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Péndulo Matemático
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En el caso de un péndulo compuesto de una masa puntual la energía potencial se da por el efecto de elevar la masa contra el campo gravitacional a medida que el péndulo se desvía por un angulo dado.
ID:(1420, 0)
Péndulo Matemático
Descripción
En el caso de un péndulo compuesto por una masa puntual, la energía potencial se genera al elevar la masa contra el campo gravitacional a medida que el péndulo se desvía por un ángulo determinado.
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Ecuaciones
(ID 3687)
La energ a potencial gravitacional de un p ndulo con masa
| $ U = m g L (1-\cos \theta )$ |
donde
Para peque os ngulos, la funci n coseno se puede aproximar mediante la serie de Taylor hasta el segundo t rmino
$\cos\theta\sim 1-\displaystyle\frac{1}{2}\theta^2$
lo que lleva a que la energ a potencial se reduce a
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
(ID 4514)
La energía cinética de la masa puntual ($K$), en relación con la masa inercial ($m_i$), el largo del péndulo ($L$) y la velocidad angular ($\omega$), se expresa mediante:
| $ K =\displaystyle\frac{1}{2} m_i L ^2 \omega ^2$ |
De manera análoga, la energía potencial del péndulo ($V$), en función de la aceleración gravitacional ($g$) y la masa gravitacional ($m_g$), se determina mediante:
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
Considerando el angulo de oscilación ($\theta$), la ecuación de la energía total se expresa como:
$E = \displaystyle\frac{1}{2}m r^2 \omega^2 + \displaystyle\frac{1}{2}m g r \theta^2$
Dado que la período ($T$) es igual a:
$T = 2\pi\displaystyle\sqrt{\displaystyle\frac{m r^2}{m g r}} = 2\pi\displaystyle\sqrt{\displaystyle\frac{r}{g}}$
Es posible establecer la relación para la frecuencia angular del péndulo matemático ($\omega_0$) mediante:
| $ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ g }{ L }$ |
(ID 4516)
(ID 12338)
(ID 12552)
Utilizando el n mero complejo
| $ z = x_0 \cos \omega_0 t + i x_0 \sin \omega_0 t $ |
introducido en
| $ \dot{z} = i \omega_0 z $ |
obtenemos
$\dot{z} = i\omega_0 z = i \omega_0 x_0 \cos \omega_0 t - \omega_0 x_0 \sin \omega_0 t$
por lo tanto, la velocidad se obtiene como la parte real
| $ v = - x_0 \omega_0 \sin \omega_0 t $ |
(ID 14076)
Ejemplos
Una manera eficaz de estudiar la oscilaci n de un p ndulo matem tico es mediante su representaci n en el espacio de fases, el cual describe el sistema en funci n de su momento y su posici n. En este contexto, el momento corresponde al momento angular, mientras que la posici n se expresa a trav s del ngulo de desviaci n:
(ID 15849)
Un péndulo se describe como una la masa gravitacional ($m_g$) suspendida de una cuerda unida al eje de giro, a una distancia el largo del péndulo ($L$). Se le denomina péndulo matemático porque representa una idealización del péndulo físico, en la que la masa se considera puntual, es decir, concentrada en un único punto.
(ID 7098)
Un péndulo consiste en la masa gravitacional ($m_g$), suspendido de una cuerda unida al eje de giro de el largo del péndulo ($L$). Este modelo se conoce como péndulo matemático, ya que representa una idealización del péndulo físico en la que toda la masa se concentra en un punto.
(ID 1180)
(ID 15852)
ID:(1420, 0)