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Potencial eléctrico
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Cada vez que se introduce el concepto de fuerza, y por ende el de energía, es posible modelar la fuerza utilizando una energía potencial. Del mismo modo, para la fuerza descrita por la ley de Coulomb, se puede derivar una energía potencial conocida en este contexto como potencial eléctrico.
ID:(1561, 0)
Potencial eléctrico a lo largo de un camino
Imagen
Si se consideran múltiples distancia infinitesimal ($ds$) a lo largo de un camino, es posible calcular la energía por carga, correspondiente a el potencial eléctrico ($\varphi$), necesaria para mover una carga a lo largo de dicho camino con una fuerza por carga que corresponde a el campo eléctrico ($\vec{E}$):
| $ \varphi =\varphi_0 - \displaystyle\int_C \vec{E}\cdot d\vec{s}$ |
Esto se representa gráficamente como:
ID:(11517, 0)
Independencia del camino del potencial eléctrico
Imagen
Si consideramos dos caminos distintos,
• uno en el que se llega a una cierta distancia de la carga y luego se aproxima a ella de forma perpendicular al campo eléctrico,
• otro en el que se aleja más del origen y luego regresa hacia la carga, compensando mediante el signo el monto adicional recorrido,
se observará que ambos caminos producen el mismo resultado:
Por lo tanto, podemos concluir que
El potencial eléctrico entre dos puntos es igual al integral de línea del campo eléctrico a lo largo de un segmento, siendo esta integral independiente del camino elegido.
Con este conocimiento, es posible proceder a estimar campos eléctricos seleccionando el camino más sencillo para la integración o suma de campos por segmentos.
ID:(11520, 0)
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, luego, seleccione la variable: 
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Cálculos
Cálculos
Variable 
Dado Calcule 
Objetivo : Ecuación A utilizar 
Ecuaciones
$ \Delta\varphi = -\displaystyle\int_C \vec{E}\cdot d\vec{s} $
$ \displaystyle\oint_C \vec{E}\cdot d\vec{s}=0$
$ d\varphi \equiv -\lim_{q\rightarrow 0} \displaystyle\frac{1}{ q } dW $
dphi = - dW / q
$ d\varphi = -\vec{E} \cdot d\vec{s} $
dphi = - E ds
$ \Delta\varphi = \varphi - \varphi_0 $
Dphi = phi - phi_0
$ dW = q \vec{E} \cdot d\vec{s} $
dW = q E ds
$ \vec{E} = -\nabla\varphi $
E = - grad phi
$ \varphi =\varphi_0 - \displaystyle\int_C \vec{E}\cdot d\vec{s}$
phi = phi_0 - @INT( &E . d&s , C )
ID:(15801, 0)
Energía y campo eléctrico
Ecuación
La variación infinitesimal del trabajo ($dW$) es con el campo eléctrico ($\vec{E}$), la carga de prueba ($q$) y el elemento de camino recorrido ($d\vec{s}$) es igual a
| $ dW = q \vec{E} \cdot d\vec{s} $ |
Dado que la variación infinitesimal del trabajo ($dW$) está relacionado con la fuerza ($\vec{F}$) y el elemento de camino recorrido ($d\vec{s}$) por:
| $ dW = \vec{F} \cdot d\vec{s} $ |
y la fuerza se puede expresar en función de el campo eléctrico ($\vec{E}$) y la carga de prueba ($q$) como:
| $ \vec{F} = q \vec{E} $ |
se puede calcular la energía asociada al campo eléctrico utilizando:
| $ dW = q \vec{E} \cdot d\vec{s} $ |
ID:(11515, 0)
Energía por carga de prueba
Ecuación
En el contexto de la energía para una carga la carga de prueba ($q$), surge nuevamente la problemática de un parámetro que, al ser medido, depende del instrumental de medición. Por ello, tiene sentido definir una energía por unidad de carga. Así se introduce la variación infinitesimal del potencial ($d\varphi$) como la variación infinitesimal del trabajo ($dW$) por la carga de prueba ($q$):
| $ d\varphi \equiv -\lim_{q\rightarrow 0} \displaystyle\frac{1}{ q } dW $ |
Se incluye un signo negativo porque se entiende que es la energía que se consume, es decir, se resta del sistema.
ID:(11516, 0)
Potencial eléctrico para un segmento
Ecuación
La variación infinitesimal del potencial ($d\varphi$) es con el campo eléctrico ($\vec{E}$) y el elemento de camino recorrido ($d\vec{s}$) igual
| $ d\varphi = -\vec{E} \cdot d\vec{s} $ |
La variación infinitesimal del potencial ($d\varphi$) es la variación infinitesimal del trabajo ($dW$) por la carga de prueba ($q$):
| $ d\varphi \equiv -\lim_{q\rightarrow 0} \displaystyle\frac{1}{ q } dW $ |
Por lo tanto, con el campo eléctrico ($\vec{E}$) y el elemento de camino recorrido ($d\vec{s}$):
| $ dW = q \vec{E} \cdot d\vec{s} $ |
Esto resulta en:
| $ d\varphi = -\vec{E} \cdot d\vec{s} $ |
La unidad en que se mide el potencial eléctrico es el Newton metro por Coulomb (N m/C o J/C), que se denomina Voltio.
ID:(11518, 0)
Diferencia de potencial eléctrico como integral
Ecuación
La diferencia de potencial ($\Delta\varphi$) es igual a la suma de el campo eléctrico ($\vec{E}$) a lo largo de un camino integrado sobre el elemento de camino recorrido ($d\vec{s}$):
| $ \Delta\varphi = -\displaystyle\int_C \vec{E}\cdot d\vec{s} $ |
Si se suman las contribuciones de la variación infinitesimal del potencial ($d\varphi$) con el campo eléctrico ($\vec{E}$) por un elemento de camino recorrido ($d\vec{s}$):
| $ d\varphi = -\vec{E} \cdot d\vec{s} $ |
Se obtiene por un lado la diferencia de potencial ($d\varphi$):
$d\varphi_1+d\varphi_2+d\varphi_3+\ldots = \displaystyle\sum_i d\varphi_i = \Delta\varphi$
y la suma de los campos a lo largo de caminos:
$\vec{E}_1\cdot d\vec{s}_1+\vec{E}_2\cdot d\vec{s}_2+\vec{E}_3\cdot d\vec{s}_3+\ldots = \displaystyle\sum_i \vec{E}_i \cdot d\vec{s}_i$
que en el límite continuo puede escribirse como la integral de:
| $ \Delta\varphi = -\displaystyle\int_C \vec{E}\cdot d\vec{s} $ |
ID:(11519, 0)
Potencial eléctrico como diferencia
Ecuación
La diferencia de potencial ($\Delta\varphi$) se calcula considerando el potencial eléctrico ($\varphi$) menos el potencial eléctrico base ($\varphi_0$):
| $ \Delta\varphi = \varphi - \varphi_0 $ |
ID:(11521, 0)
Calculo del potencial eléctrico
Ecuación
El potencial eléctrico ($\varphi$) se puede calcular de el potencial eléctrico base ($\varphi_0$) y el campo eléctrico ($\vec{E}$) integrado a lo largo de un camino sobre el elemento de camino recorrido ($d\vec{s}$):
| $ \varphi =\varphi_0 - \displaystyle\int_C \vec{E}\cdot d\vec{s}$ |
La diferencia de potencial ($\Delta\varphi$) es igual a la suma de el campo eléctrico ($\vec{E}$) a lo largo de un camino integrado sobre el elemento de camino recorrido ($d\vec{s}$):
| $ \Delta\varphi = -\displaystyle\int_C \vec{E}\cdot d\vec{s} $ |
Como la diferencia de potencial ($\Delta\varphi$) se calcula considerando el potencial eléctrico ($\varphi$) menos el potencial eléctrico base ($\varphi_0$):
| $ \Delta\varphi = \varphi - \varphi_0 $ |
por lo que
| $ \varphi =\varphi_0 - \displaystyle\int_C \vec{E}\cdot d\vec{s}$ |
ID:(3844, 0)
Variaciones del potencial eléctrico en un camino cerrado
Ecuación
La integral del producto de el campo eléctrico ($E$) multiplicado en la dirección del camino, es decir, integrado sobre el elemento de camino recorrido ($d\vec{s}$) a lo largo de un camino cerrado, es nula:
| $ \displaystyle\oint_C \vec{E}\cdot d\vec{s}=0$ |
Al calcular la integral de el campo eléctrico ($E$) sobre un camino cerrado el elemento de camino recorrido ($d\vec{s}$), se puede descomponer la integral en dos partes: una desde P1 a P2 y otra de regreso de P2 a P1. De esta forma, se obtiene que
$\displaystyle\oint_C \vec{E}\cdot d\vec{s} = \displaystyle\oint_{P1}^{P2} \vec{E}\cdot d\vec{s} - \displaystyle\oint_{P2}^{P1} \vec{E}\cdot d\vec{s} = 0$
por lo que, con
| $ \displaystyle\oint_C \vec{E}\cdot d\vec{s}=0$ |
Por ello,
Si una partícula cargada recorre un camino cerrado en un campo eléctrico, el campo aportará la misma cantidad de energía que le requerirá a la partícula para completar el camino.
ID:(11522, 0)
Campo como gradiente del potencial eléctrico
Ecuación
El campo eléctrico ($\vec{E}$) es igual a menos del gradiente de el potencial eléctrico ($\varphi$):
| $ \vec{E} = -\nabla\varphi $ |
Como la variación infinitesimal del potencial ($d\varphi$) resulta del producto de el campo eléctrico ($\vec{E}$) con el elemento de camino recorrido ($d\vec{s}$)
| $ d\varphi = -\vec{E} \cdot d\vec{s} $ |
y considerando las componentes de el campo eléctrico ($\vec{E}$)
$\vec{E} = \hat{x} E_x + \hat{y} E_y + \hat{z} E_z$
junto con las de el elemento de camino recorrido ($d\vec{s}$)
$d\vec{s} = \hat{x} dx + \hat{y} dy + \hat{z} dz$
la expresión se simplifica a
$d\varphi = -E_x dx - E_y dy - E_z dz$
Con la variación del potencial
| $ d\varphi = \displaystyle\frac{\partial \varphi}{\partial x} dx + \displaystyle\frac{\partial \varphi}{\partial y} dy + \displaystyle\frac{\partial \varphi}{\partial z} dz $ |
y el gradiente calculado como
| $ \nabla \varphi = \hat{x}\displaystyle\frac{\partial \varphi}{\partial x} + \hat{y}\displaystyle\frac{\partial \varphi}{\partial y} + \hat{z}\displaystyle\frac{\partial \varphi}{\partial z}$ |
se deduce que el gradiente del potencial es igual al negativo del campo eléctrico.
| $ \vec{E} = -\nabla\varphi $ |
ID:(11557, 0)