Benützer:
Wie man die Gleichungen erstellt
Beschreibung 
Der erste Schritt bei der Erstellung der Gleichungen für ein Modell besteht darin, die Gleichungen zu identifizieren, die die Hypothese beschreiben und die Grundlage des Modells bilden. Diese Gleichungen müssen die zuvor akzeptierten grundlegenden Prinzipien erfüllen, um Konsistenz zu gewährleisten und Widersprüche zu vermeiden. Sobald die Hauptgleichungen formuliert sind, müssen alle zusätzlichen Gleichungen, die sich aus diesen grundlegenden Prinzipien ableiten, einbezogen werden, um das Modell zu vervollständigen und zu validieren, das das physikalische System beschreibt.
Zusammenfassend sollte der Prozess folgende Schritte umfassen:
1. Das Phänomen der Hypothese berücksichtigen: Das spezifische Phänomen analysieren, das modelliert werden soll, und dessen Eigenschaften verstehen.
2. Die Gleichungen erstellen, die die Hypothese widerspiegeln: Die in der Hypothese vorgeschlagenen Beziehungen mathematisch formulieren, um das Verhalten des Systems darzustellen.
3. Kohärenz mit den grundlegenden Prinzipien sicherstellen: Überprüfen, ob die formulierten Gleichungen mit den anwendbaren physikalischen Prinzipien, wie Erhaltungsgesetzen oder Symmetrieprinzipien, übereinstimmen.
4. Alle Gleichungen einbeziehen, die sich aus den grundlegenden Prinzipien ableiten: Zusätzliche Gleichungen hinzufügen, die die Einhaltung der physikalischen Gesetze gewährleisten, um ein vollständiges und robustes Modell zu erstellen.
Dieser Ansatz stellt sicher, dass das Modell gut fundiert ist und das Verhalten des untersuchten Systems genau und überprüfbar darstellen kann.
ID:(15933, 0)
Definition der Geschwindigkeit
Beschreibung
Die Definition der Geschwindigkeit ist grundlegend für die Modellierung eines Systems, das sich gleichförmig und geradlinig bewegt. Diese Art der Bewegung wird mit der Abwesenheit von Wechselwirkungen mit der Umgebung oder anderen Objekten in Verbindung gebracht und leitet sich direkt aus dem Trägheitsprinzip ab. Daher wird sich ein Objekt unter diesen Bedingungen mit konstanter Geschwindigkeit relativ zu dem Bezugssystem bewegen, von dem aus es beobachtet wird.
Der Begriff der Geschwindigkeit wurde bereits in der Antike untersucht, aber es war Galileo Galilei, der ihn erstmals quantitativ definierte. Die Geschwindigkeit wird in Bezug auf die zurückgelegte Strecke $\Delta s$ und die verstrichene Zeit $\Delta t$ durch die folgende Gleichung ausgedrückt:
$v \equiv \displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$
Damit diese Gleichung universell gültig ist, müssen $\Delta s$ und $\Delta t$ in Raum und Zeit invariant sein. Dies bedeutet, dass die Prinzipien der räumlichen Invarianz und der zeitlichen Invarianz erfüllt sein müssen, was voraussetzt, dass sowohl die zurückgelegte Strecke als auch die verstrichene Zeit unabhängig vom Bezugssystem sind, von dem aus die Beobachtung und Beschreibung der Bewegung erfolgt. Dies stellt sicher, dass die Definition der Geschwindigkeit konsistent und in allen Kontexten anwendbar bleibt.
ID:(15930, 0)
Räumliche Invarianz
Beschreibung
Das Prinzip der räumlichen Invarianz wird durch die Einführung des Konzepts des zurückgelegten Weges $\Delta s$ behandelt, der als die Differenz zwischen der Endposition $s$ und der Anfangsposition $s_0$ berechnet wird:
$\Delta s \equiv s - s_0$
Der Schlüsselpunkt ist, dass, obwohl sowohl die Position als auch die Anfangsposition von dem gewählten Bezugssystem abhängen, die Differenz zwischen ihnen unabhängig vom Bezugssystem ist. Dies kann gezeigt werden, indem beide Positionen um denselben Faktor $d$ verschoben werden:
$s \rightarrow s + d$
$s_0 \rightarrow s_0 + d$
Dies führt zu der neuen Differenz:
$\Delta s' = (s + d) - (s_0 + d) = s - s_0 = \Delta s$
Daher ist der zurückgelegte Weg $\Delta s$ invariant gegenüber räumlichen Verschiebungen, was bedeutet, dass die Verschiebung des gesamten Systems um den Faktor $d$ dasselbe Ergebnis liefert. Diese Eigenschaft bestätigt, dass $\Delta s$ eine räumliche Symmetrie besitzt und unabhängig vom Bezugssystem bleibt, in dem die Beobachtung durchgeführt wird.
ID:(15928, 0)
Zeitliche Invarianz
Beschreibung
Das Prinzip der zeitlichen Invarianz wird durch die Einführung des Konzepts der verstrichenen Zeit $\Delta t$ behandelt, die als die Differenz zwischen der Endzeit $t$ und der Anfangszeit $t_0$ berechnet wird:
$\Delta t \equiv t - t_0$
Der Schlüsselpunkt ist, dass sowohl die Endzeit $t$ als auch die Anfangszeit $t_0$ vom gewählten Bezugssystem abhängen, die Differenz zwischen ihnen jedoch unabhängig von diesem System ist. Dies kann gezeigt werden, indem beide Zeiten um denselben Faktor $\tau$ verschoben werden:
$t \rightarrow t + \tau$
$t_0 \rightarrow t_0 + \tau$
Die neue Differenz ergibt sich dann zu:
$\Delta t' = (t + \tau) - (t_0 + \tau) = t - t_0 = \Delta t$
Daher ist die verstrichene Zeit $\Delta t$ invariant gegenüber zeitlichen Verschiebungen, was bedeutet, dass das Verschieben des gesamten Systems um einen Faktor $\tau$ das Ergebnis unverändert lässt. Diese Eigenschaft bestätigt, dass $\Delta t$ eine zeitliche Symmetrie besitzt und unabhängig vom Bezugssystem ist, in dem die Beobachtung durchgeführt wird.
ID:(15929, 0)
Bewegungsgleichung
Beschreibung
Das Modell der gleichförmigen und geradlinigen Bewegung basiert auf drei zuvor definierten Grundgleichungen. Diese sind:
Die Definition der Geschwindigkeit:
$v \equiv \displaystyle\frac{ \Delta s }{ \Delta t }$
Die Definition des zurückgelegten Weges:
$\Delta s \equiv s - s_0$
Die Definition der verstrichenen Zeit:
$\Delta t \equiv t - t_0$
Diese Gleichungen beschreiben das Verhalten des Systems vollständig und erfüllen die drei grundlegenden Prinzipien:
• Trägheitsprinzip
• Räumliche Invarianz
• Zeitliche Invarianz
Zusätzlich kann eine vierte Gleichung abgeleitet werden, die beschreibt, wie sich das System entwickelt, indem sie zeigt, wie sich die Position $s$ in Abhängigkeit von der Zeit $t$ verändert. Diese Gleichung ist als Bewegungsgleichung bekannt.
Um sie abzuleiten, setzen wir den zurückgelegten Weg $\Delta s$ und die verstrichene Zeit $\Delta t$ in die Geschwindigkeitsgleichung ein:
$v \equiv \displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta t} = \displaystyle\frac{s - s_0}{t - t_0}$
Wenn wir die Position $s$ umstellen, erhalten wir:
$s = s_0 + v (t - t_0)$
Diese Gleichung stellt eine Gerade dar, bei der die Position $s$ (Ordinate) in Abhängigkeit von der Zeit $t$ (Abszisse) variiert, wobei die Geschwindigkeit $v$ die Steigung der Geraden ist.
ID:(15931, 0)
Modellrepräsentation
Beschreibung
Die Darstellung eines Modells beginnt mit der Dokumentation der Beschreibung der Situation, der Hypothese, die sie erklärt, und der Bedingungen, die erfüllt sein müssen. Anschließend werden die grundlegenden Prinzipien aufgelistet, die auf die Hypothese anwendbar sind, sowie weitere allgemeine Prinzipien, die in der beschriebenen Situation gültig sind. Schließlich werden die notwendigen Variablen für die Modellierung und die Gleichungen, die diese Variablen verwenden, im Einklang mit den grundlegenden Prinzipien aufgeführt.
Beispiel:
• Gleichförmige und geradlinige Bewegung
Beschreibung:
• Ein Objekt, das sich gleichförmig und geradlinig bewegt.
Hypothese:
• Das Objekt bewegt sich aufgrund des Trägheitsprinzips mit konstanter Geschwindigkeit entlang einer geraden Linie.
Bedingungen:
• Keine äußeren Kräfte wirken auf das Objekt.
• Es gibt keine äußeren Einflüsse, die die Bewegung des Objekts beeinflussen.
Grundlegende Prinzipien
Für die beschriebene Hypothese gilt das folgende grundlegende Prinzip:
• Trägheitsprinzip: Stellt sicher, dass ein Objekt seine gleichförmige, geradlinige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit beibehält, solange keine äußeren Kräfte wirken.
Die genannten Bedingungen implizieren auch die Erfüllung der folgenden Prinzipien:
• Räumliche Invarianz: Die Gesetze, die die Bewegung beschreiben, sind unabhängig von der Position im Raum.
• Zeitliche Invarianz: Die Gesetze bleiben über die Zeit hinweg konsistent.
Variablen und Beobachtbare
Die folgenden Variablen werden mit ihren Symbolen, Einheiten und ihrer Bedeutung hinsichtlich der Beobachtbarkeit definiert:
Direkt beobachtbare Variablen:
• $s$: Position [m]
• $s_0$: Anfangsposition [m]
• $t$: Zeit [s]
• $t_0$: Anfangszeit [s]
Bevorzugt berechnete Variablen:
• $\Delta s$: zurückgelegter Weg [m]
• $\Delta t$: verstrichene Zeit [s]
• $v$: konstante Geschwindigkeit [m/s]
Die bevorzugte Berechnung bestimmter Variablen hilft, Widersprüche in einem überbestimmten Modell zu vermeiden, bei dem es mehr Datenpunkte als verfügbare Gleichungen gibt.
Gleichungen und zugeordnete Grundprinzipien
Die aus der Hypothese und den grundlegenden Prinzipien abgeleiteten Gleichungen sind:
$v \equiv \displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta t}$
• Zugeordnet zum Trägheitsprinzip.
$\Delta s = s - s_0$
• Reflektiert die räumliche Invarianz.
$\Delta t = t - t_0$
• Reflektiert die zeitliche Invarianz.
$s = s_0 + v (t - t_0)$
• Bezieht sich auf das Trägheitsprinzip,
• die räumliche Invarianz und die zeitliche Invarianz.
Grafische Darstellung des Modells
Das Modell kann grafisch dargestellt werden, indem ein Netzwerk gezeigt wird, bei dem die Gleichungen im Zentrum stehen und die Variablen, die von mehreren Gleichungen verwendet werden können, darum herum angeordnet sind:
Modell dargestellt durch ein Netzwerk von Gleichungen und Variablen
ID:(15932, 0)