Utilisateur:
Modèle à ressort sous forces
Storyboard 
À la limite des petites déformations, où les forces entre les atomes du solide sont proportionnelles à la distance par rapport au point d'équilibre, le solide peut être modélisé comme une série de masses interconnectées par des ressorts.
ID:(1884, 0)
Mécanismes
Iframe
Mécanismes
ID:(15367, 0)
Modèle mécanique d'un solide
Concept
L'interaction entre les atomes constituant un solide est telle que chaque atome se trouve en équilibre, ce qui signifie que la somme de toutes les forces provenant de ses voisins est nulle. Lorsqu'un atome est déplacé de sa position d'équilibre, cette somme n'est plus nulle. Dans une première approximation, on peut supposer que, pour de petits déplacements, la force est proportionnelle à la distance par rapport à la position d'équilibre. De plus, la force, qui dépend de la distance parcourue, ressemble à celle d'un ressort. En d'autres termes, les atomes dans un solide se comportent comme s'ils étaient reliés par des ressorts lorsqu'ils sont soumis à de petites déformations :
ID:(14174, 0)
Deux ressorts en série
Concept
Si vous souhaitez modéliser la déformation d'un solide sous l'influence d'une force, vous pouvez d'abord considérer le comportement d'une sous-unité, comme deux ressorts connectés l'un derrière l'autre, comme illustré dans l'image :
Ce type d'arrangement des ressorts est appelé en série. Il se caractérise par le fait que la force a force ($F$) est la même dans les deux ressorts, et ils se déforment selon a constante de Hooke ($k$). Par conséquent, la constante de raideur équivalente a élongation ($u$) est calculée comme la somme de a élongation du ressort 1 ($u_1$) et a élongation du ressort 2 ($u_2$), qui, à leur tour, selon la loi de Hooke :
| $ F_k = k u $ |
est égale à A force ($F$) divisé par les constantes a constante de Hook à ressort 1 ($k_1$) et a constante de Hook à ressort 2 ($k_2$), respectivement :
$u = u_1 + u_2 = \displaystyle\frac{F}{k_1} + \displaystyle\frac{F}{k_2} = \left(\displaystyle\frac{1}{k_1} + \displaystyle\frac{1}{k_2}\right)F$
Par conséquent, le système de deux ressorts peut être traité comme un seul ressort dont la constante de raideur équivalente a constante de crochet totale des ressorts en série ($k_s$) est calculée comme suit :
| $\displaystyle\frac{1}{ k_s }=\displaystyle\frac{1}{ k_1 }+\displaystyle\frac{1}{ k_2 }$ |
ID:(1910, 0)
Somme de plusieurs ressorts en série
Concept
Dans le cas de deux ressorts avec des constantes a constante de Hook à ressort 1 ($k_1$) et a constante de Hook à ressort 2 ($k_2$) qui peuvent être modélisés par un seul ressort avec une constante a constante de crochet totale des ressorts en série ($k_s$) calculée à l'aide de l'équation suivante :
| $\displaystyle\frac{1}{ k_s }=\displaystyle\frac{1}{ k_1 }+\displaystyle\frac{1}{ k_2 }$ |
Pour le cas plus général de ressorts avec des constantes constante de Hook à ressort i ($k_i$), l'équation peut être généralisée comme suit :
| $\displaystyle\frac{1}{ k_s }=\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{1}{ k_i }$ |
Cela nous permet de modéliser une structure macro de la manière suivante :
ID:(14175, 0)
Deux ressorts en parallèle
Concept
Si l'on souhaite modéliser la déformation d'un solide sous l'influence d'une force, on peut d'abord considérer le comportement d'une sous-unité, telle que deux ressorts connectés côte à côte, comme illustré dans l'image :
Ce type d'agencement des ressorts est appelé en parallèle. Il se caractérise par le fait que a élongation ($u$) est le même pour les deux ressorts et que chaque ressort contribue force ($F$) en fonction de a constante de Hook à ressort 1 ($k_1$) et a constante de Hook à ressort 2 ($k_2$) selon la loi de Hooke :
| $ F_k = k u $ |
Par conséquent, on a :
$F = F_1 + F_2 = k_1 u + k_2 u = (k_1 + k_2)u$
Ainsi, le système de deux ressorts peut être traité comme un seul ressort dont la constante élastique équivalente a constante de crochet totale des ressorts en parallèle ($k_p$) est calculée de la manière suivante :
| $ k_p = k_1 + k_2 $ |
ID:(1692, 0)
Somme de plusieurs ressorts en parallèle
Concept
Dans le cas de deux ressorts avec des constantes a constante de Hook à ressort 1 ($k_1$) et a constante de Hook à ressort 2 ($k_2$) qui peuvent être modélisés par un seul ressort avec une constante a constante de crochet totale des ressorts en parallèle ($k_p$) calculée à l'aide de l'équation suivante :
| $ k_p = k_1 + k_2 $ |
Pour le cas plus général de ressorts avec des constantes constante de Hook à ressort i ($k_i$), l'équation peut être généralisée comme suit :
| $ k_p =\displaystyle\sum_i k_i$ |
Cela nous permet de modéliser une structure macro de la manière suivante :
ID:(1684, 0)
Équation modèle
Top
Le solide est modélisé comme un réseau de ressorts dont la quantité est estimée en fonction de le la longueur du corps ($L$) et a section d'élément ($S$) par rapport à Le longueur du ressort microscopique ($l$) et a section de ressort microscopique ($s$).
Selon cette structure, les ressorts de a microscopie constante de Hook ($k_m$) sont d'abord additionnés en parallèle sur a section d'élément ($S$), suivis par une addition en série le long de la longueur du corps ($L$).
Le résultat est ensuite introduit dans la loi de Hooke pour a force élastique ($F_k$), a constante de Hooke ($k$) et a force élastique ($F_k$) en utilisant l'équation :
| $ F_k = k u $ |
ce qui donne l'équation pour la déformation longitudinale d'un solide à la limite élastique :
| $ F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u $ |
ID:(15369, 0)
Modèle
Top
Paramètres
Variables
Calculs
à 
, puis, sélectionnez la variable: 
à 
Calculs
Calculs
Variable 
Donnée Calculer 
Cible : Équation À utiliser 
Équations
$\displaystyle\frac{1}{ k_s }=\displaystyle\frac{1}{ k_1 }+\displaystyle\frac{1}{ k_2 }$
1/ k_s =1/ k_1 +1/ k_2
$\displaystyle\frac{1}{ k_s }=\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{1}{ k_i }$
1/ k_s =@SUM( 1/ k_i , i )
$ E =\displaystyle\frac{ l }{ s } k_m $
E = l * k_m / s
$ F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u $
F_k = E * S * u / L
$ k =\displaystyle\frac{ S }{ L }\displaystyle\frac{ l }{ s } k_m $
k = S * l * k_m /( L * s )
$ k_p = k_1 + k_2 $
k_p = k_1 + k_2
$ k_p =\displaystyle\sum_i k_i$
k_p =@SUM( k_i , i )
$ N_p =\displaystyle\frac{ S }{ s }$
N_p = S / s
$ N_s =\displaystyle\frac{ L }{ l }$
N_s = L / l
ID:(15368, 0)
Ressorts en série (2)
Équation
Si nous avons deux résistances avec des valeurs a constante de Hook à ressort 1 ($k_1$) et a constante de Hook à ressort 2 ($k_2$) connectées en série, les allongements s'additionnent, ce qui fait que chaque résistance individuelle agit en fonction de son inverse. De cette manière, l'inverse de a constante de crochet totale des ressorts en série ($k_s$) est égal à la somme des inverses des constantes individuelles a constante de Hook à ressort i ($k_i$) :
| $\displaystyle\frac{1}{ k_s }=\displaystyle\frac{1}{ k_1 }+\displaystyle\frac{1}{ k_2 }$ |
Étant donné que chaque ressort est soumis à la même force appliquée a force ($F$), les ressorts avec les constantes a constante de Hook à ressort 1 ($k_1$) et a constante de Hook à ressort 2 ($k_2$) se déforment respectivement de magnitudes a élongation du ressort 1 ($u_1$) et a élongation du ressort 2 ($u_2$), conformément aux équations suivantes :
$F = k_1u_1$
$F = k_2u_2$
L'allongement total sera la somme des deux allongements :
$u = u_1 + u_2 = \displaystyle\frac{F}{k_1} + \displaystyle\frac{F}{k_2} = \left(\displaystyle\frac{1}{k_1} + \displaystyle\frac{1}{k_2}\right)F$
Par conséquent, le système se comporte comme s'il avait une constante de ressort égale à :
| $\displaystyle\frac{1}{ k_s }=\displaystyle\frac{1}{ k_1 }+\displaystyle\frac{1}{ k_2 }$ |
ID:(3753, 0)
Somme des ressorts en série
Équation
Dans le cas de deux résistances ayant des valeurs a constante de Hook à ressort 1 ($k_1$) et a constante de Hook à ressort 2 ($k_2$), lorsqu'elles sont connectées en parallèle, elles agissent comme s'il y avait une résistance équivalente a constante de crochet totale des ressorts en série ($k_s$) donnée par l'équation suivante :
| $\displaystyle\frac{1}{ k_s }=\displaystyle\frac{1}{ k_1 }+\displaystyle\frac{1}{ k_2 }$ |
Ce concept peut être généralisé pour a constante de Hook à ressort i ($k_i$) comme suit :
| $\displaystyle\frac{1}{ k_s }=\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{1}{ k_i }$ |
Lorsque nous appliquons des forces a force ($F$) aux extrémités des ressorts, les ressorts vont s'allonger (ou se comprimer) de a élongation du ressort je ($u_i$) et a constante de Hook à ressort i ($k_i$) respectivement. Si le point de contact entre les deux ressorts est au repos, la somme des forces qui agissent sur lui doit être égale à zéro, c'est-à-dire qu'elles doivent être égales à A force ($F$). Par conséquent, pour chaque ressort $i$, il doit satisfaire à
$F = k_iu_i$
L'allongement total sera égal à la somme des allongements individuels :
$u = \displaystyle\sum_iu_i$
Et en utilisant la loi de Hooke, cela peut s'exprimer comme suit :
$u = \displaystyle\sum_i\frac{F}{k_i}$
Si nous introduisons une constante totale pour le cas d'une connexion en série a constante de crochet totale des ressorts en série ($k_s$), de telle sorte que
$F = k_su$
Alors nous avons :
| $\displaystyle\frac{1}{ k_s }=\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{1}{ k_i }$ |
ID:(3208, 0)
Ressorts parallèles (2)
Équation
Si vous avez deux résistances avec les valeurs a constante de Hook à ressort 1 ($k_1$) et a constante de Hook à ressort 2 ($k_2$) connectées en parallèle, leurs effets s'additionnent, agissant comme s'il y avait une résistance équivalente a constante de crochet totale des ressorts en parallèle ($k_p$) égale à la somme des constantes individuelles :
| $ k_p = k_1 + k_2 $ |
Puisque chaque ressort est soumis à la même élongation ($u$), les forces seront différentes si les constantes des ressorts le sont. Par conséquent, si a constante de Hook à ressort 1 ($k_1$) et a constante de Hook à ressort 2 ($k_2$) sont les constantes des ressorts, les forces seront les suivantes :
$F_1 = k_1 u$
$F_2 = k_2 u$
En conséquence, la force totale sera :
$F = F_1 + F_2 = k_1u + k_2u = (k_1 + k_2)u$
Ainsi, le système se comporte comme s'il avait une constante de ressort égale à :
| $ k_p = k_1 + k_2 $ |
ID:(3757, 0)
Somme des ressorts en parallèle
Équation
Dans le cas de deux résistances avec des valeurs a constante de Hook à ressort 1 ($k_1$) et a constante de Hook à ressort 2 ($k_2$), lorsqu'elles sont connectées en parallèle, elles se comportent comme s'il y avait une résistance équivalente a constante de crochet totale des ressorts en parallèle ($k_p$) donnée par l'équation suivante :
| $ k_p = k_1 + k_2 $ |
Ce concept peut être généralisé pour a constante de Hook à ressort i ($k_i$) comme suit :
| $ k_p =\displaystyle\sum_i k_i$ |
Étant donné que chaque ressort peut avoir une constante de raideur différente, représentée par a constante de Hook à ressort i ($k_i$), la force contribuée par chaque ressort varie également. Selon la loi de Hooke, les forces $F_i$ peuvent être exprimées comme suit :
$F_i = k_i u$
Comme la force totale $F$ correspond à la somme des forces individuelles, nous avons :
$F =\displaystyle\sum_i F_i = \displaystyle\sum_i k_i u$
Par conséquent, une constante de raideur totale peut être définie comme suit :
| $ k_p =\displaystyle\sum_i k_i$ |
ID:(3756, 0)
Nombre de ressorts connectés en parallèle
Équation
Pour calculer l'équivalent macroscopique de la constante de ressort microscopique, il faut additionner tous les micro ressorts à la fois en parallèle et en série. Pour ce faire, il est nécessaire de connaître en particulier le nombre de ressorts connectés en parallèle.
Le nombre de ressorts connectés en parallèle peut être déterminé avec a section d'élément ($S$) et a section de ressort microscopique ($s$). Le nombre de ressorts en parallèle ($N_p$) est calculé en divisant a section d'élément ($S$) par a section de ressort microscopique ($s$) :
| $ N_p =\displaystyle\frac{ S }{ s }$ |
ID:(3760, 0)
Nombre de ressorts connectés en série
Équation
Pour calculer la constante macroscopique équivalente de la constante de ressort microscopique, toutes les micro-ressorts doivent être additionnés à la fois en parallèle et en série. Pour ce faire, il est nécessaire de connaître, en particulier, le nombre de ressorts connectés en série.
Si nous souhaitons estimer le nombre de ressorts en série ($N_s$), il suffit de connaître le la longueur du corps ($L$) et le longueur du ressort microscopique ($l$). Le nombre de ressorts en série ($N_s$) est calculé en divisant le la longueur du corps ($L$) par le longueur du ressort microscopique ($l$) :
| $ N_s =\displaystyle\frac{ L }{ l }$ |
ID:(3761, 0)
Modèle d'élément macroscopique
Équation
Pour une barre avec ($$) et a section d'élément ($S$), vous pouvez calculer le nombre de ressorts en parallèle ($N_p$) et le nombre de ressorts en série ($N_s$) en utilisant le longueur du ressort microscopique ($l$) et a section de ressort microscopique ($s$). Avec ces valeurs, vous pouvez calculer la constante de ressort pour toute une section en multipliant par le nombre de ressorts en parallèle ($N_p$) avec a microscopie constante de Hook ($k_m$). De cette manière, vous pouvez calculer a constante de Hooke ($k$) en divisant la valeur obtenue par le nombre de ressorts en série ($N_s$) :
$k=\displaystyle\frac{k_p}{N_s}=\displaystyle\frac{N_p}{N_s}k_m$
Si vous introduisez les expressions pour le nombre d'éléments avec le longueur du ressort microscopique ($l$) et a section de ressort microscopique ($s$), vous obtenez l'expression suivante :
| $ k =\displaystyle\frac{ S }{ L }\displaystyle\frac{ l }{ s } k_m $ |
Comme a constante de crochet totale des ressorts en parallèle ($k_p$) de a constante de Hook à ressort i ($k_i$) est
| $ k_p =\displaystyle\sum_i k_i$ |
il s'ensuit que, dans le cas où A microscopie constante de Hook ($k_m$) est égal à
$k_p = N_p k_m$
a constante de crochet totale des ressorts en parallèle ($k_p$) correspond, dans ce cas, à la constante de Hook d'une section d'épaisseur monoatomique. Pour obtenir la constante pour l'ensemble du corps, il est nécessaire de sommer toutes les sections en série, et pour cela, nous travaillons avec la relation pour la somme de a constante de crochet totale des ressorts en série ($k_s$), donnée par
| $\displaystyle\frac{1}{ k_s }=\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{1}{ k_i }$ |
Avec le nombre de sections étant égal à Le nombre de ressorts en série ($N_s$), et si nous supposons qu'elles sont toutes égales, nous obtenons
$\displaystyle\frac{1}{k} = N_s\displaystyle\frac{1}{N_p k_m}$
c'est-à-dire
$k = \displaystyle\frac{N_p}{N_s}k_m$
Enfin, avec les relations pour le la longueur du corps ($L$) et le longueur du ressort microscopique ($l$)
| $ N_s =\displaystyle\frac{ L }{ l }$ |
et avec a section d'élément ($S$) et a section de ressort microscopique ($s$)
| $ N_p =\displaystyle\frac{ S }{ s }$ |
nous obtenons finalement
| $ k =\displaystyle\frac{ S }{ L }\displaystyle\frac{ l }{ s } k_m $ |
ID:(3205, 0)
Module d'élasticité
Équation
L'expression pour a constante de Hooke ($k$) donnée par
| $ k =\displaystyle\frac{ S }{ L }\displaystyle\frac{ l }{ s } k_m $ |
comprend deux paramètres macroscopiques, qui sont le la longueur du corps ($L$) et a section d'élément ($S$). Les autres, a microscopie constante de Hook ($k_m$), le longueur du ressort microscopique ($l$) et a section de ressort microscopique ($s$), sont microscopiques et dépendent donc du matériau décrit. Par conséquent, il est logique de définir ces facteurs comme le module d'élasticité ($E$), de sorte que :
| $ E =\displaystyle\frac{ l }{ s } k_m $ |
ID:(3204, 0)
Force de Hooke d'un objet
Équation
Comme la loi de Hooke relie a force élastique ($F_k$) à travers a constante de Hooke ($k$) et a élongation ($u$) de la manière suivante :
| $ F_k = k u $ |
vous pouvez remplacer a constante de Hooke ($k$) par l'expression microscopique et en utilisant la définition de le module d'élasticité ($E$), vous obtenez avec le la longueur du corps ($L$) et a section d'élément ($S$) que :
| $ F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u $ |
Avec la loi de Hooke pour a force élastique ($F_k$), a constante de Hooke ($k$) et a élongation ($u$) comme suit :
| $ F_k = k u $ |
et l'expression de a constante de Hooke ($k$) en fonction de le la longueur du corps ($L$), a section d'élément ($S$), le longueur du ressort microscopique ($l$), a section de ressort microscopique ($s$) et a microscopie constante de Hook ($k_m$) :
| $ k =\displaystyle\frac{ S }{ L }\displaystyle\frac{ l }{ s } k_m $ |
combinée avec l'expression de le module d'élasticité ($E$) :
| $ E =\displaystyle\frac{ l }{ s } k_m $ |
le résultat est :
| $ F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u $ |
ID:(3209, 0)