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Osciladores Forzados y su ecuación
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En el caso de un oscilador forzado se aplica una fuerza externa sobre la masa que oscila. Esto puede llevar a que la masa sea frenada o acelerada.
Si la fuerza actúa en forma sincrónica (al mismo ritmo que oscila la masa naturalmente) se originan resonancias que pueden incrementar la amplitud de la oscilación en forma dramática.
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Oscilador forzado
Imagen
Un oscilador forzado puede ser un sistema en el cual una masa unida a un resorte está sumergida en un líquido viscoso y el punto donde se fija el resorte oscila. Este último efecto puede lograrse fijando el punto a un disco que gira:
ID:(14098, 0)
Fuerza de forzamiento
Ecuación
Una forma sencilla de modelar la fuerza externa es suponer que tiene una magnitud $F_0$ y una oscilación con una frecuencia angular $\omega$ cualquiera.
 $ F = F_0 e^{ i \omega t }$ |
ID:(14099, 0)
Ecuación del oscilador forzado
Ecuación
En el caso de un oscilador amortiguado sin forzamiento, la ecuación de movimiento es
| $ m_i \displaystyle\frac{d^2 x }{d t ^2} + b \displaystyle\frac{d x }{d t } + k x = 0$ |
En el caso de forzamiento, la fuerza que definimos como
| $ F = F_0 e^{ i \omega t }$ |
actúa adicionalmente sobre el sistema, por lo que la ecuación de movimiento se modifica a
| $ m_i \displaystyle\frac{d^2 x }{d t ^2} + b \displaystyle\frac{d x }{d t } + k x = F_0 e^{ i \omega t }$ |
ID:(14100, 0)
Estructura de la solución del oscilador forzado
Ecuación
En el caso de un oscilador amortiguado sin forzamiento, la ecuación de movimiento es
| $ z = x_0 e^{i \omega t }$ |
y es importante notar que la frecuencia angular es la del propio sistema. En nuestro caso, la frecuencia angular será la del sistema que fuerza la oscilación. Además, es posible que la oscilación tenga un desfase con respecto a la fuerza osciladora. Por lo tanto, podemos proponer una solución de la forma
| $ z = A e^{ i ( \omega t + \phi )}$ |
ID:(14101, 0)
Ecuación del oscilador forzado en el espacio complejo
Ecuación
Si utilizamos la ecuación de la oscilación
| $ z = A e^{ i ( \omega t + \phi )}$ |
y la introducimos en
| $ m_i \displaystyle\frac{d^2 x }{d t ^2} + b \displaystyle\frac{d x }{d t } + k x = F_0 e^{ i \omega t }$ |
obtenemos la ecuación del oscilador forzado en el espacio complejo
| $(- m_i \omega ^2 + i b \omega + m_i \omega_0 ^2 ) A e^{i \phi } = F_0 $ |
Para simplificar la solución de la ecuación diferencial
| $ m_i \displaystyle\frac{d^2 x }{d t ^2} + b \displaystyle\frac{d x }{d t } + k x = F_0 e^{ i \omega t }$ |
se utiliza la solución
| $ z = A e^{ i ( \omega t + \phi )}$ |
y se procede a derivarla con respecto al tiempo para obtener la velocidad
$v = \displaystyle\frac{dz}{dt} = x_0 \displaystyle\frac{d}{dt}e^{i(\omega t + \phi)}=x_0 i \omega e^{i(\omega t + \phi)} = i\omega z$
y por ende la segunda derivada, que es igual a la primera derivada de la velocidad
$a = \displaystyle\frac{dv}{dt} = x_0 i \omega e^{i\omega t} \displaystyle\frac{d}{dt}e^{i(\omega t + \phi)} = - \omega^2 x_0 e^{i(\omega t + \phi)}= - \omega^2 z$
lo cual, junto con
| $ \omega_0 ^2=\displaystyle\frac{ k }{ m_i }$ |
resulta en la ecuación
| $(- m_i \omega ^2 + i b \omega + m_i \omega_0 ^2 ) A e^{i \phi } = F_0 $ |
ID:(14103, 0)
Cambio de fase
Imagen
El desfase es un desplazamiento temporal de una oscilación, lo que significa que comienza ya sea adelante o atrás en el tiempo, pero mantiene la misma forma:
ID:(14102, 0)
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Video
Video: Osciladores Forzados y su Ecuación