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Vitesse angulaire instantanée
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La vitesse angulaire moyenne est définie en tenant compte de l'angle parcouru pendant un intervalle de temps, sans prendre en compte les éventuelles fluctuations de la vitesse angulaire.
Pour déterminer la vitesse angulaire à un instant spécifique, il est nécessaire de considérer un intervalle de temps extrêmement petit, de sorte que la vitesse angulaire n'ait pas de variations significatives pendant cette période.
C'est pourquoi la vitesse angulaire instantanée est obtenue en calculant la vitesse angulaire moyenne dans la limite d'un intervalle de temps tendant vers zéro. Mathématiquement, cela équivaut à la dérivée de la position par rapport au temps et à la pente de la courbe angle-temps.
ID:(1447, 0)
Vitesse angulaire comme dérivée
Concept
Si l'on prend un temps $t$ avec un angle $\theta(t)$ et qu'on observe un point à un temps futur $t+\Delta t$ avec un angle $\theta(t+\Delta t)$, on peut estimer la vitesse comme l'angle parcouru
$\theta(t+\Delta t)-\theta(t)$
en temps $\Delta t$.
$\omega\sim\displaystyle\frac{\theta(t+\Delta t)-\theta(t)}{\Delta t}$
À mesure que la valeur de $\Delta t$ est réduite, la vitesse angulaire prend le rôle de la tangente à la courbe de position à ce moment-là :
Cela généralise ce qui a déjà été vu pour le cas d'une vitesse angulaire constante.
ID:(11407, 0)
Angle de zone de segment parcouru
Description
Si nous observons que la vitesse angulaire $\omega$ est égale à l'angle $\Delta\theta$ multiplié par le temps $\Delta t$, nous pouvons affirmer que le déplacement est
$\Delta\theta = \omega\Delta t$
Étant donné que le produit $\omega\Delta t$ représente l'aire sous la courbe de la vitesse angulaire en fonction du temps, et que cette aire est également égale au déplacement parcouru :
ID:(11417, 0)
Angle comme intégrale de la vitesse angulaire
Description
L'intégrale d'une fonction correspond à la surface sous la courbe qui définit la fonction. Par conséquent, l'intégrale de la vitesse entre les temps $t_0$ et $t$ correspond à l'angle parcouru entre la position initiale $\theta_0$ et $\theta.
Cela peut être exprimé mathématiquement comme suit:
| $ \theta = \theta_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t \omega d\tau$ |
Cette relation est représentée graphiquement ci-dessous :
Cette formule est utile pour calculer l'angle parcouru par un objet dans des situations où la fonction de vitesse est connue. L'intégrale de la fonction de vitesse fournit une mesure du déplacement total de l\'objet entre les deux temps $t_0$ et $t$, ce qui peut être utilisé pour calculer l'angle parcouru par l'objet en divisant le déplacement par le rayon du cercle. Ce concept est particulièrement utile dans les applications de physique et d'ingénierie dans lesquelles le mouvement de rotation est impliqué.
ID:(11409, 0)
Vitesse tangentielle, règle de la main droite
Image
L'orientation de la vitesse tangentielle peut être obtenue en utilisant la règle de la main droite. Si les doigts pointent vers l\'axe de rotation et sont ensuite courbés vers le vecteur de position (rayon), le pouce pointera dans la direction de la vitesse tangentielle:
ID:(11599, 0)
Vitesse tangentielle
Description
Si un objet est soumis à un mode de maintien d'un rayon constant, il tournera comme indiqué dans la figure. En observant la figure, on remarquera que la masse effectue un mouvement de translation avec une vitesse tangentielle égale au rayon multiplié par la vitesse angulaire:
Cependant, si l'élément reliant l\'objet à l\'axe est coupé, l\'objet continuera à se déplacer tangentiellement en ligne droite.
ID:(310, 0)
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, puis, sélectionnez la variable: 
à 
Calculs
Calculs
Variable 
Donnée Calculer 
Cible : Équation À utiliser 
Équations
$ \vec{\omega} = \displaystyle\frac{ d\vec{\theta} }{ dt }$
&omega = @DIF( &theta , t )
$ \vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r} $
&v = &omega x &r
$ \omega =\displaystyle\frac{ d\theta }{ dt }$
omega = @DIF( theta , t , 1)
$ \theta = \theta_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t \omega d\tau$
theta = theta_0 + @INT( oemga, tau, t_0, t)
$ v_t = r \omega $
v_t = r * omega
ID:(15423, 0)
Vitesse angulaire instantanée
Équation
La a vitesse angulaire moyenne ($\bar{\omega}$) calculée à partir de une variation d'angle ($\Delta\theta$) et de le temps écoulé ($\Delta t$) à travers l'équation
| $ \bar{\omega} \equiv\displaystyle\frac{ \Delta\theta }{ \Delta t }$ |
est une approximation du vrai a vitesse angulaire instantanée ($\omega$), qui a tendance à se déformer lorsque la vitesse angulaire fluctue pendant l'intervalle de temps. Par conséquent, le concept de a vitesse angulaire instantanée ($\omega$) déterminé sur un temps très court est introduit. Dans ce cas, il s'agit d'un intervalle de temps infinitésimalement petit.
| $ \omega =\displaystyle\frac{ d\theta }{ dt }$ |
Si l'on considère l'angle parcouru comme a variation d'angle ($\Delta\theta$) au temps $t+\Delta t$ et à $t$:
$\Delta\theta = \theta(t+\Delta t)-\theta(t)$
et le temps écoulé ($\Delta t$), alors dans la limite des temps infinitésimalement courts :
$\omega=\displaystyle\frac{\Delta\theta}{\Delta t}=\displaystyle\frac{\theta(t+\Delta t)-\theta(t)}{\Delta t}\rightarrow lim_{\Delta t\rightarrow 0}\displaystyle\frac{\theta(t+\Delta t)-\theta(t)}{\Delta t}=\displaystyle\frac{d\theta}{dt}$
Cette dernière expression correspond à la dérivée de la fonction d'angle $\theta(t)$, qui à son tour est la pente de la représentation graphique de cette fonction dans le temps.
qui correspond à la dérivée de l'angle.
ID:(3232, 0)
Intégration de la vitesse angulaire
Équation
Comme le temps ($t$) est la dérivée de le angle ($\theta$) par rapport à A vitesse angulaire instantanée ($\omega$), c'est-à-dire
| $ \omega =\displaystyle\frac{ d\theta }{ dt }$ |
,
l'intégration de le temps ($t$) entre le temps initial ($t_0$) et le temps ($t$) correspondra à l'angle parcouru entre le angle de départ ($\theta_0$) et le angle ($\theta$), comme démontré dans
| $ \theta = \theta_0 +\displaystyle\int_{t_0}^t \omega d\tau$ |
ID:(11408, 0)
Vitesse tangentielle, forme vectorielle
Équation
A vitesse angulaire instantanée ($\omega$) est défini comme un vecteur dont la direction coïncide avec l'axe de rotation. Étant donné que la rotation le radio ($r$) et a vitesse angulaire instantanée ($\omega$) sont perpendiculaires à A vitesse ($v$), elle peut être exprimée comme le produit vectoriel entre a vitesse angulaire instantanée ($\omega$) et la rotation le radio ($r$) :
| $ v = r \omega $ |
a vitesse ($v$) peut être écrite sous forme vectorielle comme a vitesse (vector) ($\vec{v}$), résultant du produit croisé entre a vitesse angulaire ($\vec{\omega}$) et a rayon (vecteur) ($\vec{r}$) :
| $ \vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r} $ |
Puisque a vitesse ($v$) est avec a vitesse angulaire instantanée ($\omega$) et le radio ($r$) égale à
nous pouvons calculer a vitesse (vector) ($\vec{v}$) en utilisant le produit croisé avec le vecteur de l'axe, représenté par $\hat{n}$, et le vecteur radial, représenté par $\hat{r}$ :
$\hat{t} = \hat{n} \times \hat{r}$
Ainsi, si nous définissons
$\vec{v}=v\hat{t}$
,
$\vec{r}=r\hat{r}$
et
$\vec{\omega}=\omega\hat{n}$
,
alors nous pouvons exprimer la vitesse comme
$\vec{v}=v\hat{t}=v\hat{n}\times\hat{r}=r\omega\hat{n}\times\hat{r}=\vec{\omega}\times\vec{r}$
ce qui signifie que
ID:(11597, 0)
Vitesse angulaire instantanée dans plus de dimensions
Équation
En général, a vitesse angulaire instantanée ($\omega$) doit être compris comme une entité tridimensionnelle, c'est-à-dire un vecteur a vitesse angulaire ($\vec{\omega}$). Chaque composante peut être définie comme la dérivée de le angle ($\theta$) par rapport à Le temps ($t$) :
| $ \omega =\displaystyle\frac{ d\theta }{ dt }$ |
Ainsi, on peut l'exprimer avec la dérivée par rapport à Le temps ($t$) de le angle (vecteur) ($\vec{\theta}$) comme a vitesse angulaire ($\vec{\omega}$) :
| $ \vec{\omega} = \displaystyle\frac{ d\vec{\theta} }{ dt }$ |
ID:(9878, 0)