dz $ |
et le gradient calculé comme
| $ \nabla \varphi = \hat{x}\displaystyle\frac{\partial \varphi}{\partial x} + \hat{y}\displaystyle\frac{\partial \varphi}{\partial y} + \hat{z}\displaystyle\frac{\partial \varphi}{\partial z}$ |
il est conclu que le gradient du potentiel est égal au négatif du champ électrique.
| $ \vec{E} = -\nabla\varphi $ |
ID:(11557, 0)