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Péndulo Físico
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En el caso de un péndulo compuesto de una masa real la energía potencial se da por el efecto de elevar el centro de masa contra el campo gravitacional a medida que el péndulo se desvía por un angulo dado.
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Péndulo Físico
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En el caso de un péndulo compuesto con una masa real, la energía potencial se genera al elevar el centro de masa contra el campo gravitacional a medida que el péndulo se desvía por un ángulo determinado.
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La variación del trabajo ($\Delta W$) necesaria para que un objeto cambie de la velocidad angular inicial ($\omega_0$) a la velocidad angular ($\omega$) se obtiene aplicando un el torque ($T$) que produce un desplazamiento angular la diferencia de ángulos ($\Delta\theta$), según:
Aplicando la segunda ley de Newton para la rotación, en función de el momento de inercia para eje que no pasa por el CM ($I$) y la aceleración angular media ($\bar{\alpha}$):
esta expresión puede reescribirse como:
$\Delta W = I \alpha \Delta\theta$
o, utilizando la diferencia de velocidades angulares ($\Delta\omega$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$):
obtenemos:
$\Delta W = I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t} \Delta\theta$
Si utilizamos la definición de la velocidad angular media ($\bar{\omega}$) y el tiempo transcurrido ($\Delta t$):
resulta:
$\Delta W = I\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t} \Delta\theta = I\omega \Delta\omega$
donde la diferencia de velocidades angulares ($\Delta\omega$) se expresa como:
Por otro lado, la velocidad angular puede aproximarse mediante la velocidad angular promedio:
$\bar{\omega}=\displaystyle\frac{\omega_1 + \oemga_2}{2}$
Combinando ambas expresiones, se obtiene la ecuación:
$\Delta W = I \omega \Delta\omega = I(\omega_2 - \omega_1) \displaystyle\frac{(\omega_1 + \omega_2)}{2} = \displaystyle\frac{I}{2}(\omega_2^2 - \omega_1^2)$
Por lo tanto, el cambio en la energía se expresa como:
$\Delta W = \displaystyle\frac{I}{2}\omega_2^2 - \displaystyle\frac{I}{2}\omega_1^2$
Lo que nos permite definir la energía cinética rotacional como:
La energ a potencial gravitacional de un p ndulo con masa
donde
Para peque os ngulos, la funci n coseno se puede aproximar mediante la serie de Taylor hasta el segundo t rmino
$\cos\theta\sim 1-\displaystyle\frac{1}{2}\theta^2$
lo que lleva a que la energ a potencial se reduce a
Dado que la la energía cinética de rotación ($K_r$) del péndulo físico, en función de el momento de inercia para eje que no pasa por el CM ($I$) y la velocidad angular ($\omega$), está representada por:
y que la energía potencial del péndulo ($V$), en función de la masa gravitacional ($m_g$), el largo del péndulo ($L$), el angulo de oscilación ($\theta$) y la aceleración gravitacional ($g$), se expresa como:
La ecuación de la energía total se escribe como:
$E = \displaystyle\frac{1}{2}I\omega^2 + \displaystyle\frac{1}{2}mgl\theta^2$
Sabiendo que la período ($T$) se define como:
$T = 2\pi\sqrt{\displaystyle\frac{I}{mgl}}$
Podemos determinar la frecuencia angular mediante:
Utilizando el n mero complejo
introducido en
obtenemos
$\dot{z} = i\omega_0 z = i \omega_0 x_0 \cos \omega_0 t - \omega_0 x_0 \sin \omega_0 t$
por lo tanto, la velocidad se obtiene como la parte real
Ejemplos
A diferencia del péndulo matemático, el péndulo físico considera una la masa gravitacional ($m_g$) extendida en lugar de una masa puntual. Si bien el largo del péndulo ($L$) se define como la distancia entre el eje de giro y el centro de masa del cuerpo lo que hace que la energía potencial sea equivalente en ambos modelos, la la energía cinética de rotación ($K_r$) ya no puede aproximarse mediante expresiones que dependen únicamente de el largo del péndulo ($L$) y la masa gravitacional ($m_g$). En este caso, es imprescindible conocer el el momento de inercia para eje que no pasa por el CM ($I$) real del cuerpo para representar correctamente su comportamiento dinámico.
A diferencia del péndulo matemático, el péndulo físico considera una la masa gravitacional ($m_g$) extendida en lugar de una masa puntual. Al definir el largo del péndulo ($L$) como la distancia entre el eje de giro y el centro de masa del cuerpo, la la energía potencial del péndulo ($V$) resulta equivalente en ambos modelos. Sin embargo, la la energía cinética de rotación ($K_r$) ya no puede aproximarse mediante la expresión que depende únicamente de el largo del péndulo ($L$) y la masa gravitacional ($m_g$), sino que requiere incorporar el momento de inercia para eje que no pasa por el CM ($I$) del cuerpo para representar adecuadamente su distribución de masa.
La energía total ($E$) corresponde a la suma de la energía cinética total ($K$) y la energía potencial ($V$):
La energía cinética de rotación ($K_r$) es una función de la velocidad angular ($\omega$) y de una medida de la inercia representada por el momento de inercia para eje que no pasa por el CM ($I$):
La energ a potencial gravitacional de un p ndulo es
que para ngulos peque os puede aproximarse como:
Es importante destacar que el ngulo debe estar expresado en radianes.
La frecuencia angular del péndulo físico ($\omega_0$) se determina en función de la masa gravitacional ($m_g$), el largo del péndulo ($L$), el momento de inercia para eje que no pasa por el CM ($I$) y la aceleración gravitacional ($g$):
La relación entre la frecuencia angular ($\omega$) y la frecuencia del sonido ($\nu$) se expresa como:
La frecuencia angular ($\omega$) es con la período ($T$) igual a
La frecuencia del sonido ($\nu$) representa la cantidad de oscilaciones que ocurren en un segundo. Mientras tanto, la período ($T$) es el tiempo que tarda una sola oscilaci n. Por lo tanto, el n mero de oscilaciones por segundo es:
La frecuencia se expresa en Hertz (Hz).
Con la descripci n de la oscilaci n usando
la parte real corresponde a la evoluci n temporal de la amplitud
Al obtener la parte real de la derivada del n mero complejo que representa la oscilaci n
cuya parte real se refiere a la velocidad
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