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Accélération angulaire instantanée
Storyboard 
Pour décrire comment la vitesse angulaire évolue au fil du temps, il est nécessaire d'étudier sa variation dans le temps.
La relation de la variation de la vitesse angulaire équivaut à la variation de la vitesse angulaire sur le temps écoulé, qui, lorsqu'elle est divisée par ce temps, correspond à l'accélération angulaire.
Pour un intervalle de temps infinitésimal, l'accélération angulaire correspond à l'accélération angulaire instantanée.
ID:(1452, 0)
Accélération angulaire comme dérivée
Concept
Si l'on considère un intervalle de temps $t$ avec une vitesse angulaire $\omega(t)$ et qu'un point est observé à un moment futur $t+\Delta t$ avec une vitesse angulaire $\omega(t+\Delta t)$, l'accélération angulaire peut être estimée comme la variation
$\omega(t+\Delta t)-\omega(t)$
au cours du temps $\Delta t$ :
$\alpha\sim\displaystyle\frac{\omega(t+\Delta t)-\omega(t)}{\Delta t}$
À mesure que la valeur de $\Delta t$ diminue, l'accélération prend le rôle de la tangente à la courbe de vitesse à ce moment-là :
Ceci généralise ce qui a déjà été observé dans le cas de l'accélération angulaire constante.
ID:(11413, 0)
Vitesse angulaire comme intégrale de l'accélération
Description
La intégrale d'une fonction correspond à l'aire sous la courbe qui définit cette fonction. Ainsi, l\'intégrale de l\'accélération angulaire entre les instants $t_0$ et $t$ correspond à la variation de la vitesse angulaire entre la vitesse angulaire initiale $\omega_0$ et $\omega$.
Par conséquent, en utilisant accélération angulaire instantanée $rad/s^2$, temps $s$, temps initial $s$, vitesse angulaire $rad/s$ et vitesse angulaire initiale $rad/s$, nous obtenons :
| $ \omega = \omega_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t \alpha\,d\tau $ |
Ce qui est représenté sur le graphique suivant :
ID:(11415, 0)
Accélération tangentielle, règle de la main droite
Image
L'orientation de l'accélération tangentielle peut être obtenue en utilisant la règle de la main droite, où les doigts pointent vers l'axe, puis tournent vers le rayon :
ID:(11600, 0)
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Paramètres
à 
, puis, sélectionnez la variable: 
à 
Calculs
Calculs
Variable 
Donnée Calculer 
Cible : Équation À utiliser Équation
$ \vec{a} = \vec{\alpha} \times \vec{r} $
&a = &alpha x &r
$ \vec{alpha} =\displaystyle\frac{d \vec{\omega} }{d t }$
&alpha = d&omega / dt
$ \alpha =\displaystyle\frac{ d\omega }{ dt }$
alpha = domega / dt
$ \omega = \omega_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t \alpha\,d\tau $
omega = omega_0 + @INT( alpha, tau, t_0, t )
$ v = v_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t a(\tau) d\tau $
v = v_0 + integrate( a, tau, t_0, t )
ID:(15426, 0)
Accélération angulaire instantanée
Équation
Tout comme dans le cas de l'accélération de translation, il existe le concept d'accélération angulaire instantanée, qui est l'accélération angulaire avec
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
qui existe à un moment spécifique. Cela est calculé dans l'approximation de très petits intervalles de temps $(\Delta t\rightarrow 0)$, c'est-à-dire
$\alpha=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=\displaystyle\frac{d\omega}{dt}$
où
| $ \alpha =\displaystyle\frac{ d\omega }{ dt }$ |
ID:(3235, 0)
Intégration de l'accélération angulaire
Équation
Si nous intégrons la définition de la vitesse angulaire par rapport au temps, en utilisant accélération angulaire instantanée $rad/s^2$, temps $s$ et vitesse angulaire instantanée $rad/s$, nous obtenons :
| $ \alpha =\displaystyle\frac{ d\omega }{ dt }$ |
Cela signifie que, pour un intervalle de temps $dt$, l'angle parcouru est donné par :
$d\omega = \alpha dt$
Si nous considérons $N$ intervalles $dt_i$ avec les vitesses angulaires correspondantes $\alpha_i$, l'angle total parcouru sera :
$\omega - \omega_0 = \sum_i \alpha_i dt_i$
En considérant la courbe de vitesse angulaire-temps, les éléments $\alpha_i dt_i$ correspondent à des rectangles avec une hauteur $\alpha_i$ et une largeur $dt_i$. La somme correspond donc à l'aire sous la courbe de vitesse angulaire-temps. Ainsi, la somme peut être exprimée comme une intégrale en utilisant accélération angulaire instantanée $rad/s^2$, temps $s$ et vitesse angulaire instantanée $rad/s$ :
| $ \omega = \omega_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t \alpha\,d\tau $ |
ID:(11416, 0)
Accélération angulaire dans plus de dimensions
Équation
En général, il faut comprendre l'accélération comme une grandeur tridimensionnelle, c'est-à-dire vectorielle. Cela signifie que sa vitesse doit être décrite par un vecteur vitesse angulaire $\vec{\omega}$ pour lequel on peut définir une composante d'accélération avec accélération angulaire instantanée $rad/s^2$, temps $s$ et vitesse angulaire instantanée $rad/s$
| $ \alpha =\displaystyle\frac{ d\omega }{ dt }$ |
Ainsi, on peut généraliser l\'accélération avec :
| $ \vec{alpha} =\displaystyle\frac{d \vec{\omega} }{d t }$ |
ID:(6742, 0)
Intégration de l'accélération angulaire
Équation
L'intégration de la définition différentielle, c'est-à-dire des variations temporelles infinitésimales, par rapport à l\'équation donne :
| $ a =\displaystyle\frac{ d v }{ d t }$ |
Nous pouvons effectuer l\'intégration entre le temps $t_0$ et $t$ de l\'accélération $a(\tau)$ pour obtenir la vitesse $v(t)$ si la vitesse initiale est $v_0$, en utilisant l\'équation:
| $ v = v_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t a(\tau) d\tau $ |
ID:(11414, 0)
Accélération tangentielle, forme vectorielle
Équation
L'accélération angulaire est représentée sous forme de vecteur dans la direction de l'axe de rotation. Étant donné que le rayon de rotation et l'accélération angulaire sont orthogonaux à l'accélération tangentielle, nous avons :
| $ a = r \alpha $ |
Cette relation peut être exprimée sous forme de produit vectoriel entre l'accélération angulaire et le rayon, écrit comme suit :
| $ \vec{a} = \vec{\alpha} \times \vec{r} $ |
Étant donné que l'accélération tangentielle est
| $ a = r \alpha $ |
Si le vecteur unitaire de l'axe est $\hat{n}$ et le vecteur unitaire radial est $\hat{r}$, le vecteur unitaire tangentiel peut être calculé à l'aide du produit vectoriel :
$\hat{t} = \hat{n} \times \hat{r}$
En conséquence, en considérant que
$\vec{a} = a \hat{t}$
,
$\vec{r} = r \hat{r}$
et
$\vec{\alpha} = \alpha \hat{n}$
,
nous pouvons déduire que
$\vec{a} = a \hat{t} = a \hat{n} \times \hat{r} = r \alpha \hat{n} \times \hat{r} = \vec{\alpha} \times \vec{r}$
,
ce qui se traduit par
| $ \vec{a} = \vec{\alpha} \times \vec{r} $ |
.
ID:(11598, 0)