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Was sind die Variablen?
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Um Modelle basierend auf Hypothesen zu formulieren, ist es wichtig, die Variablen zu definieren, die die Entwicklung eines Systems beschreiben, ihnen klare Symbole zuzuweisen und ihre Einheiten im MKS-System (Meter-Kilogramm-Sekunde) anzugeben. Einige Variablen müssen beobachtbar sein, das heißt, sie müssen empirisch messbar sein, um die Modelle experimentell zu validieren. Es gibt jedoch Variablen, die nicht direkt gemessen werden können und daher aus anderen beobachtbaren Variablen berechnet werden müssen. Zudem gibt es Variablen, die theoretisch direkt messbar wären, aber aufgrund begrenzter technologischer Verfügbarkeit berechnet werden müssen.
Isaac Newton führte das Konzept von Variablen zur Beschreibung physikalischer Systeme in Philosophiae Naturalis Principia Mathematica ein, während Pierre-Simon Laplace dies erweiterte, indem er postulierte, dass das Wissen über alle Variablen eines Systems es ermöglichen würde, dessen Zukunft vorherzusagen und seine Vergangenheit zu rekonstruieren, was eine deterministische Sichtweise des Universums förderte.
Variablen werden in unabhängige Variablen, wie Zeit ($t$) und Anfangsposition ($s_0$), und abhängige Variablen, wie Position ($s$) und Geschwindigkeit ($v$), unterteilt. Im Fall einer gleichförmigen, geradlinigen Bewegung beschreiben die abhängigen Variablen, wie sich das System basierend auf den unabhängigen Variablen entwickelt.
Heisenberg stellte die klassische Sichtweise mit seinem Unschärferelationsprinzip in Frage und zeigte, dass es eine theoretische Grenze für die Präzision gibt, mit der bestimmte Variablenpaare, wie Position und Impuls, gleichzeitig gemessen werden können. Dieses Prinzip enthüllte, dass die Messung den Zustand des Systems beeinflusst, bekannt als der Kollaps der Wellenfunktion, und führte die Wahrscheinlichkeit in die Physik ein. Dies veränderte die klassische Vorstellung von Observablen als exakte, vorhersehbare Werte und transformierte das Verständnis von Messungen und Determinismus.
ID:(2124, 0)
Variablen und Observablen
Beschreibung
Um das Modell zu den vorgeschlagenen Hypothesen zu formulieren, ist es wichtig, die Variablen zu definieren, die die Entwicklung des Systems beschreiben. Jede Variable sollte eine klare Beschreibung haben und mit einem Symbol, wie einem Buchstaben, einer Kombination von Buchstaben oder Zahlen, versehen werden, um die Referenz in Texten und Gleichungen zu erleichtern. Zudem müssen die Maßeinheiten der Variablen angegeben werden, und zwar in einem universellen System wie dem MKS (Meter-Kilogramm-Sekunde). Zur besseren Verständlichkeit werden die Einheiten in eckigen Klammern dargestellt, zum Beispiel Zeit in Sekunden [s] und Position in Metern [m].
Da Hypothesen und Modelle experimentell validiert werden müssen, ist es notwendig, dass zumindest einige der Variablen observable sind, das heißt, Variablen, die empirisch gemessen werden können. Es gibt jedoch auch Variablen, die nicht direkt messbar sind und daher als nicht-observabel gelten. Diese Variablen müssen aus anderen observablen Variablen berechnet werden. Darüber hinaus gibt es Variablen, für die zwar direkte Messmethoden existieren, deren Technologie jedoch schwer zugänglich ist, sodass es notwendig ist, sie durch Berechnungen basierend auf anderen messbaren Daten zu ermitteln.
Daher sollte die Formulierung von Modellen berücksichtigen, wie jede Variable bestimmt wird, um sicherzustellen, dass das Modell praktikabel und überprüfbar ist. Ein häufiger Fehler besteht darin, ein Modell zu entwerfen, in dem die Anzahl der nicht-observablen Variablen die Anzahl der verfügbaren Gleichungen zur Bestimmung dieser Variablen übersteigt, was die vollständige Lösung des Systems verhindert.
ID:(15924, 0)
Definition von Variablen
Beschreibung
Das ursprüngliche Konzept der Variablen geht auf Isaac Newton zurück, der es in seinem Werk Philosophiae Naturalis Principia Mathematica [1] dokumentierte. Newton legte damit nicht nur die Grundlage für die Gesetze, die die Bewegung von Körpern beschreiben, sondern führte auch die Idee ein, dass Variablen grundlegende Elemente zur Beschreibung des Zustands eines physikalischen Systems sind.
Pierre-Simon Laplace erweiterte dieses Konzept, indem er behauptete, dass es einen Satz von Variablen gibt, der den Zustand eines physikalischen Systems vollständig beschreibt. Er führte auch die Idee einer hypothetischen Intelligenz ein - heute als Laplacescher Dämon bekannt -, die, wenn sie alle diese Variablen kennen würde, die gesamte zukünftige Entwicklung des Systems berechnen und sogar dessen Vergangenheit bis zum gegenwärtigen Moment rekonstruieren könnte [2]. So entstand die deterministische Sichtweise, dass sowohl die Vergangenheit als auch die Zukunft durch Naturgesetze festgelegt sind, was die Vorstellung des freien Willens, also die Fähigkeit des Menschen, autonome Entscheidungen zu treffen, in Frage stellt.
Pierre-Simon, Marquis de Laplace (1749-1827)
Um die Arbeit mit Variablen zu erleichtern, müssen ihre Beschreibungen definiert und Symbole oder Buchstaben zugewiesen werden, um sie in Texten und Gleichungen leichter referenzieren zu können. Zusätzlich sollten die Einheiten, in denen sie gemessen werden, angegeben werden. Diese Einheiten können in einem universellen System wie dem MKS-System (Meter-Kilogramm-Sekunde) spezifiziert werden. Um den Text klarer zu gestalten, werden die Einheiten in eckigen Klammern angegeben, zum Beispiel [s] für Zeit in Sekunden und [m] für Position in Metern.
Eine nützliche Methode zur Definition der Variablen, die ein physikalisches System beschreiben, besteht darin, sie in zwei Haupttypen zu klassifizieren: unabhängige Variablen und abhängige Variablen.
Unabhängige Variablen sind jene, die frei definiert werden können und nicht von anderen Variablen im System beeinflusst werden. Im Fall einer gleichförmigen und geradlinigen Bewegung gehören dazu die Zeit $t$, die Anfangszeit $t_0$ und die Anfangsposition $s_0$.
Abhängige Variablen hingegen sind solche, die von den unabhängigen Variablen abhängen und beschreiben, wie sich das System entwickelt. Im Beispiel der gleichförmigen und geradlinigen Bewegung ist die Hauptvariable die Position $s$, da sie von der Zeit $t$ abhängt. Obwohl die Geschwindigkeit $v$ in dieser Bewegungsform konstant ist, wird sie als abhängige Variable betrachtet, da sie von den Anfangsbedingungen des Systems bestimmt wird und nicht frei wählbar ist.
Zusammengefasst werden die Variablen für eine gleichförmige und geradlinige Bewegung wie folgt klassifiziert:
Unabhängige Variablen:
$t$: Zeit [s]
$t_0$: Anfangszeit [s]
$s_0$: Anfangsposition [m]
Abhängige Variablen:
$s$: Position [m]
$v$: Geschwindigkeit [m/s]
Dabei steht [m/s] für die Einheiten der Geschwindigkeit in Metern pro Sekunde.
[1] Philosophiae Naturalis Principia Mathematica (Mathematische Prinzipien der Naturphilosophie), Isaac Newton, Royal Society of London, 1687.
[2] Essai philosophique sur les probabilités (Philosophischer Essay über die Wahrscheinlichkeiten), enthalten in Théorie analytique des probabilités (Analytische Theorie der Wahrscheinlichkeiten), Pierre-Simon Laplace, Courcier, Paris, 1814.
[3] James Posselwhite, gemeinfrei, über Wikimedia Commons.
ID:(15925, 0)
Definition von Observablen
Beschreibung
Observable sind die Größen oder Eigenschaften eines Systems, die während eines Experiments direkt gemessen oder quantifiziert werden können. Es gibt jedoch auch Variablen, die nicht direkt beobachtbar sind, wie die Gesamtenergie eines Systems und ähnliche Eigenschaften. Zudem gibt es Fälle, in denen bestimmte Variablen theoretisch direkt gemessen werden könnten, aber in der Praxis, wenn die entsprechende Technologie nicht verfügbar ist, aus anderen Observablen berechnet werden müssen.
Im Kontext einer gleichförmigen und geradlinigen Bewegung gehören zu den Observablen:
• Die Position $s$.
• Die Anfangsposition $s_0$.
• Die Zeit $t$.
• Die Anfangszeit $t_0$.
Die Geschwindigkeit $v$ ist ein Sonderfall: Obwohl sie mit der richtigen Technologie direkt gemessen werden kann, wird sie in vielen Experimenten aus anderen Messungen berechnet, wie der zurückgelegten Strecke und der verstrichenen Zeit. In diesem Fall wird die Geschwindigkeit zu einer aus zwei Observablen abgeleiteten Variable:
• Zurückgelegte Strecke $\Delta s$ [m].
• Verstrichene Zeit $\Delta t$ [s].
Sowohl die zurückgelegte Strecke als auch die verstrichene Zeit können direkt gemessen werden und sind somit Observablen. Sie können jedoch auch aus den zuvor genannten Observablen wie $s$, $s_0$, $t$ und $t_0$ berechnet werden. Dies zeigt, wie bestimmte Variablen unter bestimmten Bedingungen Observablen sein können und unter anderen abgeleitet werden, je nach Kontext und verfügbaren Messinstrumenten.
ID:(15926, 0)
Einschränkungen von Observablen
Beschreibung
Zur Zeit von Isaac Newton wurden Messungen als ein Prozess ohne inhärente Grenzen der Genauigkeit betrachtet, der nur durch die technischen Beschränkungen der damaligen Zeit begrenzt war. In diesem Sinne entstand auch die Idee von Laplaces Dämon, der besagte, dass man mit ausreichender Messgenauigkeit die zukünftige Entwicklung eines jeden physikalischen Systems mit Sicherheit vorhersagen könnte.
Die Arbeiten von Werner Heisenberg im vergangenen Jahrhundert stellten diese Sichtweise jedoch in Frage, indem sie zeigten, dass Messungen grundlegende Grenzen haben, die über technologische Beschränkungen hinausgehen. Heisenberg wies darauf hin, dass es nicht nur Einschränkungen bei der Messgenauigkeit gibt, sondern auch theoretische Grenzen, die selbst in der klassischen Physik bestehen, wenn eine extreme Genauigkeit angestrebt wird.
Werner Karl Heisenberg (1901-1976) [1]
Heisenberg führte Konzepte ein, die aus der Quantenmechanik stammen und zunehmend auch im klassischen Kontext relevant werden. Die ursprüngliche Vorstellung, dass jede Variable mit der gewünschten Genauigkeit bestimmt werden kann, wurde durch das Verständnis ersetzt, dass es inhärente Grenzen für mögliche Messungen gibt. Diese Einschränkungen umfassen:
1. Grenze der Messgenauigkeit: In der klassischen Physik wird angenommen, dass jede Observable, wie die Position oder die Geschwindigkeit, mit beliebiger Genauigkeit gemessen werden kann und dass Messfehler rein technische Probleme sind, die mit besseren Instrumenten reduziert werden können. Das Unschärferelationsprinzip von Heisenberg führte jedoch eine grundlegende Grenze für die Präzision ein, mit der bestimmte Paare von Observablen, wie Position und Impuls, gleichzeitig gemessen werden können. Dies veränderte die klassische Sichtweise, indem es zeigte, dass es eine theoretische, nicht nur technische, Grenze für die Genauigkeit von Messungen gibt.
2. Nichtkommutativität von Messungen: In der klassischen Physik können beliebige Observablen in beliebiger Reihenfolge gemessen werden, ohne dass dies die Ergebnisse beeinflusst. In der Quantenmechanik zeigte Heisenberg jedoch, dass bestimmte Observablen, wie Position und Impuls, nicht kommutieren, was bedeutet, dass die Reihenfolge der Messungen das Endergebnis beeinflusst. Dies impliziert, dass das klassische Konzept der gleichzeitigen Messung bestimmter Observablen überdacht werden muss.
3. Auswirkung des Messvorgangs: In der klassischen Physik wird angenommen, dass der Messvorgang das beobachtete System nicht signifikant verändert. Heisenberg führte jedoch die Idee ein, dass die Messung einer Observable in einem Quantensystem den Zustand des Systems verändert, ein Phänomen, das als Kollaps der Wellenfunktion bekannt ist. Das bedeutet, dass die Beobachtung selbst die Eigenschaften des Systems verändert und die klassische Vorstellung von passiver und unabhängiger Messung in Frage stellt.
4. Wahrscheinlichkeit und Determinismus: Die klassische Sichtweise von Observablen ist deterministisch; es wird angenommen, dass, wenn alle Anfangsbedingungen eines Systems bekannt sind, zukünftige Zustände mit Sicherheit vorhergesagt werden können. Heisenberg zeigte jedoch durch sein Unschärferelationsprinzip, dass in der Quantenwelt nur Wahrscheinlichkeiten von Ergebnissen vorhergesagt werden können, nicht aber absolute Resultate. Dies führt zu einer inhärent probabilistischen Natur von quantenmechanischen Messungen und verändert die klassische Vorstellung von Observablen als präzisen, festgelegten Werten.
[1] Bundesarchiv, Bild 183-R57262 / Unbekannter Autor / CC-BY-SA 3.0
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