Storyboard

No limite de pequenas deformações, onde as forças entre os átomos do sólido são proporcionais à distância do ponto de equilíbrio, o sólido pode ser modelado como uma série de massas interconectadas por molas.

>Modelo

ID:(1884, 0)

Iframe

>Top

ID:(15367, 0)

Conceito

>Top

A interação entre os átomos que compõem um sólido é tal que cada átomo se encontra em equilíbrio, o que significa que a soma de todas as forças de seus vizinhos sobre ele é nula. Quando um átomo é deslocado de sua posição de equilíbrio, essa soma deixa de ser nula. Em uma primeira aproximação, pode-se assumir que, para pequenos deslocamentos, a força é proporcional à distância a partir da posição de equilíbrio. Além disso, a força que depende da distância percorrida se assemelha à de uma mola. Em outras palavras, os átomos em um sólido se comportam como se estivessem conectados por molas quando sujeitos a pequenas deformações:

ID:(14174, 0)

Conceito

>Top

Se você deseja modelar como um sólido se deforma sob a influência de uma força, pode primeiro considerar o comportamento de uma subunidade, como duas molas conectadas uma atrás da outra, conforme mostrado na imagem:

Esse tipo de arranjo das molas é chamado de em série. Ele se caracteriza pelo fato de que a força la força ($F$) é a mesma em ambas as molas, e elas se deformam de acordo com la constante de Hooke ($k$). Portanto, a constante elástica equivalente la alongamento ($u$) é calculada como a soma de la alongamento de mola 1 ($u_1$) e la alongamento de mola 2 ($u_2$), que, por sua vez, de acordo com a lei de Hooke:

é igual a la força ($F$) dividido pelas constantes la constante de Hook de mola 1 ($k_1$) e la constante de Hook de mola 2 ($k_2$), respectivamente:

$u = u_1 + u_2 = \displaystyle\frac{F}{k_1} + \displaystyle\frac{F}{k_2} = \left(\displaystyle\frac{1}{k_1} + \displaystyle\frac{1}{k_2}\right)F$

Portanto, o sistema de duas molas pode ser tratado como uma única mola cuja constante elástica equivalente la constante total de gancho de molas em série ($k_s$) é calculada da seguinte forma:

ID:(1910, 0)

Conceito

>Top

No caso de dois molas com constantes la constante de Hook de mola 1 ($k_1$) e la constante de Hook de mola 2 ($k_2$), que podem ser modeladas por uma única mola com uma constante la constante total de gancho de molas em série ($k_s$) calculada usando a seguinte equação:

Para o caso mais geral de molas com constantes constante de Hook de mola i ($k_i$), a equação pode ser generalizada da seguinte forma:

Isso nos permite modelar uma estrutura macro da seguinte maneira:

ID:(14175, 0)

Conceito

>Top

Se deseja modelar como um sólido se deforma sob a influência de uma força, primeiro é possível considerar o comportamento de uma subunidade, como dois molas conectadas lado a lado, conforme mostrado na imagem:

Esse tipo de disposição das molas é chamado de em paralelo. É caracterizado porque la alongamento ($u$) em ambas as molas é o mesmo e cada mola contribui com força ($F$) em função de la constante de Hook de mola 1 ($k_1$) e la constante de Hook de mola 2 ($k_2$) de acordo com a lei de Hooke:

Portanto, temos que:

$F = F_1 + F_2 = k_1 u + k_2 u = (k_1 + k_2)u$

Assim, o sistema de duas molas pode ser tratado como uma única mola cuja constante elástica equivalente la constante total de gancho de molas em paralelo ($k_p$) é calculada da seguinte forma:

ID:(1692, 0)

Conceito

>Top

No caso de dois molas com constantes la constante de Hook de mola 1 ($k_1$) e la constante de Hook de mola 2 ($k_2$) que podem ser modelados por uma única mola com uma constante la constante total de gancho de molas em paralelo ($k_p$) calculada mediante a seguinte equação:

Para o caso mais geral de molas com constantes constante de Hook de mola i ($k_i$), a equação pode ser generalizada da seguinte forma:

Isso nos permite modelar uma estrutura macro da seguinte forma:

ID:(1684, 0)

Top

>Top

O sólido é modelado como uma rede de molas cuja quantidade é estimada com base em o comprimento do corpo ($L$) e la seção de elemento ($S$) em relação a o comprimento microscópico da mola ($l$) e la seção microscópica da mola ($s$).

De acordo com essa estrutura, as molas de la microscopia constante de Hook ($k_m$) são inicialmente somadas em paralelo sobre la seção de elemento ($S$), seguidas pela soma em série ao longo de comprimento do corpo ($L$).

O resultado é então inserido na lei de Hooke para la força elástica ($F_k$), la constante de Hooke ($k$) e la força elástica ($F_k$) usando a equação:

resultando na equação para a deformação longitudinal de um sólido no limite elástico:

ID:(15369, 0)

Top

>Top

Parâmetros

$L$

L

Comprimento do corpo

m

$l$

l

Comprimento microscópico da mola

m

$k_1$

k_1

Constante de Hook de mola 1

N/m

$k_2$

k_2

Constante de Hook de mola 2

N/m

$k_i$

k_i

Constante de Hook de mola i

N/m

$k$

k

Constante de Hooke

N/m

$k_p$

k_p

Constante total de gancho de molas em paralelo

N/m

$k_s$

k_s

Constante total de gancho de molas em série

N/m

$k_m$

k_m

Microscopia constante de Hook

N/m

$E$

E

Módulo de Elasticidade

Pa

$S$

S

Seção de elemento

m^2

$s$

s

Seção microscópica da mola

m^2

Variáveis

$u$

u

Alongamento

m

$F_k$

F_k

Força elástica

N

$N_p$

N_p

Número de molas em paralelo

-

$N_s$

N_s

Número de molas em série

-

$S$

S

Seção

m^2

Cálculos

• Método alternativo
• Método tradicional
• Estratégia
• 2D
• 3D

Equação

Equação

Primeiro, selecione a equação: para , depois, selecione a variável: para

---

Cálculos

Símbolo

Equação

Resolvido

Traduzido

Cálculos

Símbolo

Equação

Resolvido

Traduzido

Variáve Dado Calcular Objetivo : Equação A ser usado

Equações

ID:(15368, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Se tivermos dois resistores com valores la constante de Hook de mola 1 ($k_1$) e la constante de Hook de mola 2 ($k_2$) conectados em série, as extensões se somam, fazendo com que cada resistor individual atue com base em seu inverso. Dessa forma, o inverso de la constante total de gancho de molas em série ($k_s$) é igual à soma dos inversos das constantes individuais la constante de Hook de mola i ($k_i$):

$\displaystyle\frac{1}{ k_s }=\displaystyle\frac{1}{ k_1 }+\displaystyle\frac{1}{ k_2 }$

Condições

Variáveis

$k_1$

Constante de Hook de mola 1

$N/m$

5346

$k_2$

Constante de Hook de mola 2

$N/m$

5347

$k_s$

Constante total de gancho de molas em série

$N/m$

5344

Relação

Desenvolvimento

Uma vez que cada mola está exposta à mesma força aplicada la força ($F$), as molas com constantes la constante de Hook de mola 1 ($k_1$) e la constante de Hook de mola 2 ($k_2$) se deformarão em magnitudes la alongamento de mola 1 ($u_1$) e la alongamento de mola 2 ($u_2$), respectivamente, de acordo com as seguintes equações:

$F = k_1u_1$

$F = k_2u_2$

A elongação total será a soma das duas elongações:

$u = u_1 + u_2 = \displaystyle\frac{F}{k_1} + \displaystyle\frac{F}{k_2} = \left(\displaystyle\frac{1}{k_1} + \displaystyle\frac{1}{k_2}\right)F$

Portanto, o sistema se comporta como se tivesse uma constante de mola igual a:

$\displaystyle\frac{1}{ k_s }=\displaystyle\frac{1}{ k_1 }+\displaystyle\frac{1}{ k_2 }$

ID:(3753, 0)

Equação

>Top, >Modelo

No caso de dois resistores com valores la constante de Hook de mola 1 ($k_1$) e la constante de Hook de mola 2 ($k_2$), quando estão conectados em paralelo, eles agem como se houvesse uma resistência equivalente la constante total de gancho de molas em série ($k_s$) dada pela seguinte equação:

Esse conceito pode ser generalizado para la constante de Hook de mola i ($k_i$) da seguinte forma:

$\displaystyle\frac{1}{ k_s }=\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{1}{ k_i }$

Condições

Variáveis

$k_i$

Constante de Hook de mola i

$N/m$

10228

$k_s$

Constante total de gancho de molas em série

$N/m$

5344

Relação

Desenvolvimento

Quando aplicamos forças la força ($F$) nas extremidades das molas, as molas se alongarão (ou comprimirão) em la alongamento de mola i ($u_i$) e la constante de Hook de mola i ($k_i$) respectivamente. Se o ponto de contato entre ambas as molas estiver em repouso, a soma das forças que atuam sobre ele deve ser igual a zero, ou seja, elas devem ser iguais a la força ($F$). Portanto, para cada mola $i$, deve ser satisfeita a seguinte relação:

$F = k_iu_i$

A elongação total será igual à soma das elongações individuais:

$u = \displaystyle\sum_iu_i$

E usando a lei de Hooke, isso pode ser expresso como:

$u = \displaystyle\sum_i\frac{F}{k_i}$

Se introduzirmos uma constante total para o caso de conexão em série la constante total de gancho de molas em série ($k_s$), tal que

$F = k_su$

Então, teremos:

$\displaystyle\frac{1}{ k_s }=\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{1}{ k_i }$

ID:(3208, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Se você tiver dois resistores com valores la constante de Hook de mola 1 ($k_1$) e la constante de Hook de mola 2 ($k_2$) conectados em paralelo, seus efeitos se somam, agindo como se houvesse uma resistência equivalente la constante total de gancho de molas em paralelo ($k_p$) igual à soma das constantes individuais:

$k_p = k_1 + k_2$

Condições

Variáveis

$k_1$

Constante de Hook de mola 1

$N/m$

5346

$k_2$

Constante de Hook de mola 2

$N/m$

5347

$k_p$

Constante total de gancho de molas em paralelo

$N/m$

5345

Relação

Desenvolvimento

Dado que cada mola está sujeita à mesma alongamento ($u$), as forças serão diferentes se as constantes da mola forem diferentes. Portanto, se la constante de Hook de mola 1 ($k_1$) e la constante de Hook de mola 2 ($k_2$) forem as constantes da mola, as forças serão as seguintes:

$F_1 = k_1 u$

$F_2 = k_2 u$

Como resultado, a força total será:

$F = F_1 + F_2 = k_1u + k_2u = (k_1 + k_2)u$

Assim, o sistema se comporta como se tivesse uma constante de mola igual a:

$k_p = k_1 + k_2$

ID:(3757, 0)

Equação

>Top, >Modelo

No caso de dois resistores com valores la constante de Hook de mola 1 ($k_1$) e la constante de Hook de mola 2 ($k_2$), quando estão conectados em paralelo, eles se comportam como se houvesse uma resistência equivalente la constante total de gancho de molas em paralelo ($k_p$) dada pela seguinte equação:

Esse conceito pode ser generalizado para la constante de Hook de mola i ($k_i$) da seguinte forma:

$k_p =\displaystyle\sum_i k_i$

Condições

Variáveis

$k_i$

Constante de Hook de mola i

$N/m$

10228

$k_p$

Constante total de gancho de molas em paralelo

$N/m$

5345

Relação

Desenvolvimento

Uma vez que cada mola pode ter uma constante elástica diferente, representada por la constante de Hook de mola i ($k_i$), a força contribuída por cada mola também varia. De acordo com a lei de Hooke, as forças $F_i$ podem ser expressas como:

$F_i = k_i u$

Como a força total $F$ corresponde à soma das forças individuais, temos:

$F =\displaystyle\sum_i F_i = \displaystyle\sum_i k_i u$

Portanto, uma constante elástica total pode ser definida como:

$k_p =\displaystyle\sum_i k_i$

ID:(3756, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Para calcular o equivalente macroscópico da constante da mola microscópica, é necessário somar todas as micro-molas tanto em paralelo quanto em série. Para isso, é necessário conhecer o número de molas conectadas em paralelo.

O número de molas conectadas em paralelo pode ser determinado com la seção de elemento ($S$) e la seção microscópica da mola ($s$). O número de molas em paralelo ($N_p$) é calculado dividindo la seção de elemento ($S$) por la seção microscópica da mola ($s$):

$N_p =\displaystyle\frac{ S }{ s }$

Condições

Variáveis

$N_p$

Número de molas em paralelo

$-$

5351

$S$

Seção de elemento

$m^2$

5352

$s$

Seção microscópica da mola

$m^2$

5353

Relação

ID:(3760, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Para calcular a constante macroscópica equivalente da constante da mola microscópica, todas as micro molas devem ser somadas tanto em paralelo quanto em série. Para fazer isso, é necessário conhecer, em particular, o número de molas conectadas em série.

Se desejarmos estimar o número de molas em série ($N_s$), é suficiente conhecer o comprimento do corpo ($L$) e o comprimento microscópico da mola ($l$). O número de molas em série ($N_s$) é calculado dividindo o comprimento do corpo ($L$) por o comprimento microscópico da mola ($l$):

$N_s =\displaystyle\frac{ L }{ l }$

Condições

Variáveis

$L$

Comprimento do corpo

$m$

5355

$l$

Comprimento microscópico da mola

$m$

5354

$N_s$

Número de molas em série

$-$

5349

Relação

ID:(3761, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Para uma barra com um comprimento do corpo ($L$) e seção de elemento ($S$), pode-se calcular o número de molas em paralelo ($N_p$) e o número de molas em série ($N_s$) com o comprimento microscópico da mola ($l$) e la seção microscópica da mola ($s$).

Com esses valores, o valor da constante de uma seção inteira pode ser calculado multiplicando por o número de molas em paralelo ($N_p$) com la microscopia constante de Hook ($k_m$). Dessa forma, é possível calcular la constante de Hooke ($k$) dividindo o valor obtido por o número de molas em série ($N_s$):

$k=\displaystyle\frac{k_p}{N_s}=\displaystyle\frac{N_p}{N_s}k_m$

Se as expressões para o número de elementos forem introduzidas com o comprimento microscópico da mola ($l$) e la seção microscópica da mola ($s$), obtemos a seguinte expressão:

$k =\displaystyle\frac{ S }{ L }\displaystyle\frac{ l }{ s } k_m$

Condições

Variáveis

$L$

Comprimento do corpo

$m$

5355

$l$

Comprimento microscópico da mola

$m$

5354

$k$

Constante de Hooke

$N/m$

5311

$k_m$

Microscopia constante de Hook

$N/m$

5356

$S$

Seção de elemento

$m^2$

5352

$s$

Seção microscópica da mola

$m^2$

5353

Relação

Desenvolvimento

Como a la constante total de gancho de molas em paralelo ($k_p$) de la constante de Hook de mola i ($k_i$) é

$k_p =\displaystyle\sum_i k_i$

segue-se que, no caso de la microscopia constante de Hook ($k_m$) ser igual a

$k_p = N_p k_m$

la constante total de gancho de molas em paralelo ($k_p$) corresponde, neste caso, à constante de Hook de uma seção de espessura monoatômica. Para obter a constante para o corpo inteiro, é necessário somar todas as seções em série, e para isso, trabalhamos com a relação para a soma de la constante total de gancho de molas em série ($k_s$), dada por

$\displaystyle\frac{1}{ k_s }=\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{1}{ k_i }$

Com o número de seções sendo igual a o número de molas em série ($N_s$), e se assumirmos que todas são iguais, obtemos

$\displaystyle\frac{1}{k} = N_s\displaystyle\frac{1}{N_p k_m}$

ou seja,

$k = \displaystyle\frac{N_p}{N_s}k_m$

Por fim, com as relações para o comprimento do corpo ($L$) e o comprimento microscópico da mola ($l$)

$N_s =\displaystyle\frac{ L }{ l }$

e com la seção de elemento ($S$) e la seção microscópica da mola ($s$)

$N_p =\displaystyle\frac{ S }{ s }$

obtemos finalmente

$k =\displaystyle\frac{ S }{ L }\displaystyle\frac{ l }{ s } k_m$

ID:(3205, 0)

Equação

>Top, >Modelo

A expressão para la constante de Hooke ($k$) dada por

possui dois parâmetros macroscópicos, que são o comprimento do corpo ($L$) e la seção de elemento ($S$). Os demais, la microscopia constante de Hook ($k_m$), o comprimento microscópico da mola ($l$) e la seção microscópica da mola ($s$), são microscópicos e, portanto, dependem do material que está sendo descrito. Portanto, faz sentido definir esses fatores como o módulo de Elasticidade ($E$), de modo que:

$E =\displaystyle\frac{ l }{ s } k_m$

Condições

Variáveis

$l$

Comprimento microscópico da mola

$m$

5354

$k_m$

Microscopia constante de Hook

$N/m$

5356

$E$

Módulo de Elasticidade

$Pa$

5357

$s$

Seção microscópica da mola

$m^2$

5353

Relação

ID:(3204, 0)

Equação

>Top, >Modelo

Como a Lei de Hooke relaciona la força elástica ($F_k$) através de la constante de Hooke ($k$) e la alongamento ($u$) da seguinte forma:

é possível substituir la constante de Hooke ($k$) pela expressão microscópica e, usando a definição de o módulo de Elasticidade ($E$), obtém-se com o comprimento do corpo ($L$) e la seção de elemento ($S$) que:

$F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u$

Condições

Variáveis

$u$

Alongamento

$m$

5343

$L$

Comprimento do corpo

$m$

5355

$F_k$

Força elástica

$N$

4978

$E$

Módulo de Elasticidade

$Pa$

5357

$S$

Seção

$m^2$

10335

Relação

Desenvolvimento

Com a Lei de Hooke para la força elástica ($F_k$), la constante de Hooke ($k$) e la alongamento ($u$) da seguinte forma:

$F_k = k u$

e a expressão para la constante de Hooke ($k$) em termos de o comprimento do corpo ($L$), la seção de elemento ($S$), o comprimento microscópico da mola ($l$), la seção microscópica da mola ($s$) e la microscopia constante de Hook ($k_m$):

$k =\displaystyle\frac{ S }{ L }\displaystyle\frac{ l }{ s } k_m$

juntamente com a expressão para o módulo de Elasticidade ($E$):

$E =\displaystyle\frac{ l }{ s } k_m$

o resultado é:

$F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u$

ID:(3209, 0)