Storyboard

Wenn die Konzentration nicht gleichmäßig ist, beginnen Diffusionsprozesse, bei denen sich der Wasserdampf aus Bereichen größerer oder geringerer Konzentration bewegt.

>Modell

ID:(376, 0)

Iframe

>Top

ID:(15213, 0)

Konzept

>Top

Wenn sich ein Teilchen eines Gases bewegt, interagiert es mit anderen Teilchen. Die einfachste Form dieser Interaktion erfolgt durch elastische Stöße, was bedeutet, dass das Teilchen ohne Energieverlust kollidiert und seine Richtung ändert, um ein anderes Teilchen zu treffen.



Im Rahmen dieses Prozesses macht es Sinn, der Freier Weg ($\bar{l}$) zu definieren, dessen Wert von ($$) abhängen wird.

ID:(1708, 0)

Konzept

>Top

Wenn ein Teilchen mit einem gegebenen Radius sich im Raum bewegt, nimmt es effektiv den Raum eines Zylinders mit dem gleichen Radius ein. Damit ein Teilchen mit einem anderen kollidiert, muss sich dieses zweite Teilchen teilweise innerhalb dieses Zylinders befinden. Im extremsten Fall befindet sich das zweite Teilchen in einem Abstand von zwei Radien vom ersten Teilchen, so dass die Kante des Zylinders einen Punkt auf der Kugel berührt, der dem Zylinderachsen am nächsten liegt. Das Zentrum dieser Kugel ist einen Radius entfernt von der Oberfläche des Zylinders:

None

Daher beträgt der Abstand zwischen der Achse des Zylinders und dem Zentrum eines beliebigen Teilchens zwei Radien, oder anders ausgedrückt, ein Durchmesser. Im Wesentlichen kann man sich vorstellen, dass das tatsächlich vom sich durch den Raum bewegenden Teilchen eingenommene Volumen einem Zylinder mit einer Länge entspricht, die dem freien Weg entspricht, und einem Radius, der dem Durchmesser des Teilchens entspricht.

ID:(1962, 0)

Konzept

>Top

Wenn benachbarte Teilchen sich bewegen, besteht eine höhere Wahrscheinlichkeit für Kollisionen, da sie in derselben Zeitspanne eine größere Strecke zurücklegen. Die Geschwindigkeitskomponenten $v_x$, $v_y$ und $v_z$ schwanken um Mittelwerte von $\sqrt{\langle v_x^2\rangle}$, $\sqrt{\langle v_y^2\rangle}$ und $\sqrt{\langle v_z^2\rangle}$. Unter der Annahme, dass das System isotrop ist, wird der Durchschnitt jeder Komponente gleich $\displaystyle\frac{1}{3}\sqrt{\langle v^2\rangle}$ sein. Daher wird entlang der Achse, entlang der die Partikel sich bewegen, eine Strecke zurückgelegt

$\sqrt{\langle v_z^2\rangle}dt=\displaystyle\frac{1}{3}\sqrt{\langle v^2\rangle}dt$

Zur gleichen Zeit haben Teilchen, die sich senkrecht bewegen, eine Strecke zurückgelegt:

$\sqrt{\langle v_x^2\rangle+\langle v_y^2\rangle}dt=\displaystyle\frac{\sqrt{2}}{3}\sqrt{\langle v^2\rangle}dt$

Daher erhöht sich die Wahrscheinlichkeit einer Kollision um den Faktor $\sqrt{2}$ im Vergleich zum Fall, in dem sich die Partikel nicht bewegen:

None

ID:(1963, 0)

Konzept

>Top

Wenn es einen räumlichen Unterschied in die Partikelkonzentration ($c_n$) gibt, tritt ein Phänomen auf, das als Konzentrationsvariation ($dc_n$) bekannt ist. Die Wahrscheinlichkeit, dass Teilchen von einer Position vor einer Entfernung von der Freier Weg ($\bar{l}$) zu eine Positionieren Sie entlang einer Achse ($z$) gelangen, unterscheidet sich von der Wahrscheinlichkeit von einer Position nach derselben Entfernung. Dies führt zu Veränderungen in die Partikelkonzentration ($c_n$), einem Prozess, der als Diffusion bekannt ist. Die Geschwindigkeit, mit der dieser Prozess stattfindet, ist die von die Durchschnittsgeschwindigkeit eines Teilchens ($\bar{v}$), und daran beteiligen sich jeweils $1/6$ der Partikel in jede Richtung, da es insgesamt 6 Richtungen in einem dreidimensionalen Raum gibt.

None

Auf diese Weise wird die Teilchenflussdichte ($j$) generiert, das in Bezug auf die Fläche folgendermaßen entspricht:

$j=\displaystyle\frac{1}{6}\bar{v}c(z-\bar{l}) - \displaystyle\frac{1}{6}\bar{v}c(z+\bar{l})=\displaystyle\frac{1}{6}\bar{v}[c(z-\bar{l})-c(z+\bar{l})]=-\displaystyle\frac{1}{6}\bar{v}2\bar{l}\displaystyle\frac{dc}{dz}$

Die Konstanten, die beim Berechnen von die Teilchenflussdichte ($j$) faktorisiert werden, werden in einer Konstanten zusammengefasst, die als die Diffusionskonstante ($D$) bezeichnet wird und gleich einem Drittel des Produkts von der Freier Weg ($\bar{l}$) und die Durchschnittsgeschwindigkeit eines Teilchens ($\bar{v}$) ist.

ID:(15143, 0)

Konzept

>Top

Die Berechnung von die Teilchenflussdichte ($j$) basierend auf die Konzentrationsvariation ($dc_n$), Positionsvariation ($dz$) und die Diffusionskonstante ($D$):

ermöglicht es uns, zu bestimmen, wie Wasser aus dem Grundwasserspiegel verdunstet. Dazu sind folgende Schritte erforderlich:

• Die Umgebungstemperatur, relative Luftfeuchtigkeit, Bodenporosität und die Tiefe des Grundwasserspiegels ermitteln.

• Die Wassertemperatur an der Oberfläche des Grundwasserspiegels berechnen.

• Die gesättigte Wasserdampfkonzentration über dem Grundwasserspiegel berechnen.

• Die Wasserdampfkonzentration über dem Boden berechnen.

• Den Wasserdampffluss für die stationäre Fließgrenze berechnen.

ID:(15145, 0)

Top

>Top

Parameter

$N_A$

N_A

Avogadros Nummer

-

$k_B$

k_B

Boltzmann-Konstante

J/K

$\rho$

rho

Dichte

kg/m^3

$D$

D

Diffusionskonstante

m/s^2

$dx$

dx

Distancia de Posiciones

m

$\bar{v}$

v

Durchschnittsgeschwindigkeit eines Teilchens

m/s

$E$

E

Energie eines Moleküls

J

$\bar{l}$

l

Freier Weg

m

$l_r$

l_r

Freier Weg in Funktion des Funk und Partikelkonzentration

m

$f$

f

Freiheitsgrade

-

$dc_n$

dc_n

Konzentrationsvariation

mol/m^3

$M$

M

Masse

kg

$M_m$

M_m

Molmasse

kg/mol

$n$

n

Número de Moles

mol

$d$

d

Partikeldurchmesser

m

$m$

m

Partikelmasse

kg

$\pi$

pi

Pi

rad

$a$

a

Radio der Molecule

m

Variablen

$T$

T

Absolute Temperatur

K

$N$

N

Anzahl der Partikel

-

$K$

K

Kinetische Energie

J

$c$

c

Molare Konzentration

mol/m^3

$c_m$

c_m

Molare Konzentration

mol/m^3

$c_n$

c_n

Partikelkonzentration

1/m^3

$j$

j

Teilchenflussdichte

1/m^2s

$V$

V

Volumen

m^3

Berechnungen

• Alternative Methode
• Traditionelle Methode
• Strategie
• 2D
• 3D

Gleichung

Zahl

Zuerst die Gleichung auswählen: zu , dann die Variable auswählen: zu

---

Berechnungen

Symbol

Gleichung

Gelöst

Übersetzt

Berechnungen

Symbol

Gleichung

Gelöst

Übersetzt

Variable Gegeben Berechnen Ziel : Gleichung Zu verwenden

Gleichungen

ID:(15232, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Die Molare Konzentration ($c_m$) entspricht Anzahl der Mol ($n$) geteilt durch der Volumen ($V$) eines Gases und wird wie folgt berechnet:

$c_m \equiv\displaystyle\frac{ n }{ V }$

Bedingungen

Variablen

$c_m$

Molare Konzentration

$mol/m^3$

6609

$n$

Número de Moles

$mol$

6679

$V$

Volumen

$m^3$

5226

Beziehung

ID:(4878, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Der Anzahl der Mol ($n$) entspricht der Anzahl der Partikel ($N$) geteilt durch der Avogadros Nummer ($N_A$):

$n \equiv\displaystyle\frac{ N }{ N_A }$

Bedingungen

Variablen

$N$

Anzahl der Partikel

$-$

6080

$N_A$

Avogadros Nummer

6.02e+23

$-$

9860

$n$

Número de Moles

$mol$

6679

Beziehung

ID:(3748, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Um die Molare Konzentration ($c_m$) in die Partikelkonzentration ($c_n$) umzuwandeln, multiplizieren Sie einfach die erste Zahl mit der Avogadros Nummer ($N_A$), wie folgt:

$c_n = N_A c_m$

Bedingungen

Variablen

$N_A$

Avogadros Nummer

6.02e+23

$-$

9860

$c_m$

Molare Konzentration

$mol/m^3$

6609

$c_n$

Partikelkonzentration

$1/m^3$

5548

Beziehung

ID:(10624, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Der Anzahl der Mol ($n$) wird ermittelt, indem man die Masse ($M$) einer Substanz durch ihr die Molmasse ($M_m$) teilt, was dem Gewicht eines Mols der Substanz entspricht.

Daher kann die folgende Beziehung hergestellt werden:

$n = \displaystyle\frac{ M }{ M_m }$

Bedingungen

Variablen

$M$

Masse

$kg$

5183

$M_m$

Molmasse

$kg/mol$

6212

$n$

Número de Moles

$mol$

6679

Beziehung

Entwicklung

Der Anzahl der Mol ($n$) entspricht der Anzahl der Partikel ($N$) geteilt durch der Avogadros Nummer ($N_A$):

$n \equiv\displaystyle\frac{ N }{ N_A }$

Wenn wir sowohl den Zähler als auch den Nenner mit die Partikelmasse ($m$) multiplizieren, erhalten wir:

$n=\displaystyle\frac{N}{N_A}=\displaystyle\frac{Nm}{N_Am}=\displaystyle\frac{M}{M_m}$

Also ist es:

$n = \displaystyle\frac{ M }{ M_m }$

Die molare Masse wird in Gramm pro Mol (g/mol) ausgedrückt.

ID:(4854, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn wir die Dichte ($\rho$) durch die Partikelmasse ($m$) teilen, erhalten wir die Partikelkonzentration ($c_n$):

$c_n =\displaystyle\frac{ \rho }{ m }$

Bedingungen

Variablen

$\rho$

Dichte

$kg/m^3$

5342

$c_n$

Partikelkonzentration

$1/m^3$

5548

$m$

Partikelmasse

$kg$

5516

Beziehung

Entwicklung

Mit die Partikelkonzentration ($c_n$) als der Anzahl der Partikel ($N$) und der Volumen ($V$) erhalten wir:

$c_n \equiv \displaystyle\frac{ N }{ V }$

Mit die Partikelmasse ($m$) und die Masse ($M$),

$m \equiv \displaystyle\frac{ M }{ N }$

Da die Dichte ($\rho$) ist

$\rho \equiv\displaystyle\frac{ M }{ V }$

erhalten wir

$c_n=\displaystyle\frac{N}{V}=\displaystyle\frac{M}{mV}=\displaystyle\frac{\rho}{m}$

Deshalb,

$c_n =\displaystyle\frac{ \rho }{ m }$

ID:(10623, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Der mittlere freie Weg kann in Abhängigkeit vom Durchmesser eines imaginären Zylinders geschätzt werden, der eine Partikel umgibt und im Durchschnitt eine Kollision mit einer anderen Partikel hat.

Der Radius des Zylinders entspricht dem maximalen Abstand, den zwei Partikel haben müssen, um zu kollidieren, was dem doppelten Radius der Partikel entspricht, d.h. Der Partikeldurchmesser ($d$). Da innerhalb dieses Zylinders nur eine Kollision stattfindet, muss die Anzahl der darin enthaltenen Partikel gleich eins sein. Das bedeutet:

$l d^2\pi c_n= 1$

mit die Partikelkonzentration ($c_n$), und wenn wir nach der Freier Weg ($\bar{l}$) auflösen, erhalten wir:

$l =\displaystyle\frac{1}{ d ^2 \pi c_n }$

Bedingungen

Variablen

$l$

Freier Weg in Funktion des Funk und Partikelkonzentration

$m$

6078

$c$

Molare Konzentration

$mol/m^3$

5083

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

5057

$a$

Radio der Molecule

$m$

6077

Beziehung

Dies stellt den mittleren freien Weg dar.

ID:(4392, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Für den Fall ohne Bewegung beträgt die Wahrscheinlichkeit der Freier Weg ($\bar{l}$), während sie sich bei Bewegung auf der Partikeldurchmesser ($d$) und die Partikelkonzentration ($c_n$) ändert.

Im Fall der Bewegung steigt die Wahrscheinlichkeit um den Faktor $\sqrt{2}$, was bedeutet, dass der freie Weg beträgt

$l=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}\pi d^2c_n}$

Bedingungen

Variablen

$l$

Freier Weg

$m$

5553

$d$

Partikeldurchmesser

$m$

5554

$c_n$

Partikelkonzentration

$1/m^3$

5548

$\pi$

Pi

3.1415927

$rad$

5057

Beziehung

ID:(3943, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Die Kinetische Energie ($K$) in Kombination mit die Partikelmasse ($m$) und die Durchschnittsgeschwindigkeit eines Teilchens ($\bar{v}$) ergibt

$K =\displaystyle\frac{ m }{2} \bar{v} ^2$

Bedingungen

Variablen

$v$

Durchschnittsgeschwindigkeit eines Teilchens

$m/s$

6074

$K$

Kinetische Energie

$J$

6075

$m$

Partikelmasse

$kg$

5516

Beziehung

Hinweis: In strengerem Sinne hängt die kinetische Energie vom Durchschnitt der Geschwindigkeit zum Quadrat $\bar{v^2}$ ab. Es wird jedoch angenommen, dass dies ungefähr gleich dem Quadrat des Durchschnitts der Geschwindigkeit ist:

$\bar{v^2}\sim\bar{v}^2$

ID:(4390, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Die Partikelmasse ($m$) kann aus die Molmasse ($M_m$) und der Avogadros Nummer ($N_A$) geschätzt werden mithilfe von

$m =\displaystyle\frac{ M_m }{ N_A }$

Bedingungen

Variablen

$N_A$

Avogadros Nummer

6.02e+23

$-$

9860

$M_m$

Molmasse

$kg/mol$

6212

$m$

Partikelmasse

$kg$

5516

Beziehung

ID:(4389, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Das Stefan-Boltzmann-Gesetz, das ursprünglich von Josef Stefan [1] formuliert und später von Ludwig Boltzmann [2] weiterentwickelt wurde, besagt, dass die Energie eines Moleküls ($E$) proportional zu das Freiheitsgrade ($f$) multipliziert mit die Absolute Temperatur ($T$) ist, wobei eine Proportionalitätskonstante von die Boltzmann-Konstante ($k_B$) vorliegt:

$E =\displaystyle\frac{ f }{2} k_B T$

Bedingungen

Variablen

$T$

Absolute Temperatur

$K$

5177

$k_B$

Boltzmann-Konstante

$J/K$

5395

$E$

Energie eines Moleküls

$J$

6073

$f$

Freiheitsgrade

$-$

4959

Beziehung

Es ist wichtig zu beachten, dass die Absolute Temperatur ($T$) unbedingt in Kelvin ausgedrückt werden muss.

Die Anzahl der Freiheitsgrade eines Teilchens entspricht der Anzahl der Variablen, die erforderlich sind, um seinen thermodynamischen Zustand zu beschreiben. Zum Beispiel benötigt ein Punktteilchen nur drei Koordinaten, was zu drei Freiheitsgraden führt. Wenn das Teilchen jedoch eine Form und Steifigkeit aufweist, sind zwei zusätzliche Winkel erforderlich, was zu insgesamt fünf Freiheitsgraden führt. Wenn das Teilchen sich zusätzlich deformieren oder in einer oder mehreren Richtungen schwingen kann, werden diese zusätzlichen Modi ebenfalls als zusätzliche Freiheitsgrade betrachtet. Es ist jedoch wichtig zu beachten, dass diese zusätzlichen Freiheitsgrade nur bei hohen Temperaturen existieren, wenn das Teilchen genügend Energie hat, um solche Schwingungen zu aktivieren.

[1] "Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur" (Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur), Josef Stefan, Sitzungsberichte der mathematisch-naturwissenschaftlichen Classe der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Wien (1879).

[2] "Weitere Studien über das Wärmegleichgewicht unter Gasmolekülen" (Weitere Studien über das Wärmegleichgewicht unter Gasmolekülen), Ludwig Boltzmann, Sitzungsberichte der mathematisch-naturwissenschaftlichen Classe der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften, Wien (1884).

ID:(4387, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Como la energía cinética de la molécula es

y la energía en función de la temperatura es

con k_B la constante de Boltzmann, f el número de grados de libertad y T la temperatura absoluta se tiene que

$\bar{v} =\sqrt{\displaystyle\frac{ f k_B T }{ m }}$

Bedingungen

Variablen

$T$

Absolute Temperatur

$K$

5177

$k_B$

Boltzmann-Konstante

$J/K$

5395

$v$

Durchschnittsgeschwindigkeit eines Teilchens

$m/s$

6074

$f$

Freiheitsgrade

$-$

4959

$m$

Partikelmasse

$kg$

5516

Beziehung

ID:(4391, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Die Diffusionskonstante $D$ kann aus der durchschnittlichen Geschwindigkeit $\bar{v}$ und dem mittleren freien Weg $\bar{l}$ der Teilchen berechnet werden.

$D =\displaystyle\frac{1}{3} \bar{v} \bar{l}$

Bedingungen

Variablen

$D$

Diffusionskonstante

$m^2/s$

4960

$v$

Durchschnittsgeschwindigkeit eines Teilchens

$m/s$

6074

$l$

Freier Weg in Funktion des Funk und Partikelkonzentration

$m$

6078

Beziehung

Es ist wichtig zu erkennen, dass sowohl der mittlere freie Weg als auch die Durchschnittsgeschwindigkeit von der Temperatur abhängen, und folglich auch die Diffusionskonstante. Daher wird bei der Veröffentlichung von Werten für die sogenannte Konstante immer die Temperatur angegeben, auf die sie sich bezieht.

ID:(3186, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Im Jahr 1855 formulierte Adolf Fick [1] eine Gleichung zur Berechnung von die Diffusionskonstante ($D$), was zu die Teilchenflussdichte ($j$) aufgrund von die Konzentrationsvariation ($dc_n$) entlang Positionsvariation ($dz$) führt:

$j =- D \displaystyle\frac{ dc_n }{ dz }$

Bedingungen

Variablen

$D$

Diffusionskonstante

$m^2/s$

4960

$dx$

Distancia de Posiciones

$m$

6598

$dc$

Konzentrationsvariation

$mol/m^3$

6597

$j$

Teilchenflussdichte

$1/m^2s$

6599

Beziehung

[1] "Über Diffusion", Adolf Fick, Annalen der Physik und Chemie, Band 170, Seiten 59-86 (1855)

ID:(4820, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

In einer Dimension wird die Teilchenflussdichte ($j$) unter Verwendung der Werte die Diffusionskonstante ($D$), die Partikelkonzentration ($c_n$) und die Positionieren Sie entlang einer Achse ($z$) gemäß dem Fickschen Gesetz [1] berechnet:

Diese Formel kann für mehr als eine Dimension verallgemeinert werden wie folgt:

$\vec{j} =- D \nabla c_n$

Bedingungen

Variablen

Beziehung

[1] "Über Diffusion", Adolf Fick, Annalen der Physik und Chemie, Band 170, Seiten 59-86 (1855)

ID:(4821, 0)

Gleichung

>Top, >Modell

Wenn die Diffusionskonstante ($D$) gleich die Teilchenflussdichte ($j$) ist aufgrund von die Konzentrationsvariation ($dc_n$) entlang Positionsvariation ($dz$), wird dies durch das Gesetz von Fick [1] geregelt:

Daher erhalten wir zur Beschreibung der Konzentrationsänderung bei der Zeit ($t$), die der räumlichen Änderung der Flussdichte entspricht, die Gleichung

$\displaystyle\frac{\partial c_n}{\partial t } = \displaystyle\frac{ \partial }{ \partial z }\left( D \displaystyle\frac{ \partial c_n }{ \partial z }\right)$

Bedingungen

Variablen

Beziehung

[1] "Über Diffusion" (Über Diffusion), Adolf Fick, Annalen der Physik und Chemie, Band 170, Seiten 59-86 (1855).

ID:(15144, 0)