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Osciladores
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Existen distintos tipos de osciladores siendo los mas discutidos el cerrado por un resorte y el péndulo. Ambos son relevantes para estudiar como caminamos.
Por un lado esta el comportamiento similar a un resorte que son capaces de mostrar los músculos. Por otro lado, al desplazarnos, existen sistemas como los brazos que realizan un trabajo compensatorio oscilando con la misma frecuencia de nuestros pasos.
En el caso del péndulo existen dos tipos, el matemático que considera la oscilación de una masa puntual y el físico que considera la forma del objeto como tal.
ID:(51, 0)
Conservación de energía en el caso de un resorte
Ecuación
En el caso de un resorte la energía total
| $ K_t =\displaystyle\frac{1}{2} m_i v ^2$ |
donde
| $ V =\displaystyle\frac{1}{2} k x ^2$ |
\\n\\ndonde
$E_k=\displaystyle\frac{1}{2}m_iv^2+\displaystyle\frac{1}{2}kx^2$
Si uno reescribe esta expresión como
 $\displaystyle\frac{ v ^2}{\displaystyle\frac{2 E }{ m_i }}+\displaystyle\frac{ x ^2}{\displaystyle\frac{2 E }{ k }}=1$ |
\\n\\nse puede dar cuenta que corresponde a una elipse en el espacio velocidad
$a=\sqrt{\displaystyle\frac{2E_k}{k}}=x_0$
, y\\n\\n
$b=\sqrt{\displaystyle\frac{2E_k}{m_i}}=v_0$
.
Los semiejes corresponde a la vez a la velocidad
ID:(7101, 0)
Representación de la elipse
Descripción
En el espacio de fase la oscilación se puede representar por una elipse
\\n \\nque en forma matemática se escribe como\\n\\n
$\displaystyle\frac{x^2}{a^2}+\displaystyle\frac{y^2}{b^2}=1$
\\n\\nde semiejes
$x=a\cos u$
\\n\\ny\\n\\n
$y=b\sin u$
ID:(7105, 0)
Representación de la amplitud
Ecuación
En el caso de la amplitud, que corresponde a nuestra coordenada
$a=\sqrt{\displaystyle\frac{2E_k}{k}}$
\\n\\ny el tiempo se escala como\\n\\n
$u=\displaystyle\frac{2\pi t}{T}$
por lo que la amplitud será con igual a
| $ x =\sqrt{\displaystyle\frac{2 E }{ k }}\cos \displaystyle\frac{2 \pi t }{ T }$ |
ID:(7102, 0)
Representación de la velocidad
Ecuación
En el caso de la velocidad, que corresponde a nuestra coordenada
$b=\sqrt{\displaystyle\frac{2E}{m}}$
\\n\\ny el tiempo se escala como\\n\\n
$u=\displaystyle\frac{2\pi t}{T}$
por lo que la velocidad será igual a
| $ v =-\sqrt{\displaystyle\frac{2 E }{ m_i }}\sin \displaystyle\frac{2 \pi t }{ T }$ |
ID:(7104, 0)
Periodo de la oscilación
Ecuación
Como la oscilación cumple las leyes físicas se puede hacer uso del hecho que el area debajo de la curva velocidad vs tiempo el camino recorrido para determinar el perido. Como la velocidad es\\n\\n
$\displaystyle\int_0^{T/2}v(t)dt=\sqrt{\displaystyle\frac{2E}{m}}\displaystyle\int_0^{T/2}\cos \displaystyle\frac{2\pi t}{T}dt=\sqrt{\displaystyle\frac{2E}{m}}\displaystyle\frac{T}{\pi}$
\\n\\ny el camino entre un mínimo a un máximo de una elongación, lo que ocurre entre el tiempo
$x_{max}-x_{min}=2\sqrt{\displaystyle\frac{2E}{k}}$
se tiene que
| $ T =2 \pi \sqrt{\displaystyle\frac{ m_i }{ k }}$ |
ID:(7106, 0)
Frecuencia
Ecuación
La frecuencia ($\nu$) representa la cantidad de oscilaciones que ocurren en un segundo. Mientras tanto, la período ($T$) es el tiempo que tarda una sola oscilación. Por lo tanto, el número de oscilaciones por segundo es:
| $ \nu =\displaystyle\frac{1}{ T }$ |
La frecuencia se expresa en Hertz (Hz).
ID:(4427, 0)
Relación frecuencia angular - frecuencia
Ecuación
Como la frecuencia angular es con igual a
| $ \omega = \displaystyle\frac{2 \pi }{ T }$ |
y la frecuencia con frecuencia $Hz$ y período $s$ igual a
| $ \nu =\displaystyle\frac{1}{ T }$ |
se tiene que con frecuencia $Hz$ y período $s$ igual a
| $ \omega = 2 \pi \nu $ |
ID:(12338, 0)