Storyboard

Im Bereich kleiner Verformungen, in dem die Kräfte zwischen den Atomen des Festkörpers proportional zum Abstand vom Gleichgewichtspunkt sind, kann der Festkörper als eine Reihe miteinander verbundener Massen mit Federn modelliert werden.

>Modell

ID:(1884, 0)

Iframe

>Top

ID:(15367, 0)

Konzept

>Top

Die Wechselwirkung zwischen den Atomen, die einen Festkörper bilden, ist so beschaffen, dass jedes Atom im Gleichgewicht ist, das bedeutet, die Summe aller Kräfte von seinen Nachbarn ist null. Wenn ein Atom aus dieser Gleichgewichtsposition verschoben wird, ist die Summe nicht mehr null. In einer ersten Näherung kann angenommen werden, dass für kleine Verschiebungen die Kraft proportional zur Entfernung von der Gleichgewichtsposition ist. Darüber hinaus ähnelt die Kraft, die von der zurückgelegten Strecke abhängt, der einer Feder. Mit anderen Worten: Atome in einem Festkörper verhalten sich bei kleinen Verformungen so, als wären sie durch Federn miteinander verbunden:

ID:(14174, 0)

Konzept

>Top

Wenn Sie das Verhalten eines Festkörpers unter Einwirkung einer Kraft modellieren möchten, können Sie zunächst das Verhalten einer Teileinheit in Betracht ziehen, wie zum Beispiel zwei hintereinander geschaltete Federn, wie in der Abbildung gezeigt:

Diese Art der Anordnung der Federn wird als in Serie bezeichnet. Sie zeichnet sich dadurch aus, dass die Kraft die Kraft ($F$) in beiden Federn gleich ist und sie sich gemäß Die Hookes Konstante ($k$) verformen. Daher wird die äquivalente Federkonstante die Verlängerung ($u$) als Summe von die Federdehnung 1 ($u_1$) und die Federdehnung 2 ($u_2$) berechnet, die wiederum nach dem Hooke'schen Gesetz:

gleich die Kraft ($F$) geteilt durch die Konstanten die Hook Konstant der Feder 1 ($k_1$) und die Hook Konstant der Feder 2 ($k_2$) ist:

$u = u_1 + u_2 = \displaystyle\frac{F}{k_1} + \displaystyle\frac{F}{k_2} = \left(\displaystyle\frac{1}{k_1} + \displaystyle\frac{1}{k_2}\right)F$

Daher kann das System aus zwei Federn als eine einzige Feder behandelt werden, deren äquivalente Federkonstante die Insgesamt Haken Constant von Federn in Serie ($k_s$) wie folgt berechnet wird:

ID:(1910, 0)

Konzept

>Top

Im Fall von zwei Federn mit den Konstanten die Hook Konstant der Feder 1 ($k_1$) und die Hook Konstant der Feder 2 ($k_2$), die durch eine einzelne Feder mit einer Konstanten die Insgesamt Haken Constant von Federn in Serie ($k_s$) modelliert werden können, die mithilfe der folgenden Gleichung berechnet wird:

Für den allgemeineren Fall von Federn mit Konstanten Hook Konstant der Feder i ($k_i$) kann die Gleichung wie folgt verallgemeinert werden:

Dadurch können wir eine Makrostruktur auf folgende Weise modellieren:

ID:(14175, 0)

Konzept

>Top

Wenn man modellieren möchte, wie sich ein Festkörper unter dem Einfluss einer Kraft verformt, kann man zunächst das Verhalten einer Teilkomponente betrachten, wie zum Beispiel zwei Federn, die nebeneinander verbunden sind, wie in der Abbildung gezeigt:

Diese Art der Anordnung der Federn wird als parallel bezeichnet. Sie zeichnet sich dadurch aus, dass die Verlängerung ($u$) in beiden Federn gleich ist und jede Feder Kraft ($F$) gemäß Die Hook Konstant der Feder 1 ($k_1$) und die Hook Konstant der Feder 2 ($k_2$) nach dem Hooke'schen Gesetz beiträgt:

Daraus folgt:

$F = F_1 + F_2 = k_1 u + k_2 u = (k_1 + k_2)u$

Daher kann das System aus zwei Federn als eine einzige Feder behandelt werden, deren äquivalente Federkonstante die Gesamte Hook-Konstante paralleler Federn ($k_p$) wie folgt berechnet wird:

ID:(1692, 0)

Konzept

>Top

Im Fall von zwei Federn mit den Konstanten die Hook Konstant der Feder 1 ($k_1$) und die Hook Konstant der Feder 2 ($k_2$), die durch eine einzige Feder mit einer Konstanten die Gesamte Hook-Konstante paralleler Federn ($k_p$) modelliert werden können, die mithilfe der folgenden Gleichung berechnet wird:

Für den allgemeineren Fall von Federn mit Konstanten Hook Konstant der Feder i ($k_i$) kann die Gleichung wie folgt verallgemeinert werden:

Dies ermöglicht es uns, eine Makrostruktur wie folgt zu modellieren:

ID:(1684, 0)

Top

>Top

Der Festkörper wird als Netzwerk von Federn modelliert, deren Anzahl basierend auf der Körperlänge ($L$) und die Körper Sektion ($S$) in Bezug auf der Mikroskopische Länge des Frühlings ($l$) und die Mikroskopische Abschnitt des Frühlings ($s$) abgeschätzt wird.

Gemäß dieser Struktur werden die Federn von die Mikroskopische Hook-Konstante ($k_m$) zuerst parallel über die Körper Sektion ($S$) summiert, gefolgt von der Serienaddition entlang von Körperlänge ($L$).

Das Ergebnis wird dann in das Hookesche Gesetz für die Federkraft ($F_k$), die Hookes Konstante ($k$) und die Federkraft ($F_k$) mit der Gleichung eingesetzt:

was die Gleichung für die longitudinale Deformation eines Festkörpers an der elastischen Grenze ergibt:

ID:(15369, 0)

Top

>Top

Parameter

$E$

E

Elastizitätsmodul

Pa

$k_p$

k_p

Gesamte Hook-Konstante paralleler Federn

N/m

$k_1$

k_1

Hook Konstant der Feder 1

N/m

$k_2$

k_2

Hook Konstant der Feder 2

N/m

$k_i$

k_i

Hook Konstant der Feder i

N/m

$k$

k

Hookes Konstante

N/m

$k_s$

k_s

Insgesamt Haken Constant von Federn in Serie

N/m

$S$

S

Körper Sektion

m^2

$L$

L

Körperlänge

m

$s$

s

Mikroskopische Abschnitt des Frühlings

m^2

$k_m$

k_m

Mikroskopische Hook-Konstante

N/m

$l$

l

Mikroskopische Länge des Frühlings

m

Variablen

$S$

S

Abschnitt

m^2

$N_p$

N_p

Anzahl der Federn in Parallel

-

$N_s$

N_s

Anzahl der Federn in Serie

-

$F_k$

F_k

Federkraft

N

$u$

u

Verlängerung

m

Berechnungen

• Alternative Methode
• Traditionelle Methode
• Strategie
• 2D
• 3D

Gleichung

Zahl

Zuerst die Gleichung auswählen: zu , dann die Variable auswählen: zu

---

Berechnungen

Symbol

Gleichung

Gelöst

Übersetzt

Berechnungen

Symbol

Gleichung

Gelöst

Übersetzt

Variable Gegeben Berechnen Ziel : Gleichung Zu verwenden

Gleichungen

ID:(15368, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn wir zwei Widerstände mit den Werten die Hook Konstant der Feder 1 ($k_1$) und die Hook Konstant der Feder 2 ($k_2$) in Serie schalten, addieren sich die Dehnungen, wodurch jeder einzelne Widerstand basierend auf seinem Kehrwert wirkt. Auf diese Weise ist der Kehrwert von die Insgesamt Haken Constant von Federn in Serie ($k_s$) gleich der Summe der Kehrwerte der individuellen Konstanten die Hook Konstant der Feder i ($k_i$):

$\displaystyle\frac{1}{ k_s }=\displaystyle\frac{1}{ k_1 }+\displaystyle\frac{1}{ k_2 }$

Bedingungen

Variablen

$k_1$

Hook Konstant der Feder 1

$N/m$

5346

$k_2$

Hook Konstant der Feder 2

$N/m$

5347

$k_s$

Insgesamt Haken Constant von Federn in Serie

$N/m$

5344

Beziehung

Entwicklung

Da jede Feder der gleichen angewandten Kraft die Kraft ($F$) ausgesetzt ist, werden die Federn mit den Konstanten die Hook Konstant der Feder 1 ($k_1$) und die Hook Konstant der Feder 2 ($k_2$) sich jeweils um die Beträge die Federdehnung 1 ($u_1$) und die Federdehnung 2 ($u_2$) verformen, gemäß den folgenden Gleichungen:

$F = k_1u_1$

$F = k_2u_2$

Die Gesamtdehnung ergibt sich aus der Summe beider Dehnungen:

$u = u_1 + u_2 = \displaystyle\frac{F}{k_1} + \displaystyle\frac{F}{k_2} = \left(\displaystyle\frac{1}{k_1} + \displaystyle\frac{1}{k_2}\right)F$

Daher verhält sich das System, als ob es eine Federkonstante hätte, die gleich ist:

$\displaystyle\frac{1}{ k_s }=\displaystyle\frac{1}{ k_1 }+\displaystyle\frac{1}{ k_2 }$

ID:(3753, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

In dem Fall von zwei Widerständen mit den Werten die Hook Konstant der Feder 1 ($k_1$) und die Hook Konstant der Feder 2 ($k_2$), wenn sie parallel geschaltet sind, verhalten sie sich so, als ob es einen äquivalenten Widerstand die Insgesamt Haken Constant von Federn in Serie ($k_s$) gäbe, der gemäß der folgenden Gleichung berechnet wird:

Dieses Konzept kann für die Hook Konstant der Feder i ($k_i$) wie folgt verallgemeinert werden:

$\displaystyle\frac{1}{ k_s }=\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{1}{ k_i }$

Bedingungen

Variablen

$k_i$

Hook Konstant der Feder i

$N/m$

10228

$k_s$

Insgesamt Haken Constant von Federn in Serie

$N/m$

5344

Beziehung

Entwicklung

Wenn wir Kräfte die Kraft ($F$) an den Enden der Federn anwenden, werden die Federn sich um die Federdehnung i ($u_i$) bzw. Die Hook Konstant der Feder i ($k_i$) verlängern (oder komprimieren). Wenn der Kontaktpunkt zwischen beiden Federn ruht, muss die Summe der auf ihn wirkenden Kräfte null ergeben, das heißt, sie müssen gleich die Kraft ($F$) sein. Daher muss für jede Feder $i$ gelten:

$F = k_iu_i$

Die Gesamtdehnung wird gleich der Summe der einzelnen Dehnungen sein:

$u = \displaystyle\sum_iu_i$

Und unter Verwendung des Hookschen Gesetzes wird dies ausgedrückt als:

$u = \displaystyle\sum_i\frac{F}{k_i}$

Wenn wir eine Gesamtkonstante für den Fall einer Reihenschaltung die Insgesamt Haken Constant von Federn in Serie ($k_s$) einführen, sodass

$F = k_su$

Dann haben wir:

$\displaystyle\frac{1}{ k_s }=\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{1}{ k_i }$

ID:(3208, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn Sie zwei Widerstände mit den Werten die Hook Konstant der Feder 1 ($k_1$) und die Hook Konstant der Feder 2 ($k_2$) parallel schalten, addieren sich ihre Effekte, sodass sie sich wie ein äquivalenter Widerstand die Gesamte Hook-Konstante paralleler Federn ($k_p$) verhalten, der gleich der Summe der individuellen Konstanten ist:

$ k_p = k_1 + k_2 $

Bedingungen

Variablen

$k_p$

Gesamte Hook-Konstante paralleler Federn

$N/m$

5345

$k_1$

Hook Konstant der Feder 1

$N/m$

5346

$k_2$

Hook Konstant der Feder 2

$N/m$

5347

Beziehung

Entwicklung

Da jede Feder der gleichen Verlängerung ($u$) ausgesetzt ist, werden die Kräfte unterschiedlich sein, wenn die Federkonstanten unterschiedlich sind. Daher, wenn die Hook Konstant der Feder 1 ($k_1$) und die Hook Konstant der Feder 2 ($k_2$) die Federkonstanten sind, werden die Kräfte wie folgt sein:

$F_1 = k_1 u$

$F_2 = k_2 u$

Als Ergebnis ergibt sich die Gesamtkraft:

$F = F_1 + F_2 = k_1u + k_2u = (k_1 + k_2)u$

Daher verhält sich das System, als ob es eine Federkonstante hätte, die gleich ist:

$ k_p = k_1 + k_2 $

ID:(3757, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Für den Fall von zwei Widerständen mit den Werten die Hook Konstant der Feder 1 ($k_1$) und die Hook Konstant der Feder 2 ($k_2$), wenn sie parallel geschaltet sind, verhalten sie sich so, als gäbe es einen äquivalenten Widerstand die Gesamte Hook-Konstante paralleler Federn ($k_p$), der durch die folgende Gleichung gegeben ist:

Dieses Konzept kann für die Hook Konstant der Feder i ($k_i$) verallgemeinert werden als:

$ k_p =\displaystyle\sum_i k_i$

Bedingungen

Variablen

$k_p$

Gesamte Hook-Konstante paralleler Federn

$N/m$

5345

$k_i$

Hook Konstant der Feder i

$N/m$

10228

Beziehung

Entwicklung

Da jede Feder eine unterschiedliche Federkonstante haben kann, die durch die Hook Konstant der Feder i ($k_i$) dargestellt wird, variiert auch die von jeder Feder beigesteuerte Kraft. Gemäß dem Hooke'schen Gesetz lassen sich die Kräfte $F_i$ wie folgt ausdrücken:

$F_i = k_i u$

Da die Gesamtkraft $F$ der Summe der einzelnen Kräfte entspricht, ergibt sich:

$F =\displaystyle\sum_i F_i = \displaystyle\sum_i k_i u$

Daher kann eine Gesamtfederkonstante definiert werden:

$ k_p =\displaystyle\sum_i k_i$

ID:(3756, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Um die makroskopische Äquivalente der mikroskopischen Federkonstanten zu berechnen, müssen alle Mikrofedern sowohl in Reihe als auch parallel addiert werden. Dafür muss man insbesondere die Anzahl der in Parallel geschalteten Federn kennen.

Die Anzahl der in Parallel geschalteten Federn kann mit die Körper Sektion ($S$) und die Mikroskopische Abschnitt des Frühlings ($s$) bestimmt werden. Der Anzahl der Federn in Parallel ($N_p$) wird durch die Division von die Körper Sektion ($S$) durch die Mikroskopische Abschnitt des Frühlings ($s$) berechnet:

$ N_p =\displaystyle\frac{ S }{ s }$

Bedingungen

Variablen

$N_p$

Anzahl der Federn in Parallel

$-$

5351

$S$

Körper Sektion

$m^2$

5352

$s$

Mikroskopische Abschnitt des Frühlings

$m^2$

5353

Beziehung

ID:(3760, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Um die makroskopische Äquivalente der mikroskopischen Federkonstante zu berechnen, müssen alle Mikrofedern sowohl in Parallel- als auch in Reihenschaltung addiert werden. Dafür ist es erforderlich, insbesondere die Anzahl der in Serie geschalteten Federn zu kennen.

Wenn wir der Anzahl der Federn in Serie ($N_s$) schätzen möchten, genügt es, der Körperlänge ($L$) und der Mikroskopische Länge des Frühlings ($l$) zu kennen. Der Anzahl der Federn in Serie ($N_s$) wird durch Division von der Körperlänge ($L$) durch der Mikroskopische Länge des Frühlings ($l$) berechnet:

$ N_s =\displaystyle\frac{ L }{ l }$

Bedingungen

Variablen

$N_s$

Anzahl der Federn in Serie

$-$

5349

$L$

Körperlänge

$m$

5355

$l$

Mikroskopische Länge des Frühlings

$m$

5354

Beziehung

ID:(3761, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Für eine Stange mit ($$) und die Körper Sektion ($S$) können Sie der Anzahl der Federn in Parallel ($N_p$) und der Anzahl der Federn in Serie ($N_s$) mit der Mikroskopische Länge des Frühlings ($l$) und die Mikroskopische Abschnitt des Frühlings ($s$) berechnen. Mit diesen Werten können Sie die Federkonstante für einen gesamten Abschnitt berechnen, indem Sie mit der Anzahl der Federn in Parallel ($N_p$) und die Mikroskopische Hook-Konstante ($k_m$) multiplizieren. Auf diese Weise können Sie die Hookes Konstante ($k$) berechnen, indem Sie den erhaltenen Wert durch der Anzahl der Federn in Serie ($N_s$) teilen:

$k=\displaystyle\frac{k_p}{N_s}=\displaystyle\frac{N_p}{N_s}k_m$

Wenn Sie die Ausdrücke für die Anzahl der Elemente mit der Mikroskopische Länge des Frühlings ($l$) und die Mikroskopische Abschnitt des Frühlings ($s$) einführen, erhalten Sie den folgenden Ausdruck:

$ k =\displaystyle\frac{ S }{ L }\displaystyle\frac{ l }{ s } k_m $

Bedingungen

Variablen

$k$

Hookes Konstante

$N/m$

5311

$S$

Körper Sektion

$m^2$

5352

$L$

Körperlänge

$m$

5355

$s$

Mikroskopische Abschnitt des Frühlings

$m^2$

5353

$k_m$

Mikroskopische Hook-Konstante

$N/m$

5356

$l$

Mikroskopische Länge des Frühlings

$m$

5354

Beziehung

Entwicklung

Wie die Gesamte Hook-Konstante paralleler Federn ($k_p$) von die Hook Konstant der Feder i ($k_i$) ist

$ k_p =\displaystyle\sum_i k_i$

ergibt sich, dass im Fall von die Mikroskopische Hook-Konstante ($k_m$) gleich

$k_p = N_p k_m$

die Gesamte Hook-Konstante paralleler Federn ($k_p$) in diesem Fall der Hook'sche Konstante eines monoatomaren Dickenabschnitts entspricht. Um die Konstante für den gesamten Körper zu erhalten, müssen alle Abschnitte in Serie summiert werden, und dafür verwenden wir die Beziehung für die Summe von die Insgesamt Haken Constant von Federn in Serie ($k_s$), wie sie in

$\displaystyle\frac{1}{ k_s }=\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{1}{ k_i }$

gegeben ist.

Mit der Anzahl der Abschnitte, die gleich der Anzahl der Federn in Serie ($N_s$) sind, und wenn wir annehmen, dass sie alle gleich sind, erhalten wir

$\displaystyle\frac{1}{k} = N_s\displaystyle\frac{1}{N_p k_m}$

was bedeutet

$k = \displaystyle\frac{N_p}{N_s}k_m$

Schließlich, mit den Beziehungen für der Körperlänge ($L$) und der Mikroskopische Länge des Frühlings ($l$)

$ N_s =\displaystyle\frac{ L }{ l }$

und mit die Körper Sektion ($S$) und die Mikroskopische Abschnitt des Frühlings ($s$)

$ N_p =\displaystyle\frac{ S }{ s }$

erhalten wir schließlich

$ k =\displaystyle\frac{ S }{ L }\displaystyle\frac{ l }{ s } k_m $

ID:(3205, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Der Ausdruck für die Hookes Konstante ($k$) gegeben durch

hat zwei makroskopische Parameter, nämlich der Körperlänge ($L$) und die Körper Sektion ($S$). Die übrigen die Mikroskopische Hook-Konstante ($k_m$), der Mikroskopische Länge des Frühlings ($l$) und die Mikroskopische Abschnitt des Frühlings ($s$) sind mikroskopisch und hängen daher vom beschriebenen Material ab. Daher macht es Sinn, diese Faktoren als der Elastizitätsmodul ($E$) zu definieren, sodass:

$ E =\displaystyle\frac{ l }{ s } k_m $

Bedingungen

Variablen

$E$

Elastizitätsmodul

$Pa$

5357

$s$

Mikroskopische Abschnitt des Frühlings

$m^2$

5353

$k_m$

Mikroskopische Hook-Konstante

$N/m$

5356

$l$

Mikroskopische Länge des Frühlings

$m$

5354

Beziehung

ID:(3204, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Da das Hookesche Gesetz die Federkraft ($F_k$) durch die Hookes Konstante ($k$) und die Verlängerung ($u$) auf folgende Weise in Beziehung setzt:

kann man die Hookes Konstante ($k$) durch den mikroskopischen Ausdruck ersetzen und unter Verwendung der Definition von der Elastizitätsmodul ($E$) ergibt sich mit der Körperlänge ($L$) und die Körper Sektion ($S$), dass:

$ F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u $

Bedingungen

Variablen

$S$

Abschnitt

$m^2$

10335

$E$

Elastizitätsmodul

$Pa$

5357

$F_k$

Federkraft

$N$

4978

$L$

Körperlänge

$m$

5355

$u$

Verlängerung

$m$

5343

Beziehung

Entwicklung

Mit dem Hookeschen Gesetz für die Federkraft ($F_k$), die Hookes Konstante ($k$) und die Verlängerung ($u$) wie folgt:

$ F_k = k u $

und dem Ausdruck für die Hookes Konstante ($k$) in Bezug auf der Körperlänge ($L$), die Körper Sektion ($S$), der Mikroskopische Länge des Frühlings ($l$), die Mikroskopische Abschnitt des Frühlings ($s$) und die Mikroskopische Hook-Konstante ($k_m$):

$ k =\displaystyle\frac{ S }{ L }\displaystyle\frac{ l }{ s } k_m $

in Kombination mit dem Ausdruck für der Elastizitätsmodul ($E$):

$ E =\displaystyle\frac{ l }{ s } k_m $

ergibt sich:

$ F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u $

ID:(3209, 0)