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Péndulo Matemático
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En el caso de un péndulo compuesto de una masa puntual la energía potencial se da por el efecto de elevar la masa contra el campo gravitacional a medida que el péndulo se desvía por un angulo dado.
ID:(1420, 0)
Péndulo Matemático
Descripción
En el caso de un péndulo compuesto por una masa puntual, la energía potencial se genera al elevar la masa contra el campo gravitacional a medida que el péndulo se desvía por un ángulo determinado.
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Ecuaciones
(ID 3687)
La energ a potencial gravitacional de un p ndulo con masa
| $ U = m g L (1-\cos \theta )$ |
donde
Para peque os ngulos, la funci n coseno se puede aproximar mediante la serie de Taylor hasta el segundo t rmino
$\cos\theta\sim 1-\displaystyle\frac{1}{2}\theta^2$
lo que lleva a que la energ a potencial se reduce a
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
(ID 4514)
La energía cinética de la masa puntual ($K$), en relación con la masa inercial ($m_i$), el largo del péndulo ($L$) y la velocidad angular ($\omega$), se expresa mediante:
| $ K =\displaystyle\frac{1}{2} m_i L ^2 \omega ^2$ |
De manera análoga, la energía potencial del péndulo ($V$), en función de la aceleración gravitacional ($g$) y la masa gravitacional ($m_g$), se determina mediante:
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
Considerando el angulo de oscilación ($\theta$), la ecuación de la energía total se expresa como:
$E = \displaystyle\frac{1}{2}m r^2 \omega^2 + \displaystyle\frac{1}{2}m g r \theta^2$
Dado que la período ($T$) es igual a:
$T = 2\pi\displaystyle\sqrt{\displaystyle\frac{m r^2}{m g r}} = 2\pi\displaystyle\sqrt{\displaystyle\frac{r}{g}}$
Es posible establecer la relación para la frecuencia angular del péndulo matemático ($\omega_0$) mediante:
| $ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ g }{ L }$ |
(ID 4516)
(ID 12338)
(ID 12552)
Utilizando el n mero complejo
| $ z = x_0 \cos \omega_0 t + i x_0 \sin \omega_0 t $ |
introducido en
| $ \dot{z} = i \omega_0 z $ |
obtenemos
$\dot{z} = i\omega_0 z = i \omega_0 x_0 \cos \omega_0 t - \omega_0 x_0 \sin \omega_0 t$
por lo tanto, la velocidad se obtiene como la parte real
| $ v = - x_0 \omega_0 \sin \omega_0 t $ |
(ID 14076)
Ejemplos
Una manera eficaz de estudiar la oscilaci n de un p ndulo matem tico es mediante su representaci n en el espacio de fases, el cual describe el sistema en funci n de su momento y su posici n. En este contexto, el momento corresponde al momento angular, mientras que la posici n se expresa a trav s del ngulo de desviaci n:
(ID 15849)
Un péndulo se describe como una la masa gravitacional ($m_g$) suspendida de una cuerda unida al eje de giro, a una distancia el largo del péndulo ($L$). Se le denomina péndulo matemático porque representa una idealización del péndulo físico, en la que la masa se considera puntual, es decir, concentrada en un único punto.
(ID 7098)
Un péndulo consiste en la masa gravitacional ($m_g$), suspendido de una cuerda unida al eje de giro de el largo del péndulo ($L$). Este modelo se conoce como péndulo matemático, ya que representa una idealización del péndulo físico en la que toda la masa se concentra en un punto.
(ID 1180)
(ID 15852)
La energía total ($E$) corresponde a la suma de la energía cinética total ($K$) y la energía potencial ($V$):
| $ E = K + V $ |
(ID 3687)
Como la energ a cin tica de un cuerpo de rota es
| $ K_r =\displaystyle\frac{1}{2} I \omega ^2$ |
donde $I$ es el momento de inercia y $\omega$ la velocidad angular y el momento de inercia de una masa puntual $m$ que rota a una distancia $L$ de un eje es
| $ I = m L ^2$ |
se tiene que
| $ K =\displaystyle\frac{1}{2} m_i L ^2 \omega ^2$ |
(ID 4515)
La energ a potencial gravitacional de un p ndulo es
| $ U = m g L (1-\cos \theta )$ |
que para ngulos peque os puede aproximarse como:
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} m_g g L \theta ^2$ |
Es importante destacar que el ngulo debe estar expresado en radianes.
(ID 4514)
Las masas que Newton utiliz en sus principios est n relacionadas con la inercia de los cuerpos, lo que lleva al concepto de la masa inercial ($m_i$).
La ley de Newton que se vincula con la fuerza entre cuerpos debido a sus masas est relacionada con la gravedad, por lo que se conoce como la masa gravitacional ($m_g$).
De manera emp rica, se ha concluido que ambas masas son equivalentes, y por lo tanto, definimos
| $ m_g = m_i $ |
Einstein fue quien cuestion esta igualdad y, a partir de esa duda, comprendi por qu ambas 'aparecen' iguales en su teor a de la gravedad. En su argumento, Einstein explic que las masas deforman el espacio, y esta deformaci n del espacio provoca un cambio en el comportamiento de los cuerpos. De esta manera, las masas resultan ser equivalentes. El concepto revolucionario de la curvatura del espacio implica que incluso la luz, que carece de masa, se ve afectada por los cuerpos celestes, lo que contradice la teor a de la gravitaci n de Newton. Esto se demostr experimentalmente al estudiar el comportamiento de la luz durante un eclipse solar. En esta situaci n, los haces de luz se desv an debido a la presencia del sol, lo que permite observar estrellas que se encuentran detr s de l.
(ID 12552)
La frecuencia angular del péndulo matemático ($\omega_0$) se determina en función de la aceleración gravitacional ($g$) y el largo del péndulo ($L$) mediante:
| $ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ g }{ L }$ |
(ID 4516)
La frecuencia angular ($\omega$) es con la período ($T$) igual a
| $ \omega = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$ |
(ID 12335)
La frecuencia del sonido ($\nu$) representa la cantidad de oscilaciones que ocurren en un segundo. Mientras tanto, la período ($T$) es el tiempo que tarda una sola oscilaci n. Por lo tanto, el n mero de oscilaciones por segundo es:
| $ \nu =\displaystyle\frac{1}{ T }$ |
La frecuencia se expresa en Hertz (Hz).
(ID 4427)
La relación entre la frecuencia angular ($\omega$) y la frecuencia del sonido ($\nu$) se expresa como:
| $ \omega = 2 \pi \nu $ |
(ID 12338)
Con la descripci n de la oscilaci n usando
| $ z = x_0 \cos \omega_0 t + i x_0 \sin \omega_0 t $ |
la parte real corresponde a la evoluci n temporal de la amplitud
| $ x = x_0 \cos \omega_0 t $ |
(ID 14074)
Al obtener la parte real de la derivada del n mero complejo que representa la oscilaci n
| $ \dot{z} = i \omega_0 z $ |
cuya parte real se refiere a la velocidad
| $ v = - x_0 \omega_0 \sin \omega_0 t $ |
(ID 14076)
ID:(1420, 0)