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Modelo de resorte bajo fuerzas
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En el límite de deformaciones pequeñas, donde las fuerzas entre átomos del sólido son proporcionales a la distancia respecto al punto de equilibrio, el sólido puede representarse como una serie de masas interconectadas mediante resortes.
ID:(1884, 0)
Mecanismos
Iframe
Mecanismos
ID:(15367, 0)
Modelo mecánico de un sólido
Concepto
La interacción entre los átomos que componen un sólido es tal que cada átomo se encuentra en equilibrio, lo que significa que la suma de todas las fuerzas ejercidas por sus vecinos sobre él es nula. Cuando se desplaza el átomo de su posición de equilibrio, esta suma deja de ser nula. En una primera aproximación, se puede asumir que para desplazamientos pequeños, la fuerza es proporcional a la distancia desde la posición de equilibrio. Además, la fuerza que depende de la distancia recorrida se asemeja a la de un resorte. En otras palabras, los átomos en un sólido se comportan como si estuvieran conectados por resortes cuando se someten a pequeñas deformaciones:
ID:(14174, 0)
Dos resortes en serie
Concepto
Si se desea modelar cómo se deforma un sólido bajo la influencia de una fuerza, primero se puede considerar el comportamiento de una subunidad, como dos resortes conectados uno detrás del otro, como se muestra en la imagen:
Este tipo de disposición de los resortes se llama en serie. Se caracteriza porque la fuerza la fuerza ($F$) es igual en ambos resortes, y estos se deforman según la constante de Hooke ($k$). Por lo tanto, la constante elástica equivalente la elongación ($u$) se calcula como la suma de la elongación del resorte 1 ($u_1$) y la elongación del resorte 2 ($u_2$), que a su vez, según la ley de Hooke:
| $ F_k = k u $ |
es igual a la fuerza ($F$) dividido por las constantes la constante de Hook de resorte 1 ($k_1$) y la constante de Hook de resorte 2 ($k_2$), respectivamente:
$u = u_1 + u_2 = \displaystyle\frac{F}{k_1} + \displaystyle\frac{F}{k_2} = \left(\displaystyle\frac{1}{k_1} + \displaystyle\frac{1}{k_2}\right)F$
Por lo tanto, el sistema de dos resortes se puede tratar como un solo resorte cuya constante elástica equivalente la constante de Hook total de resortes en serie ($k_s$) se calcula de la siguiente manera:
| $\displaystyle\frac{1}{ k_s }=\displaystyle\frac{1}{ k_1 }+\displaystyle\frac{1}{ k_2 }$ |
ID:(1910, 0)
Suma de múltiples resortes en serie
Concepto
En el caso de dos resortes con constantes la constante de Hook de resorte 1 ($k_1$) y la constante de Hook de resorte 2 ($k_2$) que pueden ser modelados por un único resorte con una constante la constante de Hook total de resortes en serie ($k_s$) calculada mediante la siguiente ecuación:
| $\displaystyle\frac{1}{ k_s }=\displaystyle\frac{1}{ k_1 }+\displaystyle\frac{1}{ k_2 }$ |
Para el caso más general de resortes con constantes constante de Hook de resorte i ($k_i$), la ecuación puede generalizarse de la siguiente manera:
| $\displaystyle\frac{1}{ k_s }=\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{1}{ k_i }$ |
Con esto, se puede modelar una estructura macro en la siguiente forma:
ID:(14175, 0)
Dos resortes en paralelo
Concepto
Si se desea modelar cómo se deforma un sólido bajo la influencia de una fuerza, primero se puede considerar el comportamiento de una subunidad, como dos resortes conectados uno al lado del otro, como se muestra en la imagen:
Este tipo de disposición de los resortes se llama en paralelo. Se caracteriza porque la elongación ($u$) en ambos resortes es la misma y cada resorte aporta fuerza ($F$) en función de la constante de Hook de resorte 1 ($k_1$) y la constante de Hook de resorte 2 ($k_2$) según la ley de Hooke:
| $ F_k = k u $ |
Por ello se tiene que:
$F = F_1 + F_2 = k_1 u + k_2 u = (k_1 + k_2)u$
Por lo tanto, el sistema de dos resortes se puede tratar como un solo resorte cuya constante elástica equivalente la constante de Hook total de resortes en paralelo ($k_p$) se calcula de la siguiente manera:
| $ k_p = k_1 + k_2 $ |
ID:(1692, 0)
Suma de múltiples resortes en paralelo
Concepto
En el caso de dos resortes con constantes la constante de Hook de resorte 1 ($k_1$) y la constante de Hook de resorte 2 ($k_2$) que pueden ser modelados por un único resorte con una constante la constante de Hook total de resortes en paralelo ($k_p$) calculada mediante la siguiente ecuación:
| $ k_p = k_1 + k_2 $ |
Para el caso más general de resortes con constantes constante de Hook de resorte i ($k_i$), la ecuación puede generalizarse de la siguiente manera:
| $ k_p =\displaystyle\sum_i k_i$ |
Esto nos permite modelar una estructura macro de la siguiente manera:
ID:(1684, 0)
Ecuación del modelo
Top
El sólido se modela como una red de resortes cuya cantidad se estima en función de el largo del cuerpo ($L$) y la sección del elemento ($S$) basándose en el largo del resorte microscópico ($l$) y la sección del resorte microscópico ($s$).
Conforme a esta estructura, se suman inicialmente los resortes de la constante de Hook microscópica ($k_m$) en paralelo sobre la sección del elemento ($S$), y luego se procede con la suma en serie a lo largo de largo del cuerpo ($L$).
El resultado se introduce en la ley de Hooke para la fuerza elástica ($F_k$), la constante de Hooke ($k$) y la fuerza elástica ($F_k$) mediante la ecuación:
| $ F_k = k u $ |
lo que da lugar a la ecuación para la deformación longitudinal de un sólido en el límite elástico:
| $ F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u $ |
ID:(15369, 0)
Modelo
Top
Parámetros
Variables
Cálculos
a 
, luego, seleccione la variable: 
a 
Cálculos
Cálculos
Variable 
Dado Calcule 
Objetivo : Ecuación A utilizar 
Ecuaciones
$\displaystyle\frac{1}{ k_s }=\displaystyle\frac{1}{ k_1 }+\displaystyle\frac{1}{ k_2 }$
1/ k_s =1/ k_1 +1/ k_2
$\displaystyle\frac{1}{ k_s }=\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{1}{ k_i }$
1/ k_s =@SUM( 1/ k_i , i )
$ E =\displaystyle\frac{ l }{ s } k_m $
E = l * k_m / s
$ F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u $
F_k = E * S * u / L
$ k =\displaystyle\frac{ S }{ L }\displaystyle\frac{ l }{ s } k_m $
k = S * l * k_m /( L * s )
$ k_p = k_1 + k_2 $
k_p = k_1 + k_2
$ k_p =\displaystyle\sum_i k_i$
k_p =@SUM( k_i , i )
$ N_p =\displaystyle\frac{ S }{ s }$
N_p = S / s
$ N_s =\displaystyle\frac{ L }{ l }$
N_s = L / l
ID:(15368, 0)
Resortes en serie (2)
Ecuación
Si tenemos dos resistencias con valores la constante de Hook de resorte 1 ($k_1$) y la constante de Hook de resorte 2 ($k_2$) conectadas en serie, las elongaciones se suman, lo que hace que cada resistencia individual actúe en función de su inverso. De esta manera, el inverso de la constante de Hook total de resortes en serie ($k_s$) es igual a la suma de los inversos de las constantes individuales la constante de Hook de resorte i ($k_i$):
| $\displaystyle\frac{1}{ k_s }=\displaystyle\frac{1}{ k_1 }+\displaystyle\frac{1}{ k_2 }$ |
Dado que cada resorte está expuesto a la misma fuerza aplicada la fuerza ($F$), los resortes con constantes la constante de Hook de resorte 1 ($k_1$) y la constante de Hook de resorte 2 ($k_2$) se deformarán en magnitudes la elongación del resorte 1 ($u_1$) y la elongación del resorte 2 ($u_2$) respectivamente, de acuerdo con las siguientes ecuaciones:
$F = k_1u_1$
$F = k_2u_2$
La elongación total será la suma de ambas elongaciones:
$u = u_1 + u_2 = \displaystyle\frac{F}{k_1} + \displaystyle\frac{F}{k_2} = \left(\displaystyle\frac{1}{k_1} + \displaystyle\frac{1}{k_2}\right)F$
Por lo tanto, el sistema se comporta como si tuviera una constante de resorte igual a:
| $\displaystyle\frac{1}{ k_s }=\displaystyle\frac{1}{ k_1 }+\displaystyle\frac{1}{ k_2 }$ |
ID:(3753, 0)
Suma de resortes en serie
Ecuación
En el caso de dos resistencias con valores la constante de Hook de resorte 1 ($k_1$) y la constante de Hook de resorte 2 ($k_2$), cuando están conectadas en paralelo, actúan como si hubiera una resistencia equivalente la constante de Hook total de resortes en serie ($k_s$) que se calcula utilizando la siguiente ecuación:
| $\displaystyle\frac{1}{ k_s }=\displaystyle\frac{1}{ k_1 }+\displaystyle\frac{1}{ k_2 }$ |
Este concepto se puede generalizar para la constante de Hook de resorte i ($k_i$) de la siguiente manera:
| $\displaystyle\frac{1}{ k_s }=\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{1}{ k_i }$ |
Cuando aplicamos fuerzas la fuerza ($F$) en los extremos de los resortes, los resortes se elongarán (o comprimirán) en la elongación del resorte i ($u_i$) y la constante de Hook de resorte i ($k_i$) respectivamente. Si el punto de contacto entre ambos resortes está en reposo, la suma de las fuerzas que actúan sobre él debe ser igual a cero, es decir, deben ser iguales a la fuerza ($F$). Por lo tanto, en cada resorte $i$ debe cumplirse que
$F = k_iu_i$
La elongación total será igual a la suma de las elongaciones individuales:
$u = \displaystyle\sum_iu_i$
Y utilizando la ley de Hooke, esto se expresa como:
$u = \displaystyle\sum_i\frac{F}{k_i}$
Si introducimos una constante total para el caso de conexión en serie la constante de Hook total de resortes en serie ($k_s$), tal que
$F = k_su$
Entonces, se tiene:
| $\displaystyle\frac{1}{ k_s }=\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{1}{ k_i }$ |
ID:(3208, 0)
Resortes en paralelo (2)
Ecuación
Si tenemos dos resistencias con valores la constante de Hook de resorte 1 ($k_1$) y la constante de Hook de resorte 2 ($k_2$) conectadas en paralelo, sus efectos se suman, actuando como si existiera una resistencia equivalente la constante de Hook total de resortes en paralelo ($k_p$) que es igual a la suma de las constantes individuales:
| $ k_p = k_1 + k_2 $ |
Dado que cada resorte está sujeto a la misma elongación ($u$), las fuerzas serán diferentes si las constantes lo son. Por lo tanto, si la constante de Hook de resorte 1 ($k_1$) y la constante de Hook de resorte 2 ($k_2$) son las constantes, las fuerzas serán las siguientes:
$F_1 = k_1 u$
$F_2 = k_2 u$
Como resultado, la fuerza total será:
$F = F_1 + F_2 = k_1u + k_2u = (k_1 + k_2)u$
Por lo tanto, el sistema se comporta como si tuviera una constante de resorte igual a:
| $ k_p = k_1 + k_2 $ |
ID:(3757, 0)
Suma de resortes en paralelo
Ecuación
En el caso de dos resistencias con valores la constante de Hook de resorte 1 ($k_1$) y la constante de Hook de resorte 2 ($k_2$), cuando están conectadas en paralelo, actúan como si hubiera una resistencia equivalente la constante de Hook total de resortes en paralelo ($k_p$) dada por la siguiente ecuación:
| $ k_p = k_1 + k_2 $ |
Este concepto se puede generalizar para la constante de Hook de resorte i ($k_i$) como:
| $ k_p =\displaystyle\sum_i k_i$ |
Dado que cada resorte puede tener una constante de elasticidad distinta, representada por la constante de Hook de resorte i ($k_i$), la fuerza que cada resorte aporta también varía. Según la ley de Hooke, las fuerzas $F_i$ se expresan como:
$F_i = k_i u$
Dado que la fuerza total $F$ es la suma de las fuerzas individuales, se obtiene:
$F =\displaystyle\sum_i F_i = \displaystyle\sum_i k_i u$
De esta manera, se puede definir una constante de elasticidad total:
| $ k_p =\displaystyle\sum_i k_i$ |
ID:(3756, 0)
Número de resortes conectados en paralelo
Ecuación
Para calcular la constante macroscópica equivalente de la constante de Hook microscópica, se deben sumar todos los micro resortes tanto en paralelo como en serie. Para ello, es necesario conocer en particular el número de resortes conectados en paralelo.
El número de resortes que están conectados en paralelo se puede determinar con la sección del elemento ($S$) y la sección del resorte microscópico ($s$). El número de resortes en paralelo ($N_p$) se calcula dividiendo la sección del elemento ($S$) por la sección del resorte microscópico ($s$):
| $ N_p =\displaystyle\frac{ S }{ s }$ |
ID:(3760, 0)
Número de resortes conectados en serie
Ecuación
Para calcular la constante macroscópica equivalente de la constante de resorte microscópico, se deben sumar todos los micro resortes tanto en paralelo como en serie. Para hacerlo, es necesario conocer en particular el número de resortes conectados en serie.
Si deseamos estimar el número de resortes en serie ($N_s$), basta con conocer el largo del cuerpo ($L$) y el largo del resorte microscópico ($l$). El número de resortes en serie ($N_s$) se calcula dividiendo el largo del cuerpo ($L$) por el largo del resorte microscópico ($l$):
| $ N_s =\displaystyle\frac{ L }{ l }$ |
ID:(3761, 0)
Modelo macroscópico de elemento
Ecuación
Para una barra con un largo del cuerpo ($L$) y sección del elemento ($S$), se puede calcular el número de resortes en paralelo ($N_p$) y el número de resortes en serie ($N_s$) con el largo del resorte microscópico ($l$) y la sección del resorte microscópico ($s$).
Con estos valores, se puede calcular la constante de resorte de toda una sección multiplicando por el número de resortes en paralelo ($N_p$) con la constante de Hook microscópica ($k_m$). De esta manera, se puede calcular la constante de Hooke ($k$) dividiendo el valor obtenido por el número de resortes en serie ($N_s$):
$k=\displaystyle\frac{k_p}{N_s}=\displaystyle\frac{N_p}{N_s}k_m$
Si se introducen las expresiones para el número de elementos con el largo del resorte microscópico ($l$) y la sección del resorte microscópico ($s$), se obtiene la siguiente expresión:
| $ k =\displaystyle\frac{ S }{ L }\displaystyle\frac{ l }{ s } k_m $ |
Como la la constante de Hook total de resortes en paralelo ($k_p$) de la constante de Hook de resorte i ($k_i$) es
| $ k_p =\displaystyle\sum_i k_i$ |
se tiene que para el caso de la constante de Hook microscópica ($k_m$) iguales que
$k_p = N_p k_m$
la constante de Hook total de resortes en paralelo ($k_p$) corresponde, en este caso, a la constante de Hook de una sección de un grosor monoatómico. Para obtener la constante de todo el cuerpo, se debe sumar ahora en serie todas las secciones, para lo que se trabaja con la relación para la suma de la constante de Hook total de resortes en serie ($k_s$), dada por
| $\displaystyle\frac{1}{ k_s }=\displaystyle\sum_i\displaystyle\frac{1}{ k_i }$ |
Con el número de secciones igual a el número de resortes en serie ($N_s$), y si se asume que todas son iguales, se obtiene
$\displaystyle\frac{1}{k} = N_s\displaystyle\frac{1}{N_p k_m}$
o sea
$k = \displaystyle\frac{N_p}{N_s}k_m$
Finalmente, con las relaciones para el largo del cuerpo ($L$) y el largo del resorte microscópico ($l$)
| $ N_s =\displaystyle\frac{ L }{ l }$ |
y con la sección del elemento ($S$) y la sección del resorte microscópico ($s$)
| $ N_p =\displaystyle\frac{ S }{ s }$ |
se obtiene finalmente
| $ k =\displaystyle\frac{ S }{ L }\displaystyle\frac{ l }{ s } k_m $ |
ID:(3205, 0)
Módulo de elasticidad
Ecuación
La expresión para la constante de Hooke ($k$) dada por
| $ k =\displaystyle\frac{ S }{ L }\displaystyle\frac{ l }{ s } k_m $ |
posee dos parámetros macroscópicos, que son el largo del cuerpo ($L$) y la sección del elemento ($S$). Los demás, la constante de Hook microscópica ($k_m$), el largo del resorte microscópico ($l$) y la sección del resorte microscópico ($s$), son microscópicos y dependen del material que se describe. Por lo tanto, tiene sentido definir estos factores como el módulo de Elasticidad ($E$), de modo que:
| $ E =\displaystyle\frac{ l }{ s } k_m $ |
ID:(3204, 0)
Fuerza de Hooke de un objeto
Ecuación
Ya que la Ley de Hooke relaciona la fuerza elástica ($F_k$) a través de la constante de Hooke ($k$) y la elongación ($u$) de la manera siguiente:
| $ F_k = k u $ |
es posible sustituir la constante de Hooke ($k$) por la expresión microscópica y utilizando la definición de el módulo de Elasticidad ($E$), se obtiene con el largo del cuerpo ($L$) y la sección del elemento ($S$) que:
| $ F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u $ |
Con la Ley de Hooke para la fuerza elástica ($F_k$), la constante de Hooke ($k$) y la elongación ($u$) de la siguiente forma:
| $ F_k = k u $ |
y la expresión para la constante de Hooke ($k$) en función de el largo del cuerpo ($L$), la sección del elemento ($S$), el largo del resorte microscópico ($l$), la sección del resorte microscópico ($s$) y la constante de Hook microscópica ($k_m$):
| $ k =\displaystyle\frac{ S }{ L }\displaystyle\frac{ l }{ s } k_m $ |
combinada con la expresión para el módulo de Elasticidad ($E$):
| $ E =\displaystyle\frac{ l }{ s } k_m $ |
el resultado es:
| $ F_k =\displaystyle\frac{ E S }{ L } u $ |
ID:(3209, 0)