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Aceleración angular instantanea
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Para describir cómo evoluciona la velocidad angular en el tiempo, es necesario estudiar su variación a lo largo del tiempo.
La relación de la variación de la velocidad angular equivale al cambio en la velocidad angular en el tiempo transcurrido, que al dividirse por este, corresponde a la aceleración angular.
Para un intervalo de tiempo infinitesimal, la aceleración angular corresponde a la aceleración angular instantánea.
ID:(1452, 0)
Aceleración angular como derivada
Concepto
Si se toma un intervalo de tiempo $t$ con una velocidad angular $\omega(t)$ y se observa un punto en un momento futuro $t+\Delta t$ con una velocidad angular $\omega(t+\Delta t)$, la aceleración angular puede estimarse como la variación
$\omega(t+\Delta t)-\omega(t)$
en el transcurso del tiempo $\Delta t$:
$\alpha\sim\displaystyle\frac{\omega(t+\Delta t)-\omega(t)}{\Delta t}$
A medida que el valor de $\Delta t$ disminuye, la aceleración toma el papel de la tangente a la curva de velocidad en ese momento:
Esto generaliza lo que ya se ha visto en el caso de la aceleración angular constante.
ID:(11413, 0)
Velocidad angular como integral de la aceleración
Descripción
La integral de una función corresponde al área bajo la curva que define dicha función. Por lo tanto, la integral de la aceleración angular entre los tiempos $t_0$ y $t$ corresponde a la variación de la velocidad angular entre la velocidad angular inicial $\omega_0$ y $\omega$.
Por lo tanto, utilizando aceleración angular instantánea $rad/s^2$, tiempo $s$, tiempo inicial $s$, velocidad angular $rad/s$ y velocidad angular inicial $rad/s$, obtenemos:
| $ \omega = \omega_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t \alpha\,d\tau $ |
Lo cual se muestra en el siguiente gráfico:
ID:(11415, 0)
Aceleración tangencial, regla de la mano derecha
Imagen
La dirección de la aceleración tangencial puede determinarse utilizando la regla de la mano derecha, donde los dedos se orientan hacia el eje y luego se giran en dirección al radio:
ID:(11600, 0)
Modelo
Top
Cálculos
Variables
Parámetros
a 
, luego, seleccione la variable: 
a 
Cálculos
Cálculos
Variable 
Dado Calcule 
Objetivo : Ecuación A utilizar Ecuación
$ \vec{a} = \vec{\alpha} \times \vec{r} $
&a = &alpha x &r
$ \vec{alpha} =\displaystyle\frac{d \vec{\omega} }{d t }$
&alpha = d&omega / dt
$ \alpha =\displaystyle\frac{ d\omega }{ dt }$
alpha = domega / dt
$ \omega = \omega_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t \alpha\,d\tau $
omega = omega_0 + @INT( alpha, tau, t_0, t )
$ v = v_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t a(\tau) d\tau $
v = v_0 + integrate( a, tau, t_0, t )
ID:(15426, 0)
Aceleración angular instantánea
Ecuación
Al igual que en la aceleración de traslación, existe el concepto de aceleración angular instantánea, que es la aceleración angular con
| $ \bar{\alpha} \equiv \displaystyle\frac{ \Delta\omega }{ \Delta t }$ |
que existe en un tiempo específico. Esto se calcula en la aproximación de intervalos de tiempo muy pequeños $(\Delta t\rightarrow 0)$, es decir
$\alpha=\lim_{\Delta t\rightarrow 0}\displaystyle\frac{\Delta\omega}{\Delta t}=\displaystyle\frac{d\omega}{dt}$
donde
| $ \alpha =\displaystyle\frac{ d\omega }{ dt }$ |
ID:(3235, 0)
Integración de la aceleración angular
Ecuación
Si integramos en el tiempo la definición de la velocidad angular con aceleración angular instantánea $rad/s^2$, tiempo $s$ y velocidad angular instantánea $rad/s$, obtenemos:
| $ \alpha =\displaystyle\frac{ d\omega }{ dt }$ |
lo que significa que para un intervalo de tiempo $dt$, el ángulo recorrido es:
$d\omega = \alpha dt$
Si consideramos $N$ intervalos $dt_i$ con velocidades angulares $\alpha_i$, el ángulo total recorrido será:
$\omega - \omega_0 = \displaystyle\sum_i \alpha_i dt_i$
Si consideramos la curva de velocidad angular-tiempo, los elementos $\alpha_i dt_i$ corresponden a rectángulos con altura $\alpha_i$ y ancho $dt_i$. La suma, por lo tanto, corresponde al área bajo la curva de velocidad angular-tiempo. Por lo tanto, la suma se puede expresar como una integral utilizando aceleración angular instantánea $rad/s^2$, tiempo $s$ y velocidad angular instantánea $rad/s$:
| $ \omega = \omega_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t \alpha\,d\tau $ |
ID:(11416, 0)
Aceleración angular en más dimensiones
Ecuación
En general hay que entender la aceleración como un ente en tres dimensiones, es decir vectorial. Esto es su velocidad requiere ser descrita por un vector velocidad angular $\vec{\omega}$ para el cual se puede definir componente una aceleración con aceleración angular instantánea $rad/s^2$, tiempo $s$ y velocidad angular instantánea $rad/s$
| $ \alpha =\displaystyle\frac{ d\omega }{ dt }$ |
con lo que se puede generalizar la aceleración con:
| $ \vec{alpha} =\displaystyle\frac{d \vec{\omega} }{d t }$ |
ID:(6742, 0)
Integración de aceleración angular
Ecuación
La integración de la definición diferencial, es decir, de las variaciones temporales infinitesimales, con respecto a la ecuación da como resultado:
| $ a =\displaystyle\frac{ d v }{ d t }$ |
Podemos realizar la integración entre el tiempo $t_0$ y $t$ de la aceleración $a(\tau)$ para obtener la velocidad $v(t)$ si la velocidad inicial es $v_0$, utilizando la ecuación:
| $ v = v_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t a(\tau) d\tau $ |
ID:(11414, 0)
Aceleración tangencial, forma vectorial
Ecuación
La aceleración angular se expresa como un vector en la dirección del eje de rotación. Dado que el radio de rotación y la aceleración angular son perpendiculares a la aceleración tangencial, se obtiene la siguiente relación:
| $ a = r \alpha $ |
Esta relación puede escribirse como el producto cruz entre la aceleración angular y el radio, representado de la siguiente manera:
| $ \vec{a} = \vec{\alpha} \times \vec{r} $ |
Dado que la aceleración tangencial es
| $ a = r \alpha $ |
Si el versor del eje es $\hat{n}$ y el radial es $\hat{r}$, el versor tangencial puede calcularse mediante el producto cruz:
$\hat{t} = \hat{n} \times \hat{r}$
En consecuencia, considerando que
$\vec{a} = a \hat{t}$
,
$\vec{r} = r \hat{r}$
y
$\vec{\alpha} = \alpha \hat{n}$
,
podemos deducir que
$\vec{a} = a \hat{t} = a \hat{n} \times \hat{r} = r \alpha \hat{n} \times \hat{r} = \vec{\alpha} \times \vec{r}$
,
lo que se traduce en
| $ \vec{a} = \vec{\alpha} \times \vec{r} $ |
ID:(11598, 0)