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Fall ohne Interaktion
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Um die Analyse zu erleichtern, kann man zunächst eine Art innerhalb des Ökosystems so betrachten, als ob es keine anderen gäbe, und das Modell lösen, um das Verhalten zu verstehen.
Unter diesem Konzept erkennen wir, dass jede Art auf die Existenz von Ressourcen beschränkt ist, die sie zum Überleben benötigt. In diesem Sinne ist jede Art in ihrer Entwicklung begrenzt, auch wenn argumentiert wird, dass sie keine natürlichen Feinde hat.
ID:(1897, 0)
Asymptotische Lösung
Gleichung
Die gleichung
| $ \displaystyle\frac{d n }{d t } = r n + \alpha n ^2$ |
tendiert zu einer asymptotischen Lösung gleich
| $ n_{\infty} = - \displaystyle\frac{ r }{ \alpha }$ |
\n\nwas nur Sinn macht, wenn dieser Wert positiv ist. Andererseits reduziert sich die Gleichung für kleine Populationen auf\n\n
$\displaystyle\frac{dn}{dt}\sim r n$
was nur sinnvoll ist, wenn der Faktor
Daher ist das Modell nur dann sinnvoll, wenn
Der Faktor $r_i$ ist immer positiv
und
Der Diagonalfaktor (Selbstinteraktion) $\alpha_{ii}$ ist negativ
Letzteres ist in dem Zusammenhang zu verstehen, dass eine übermäßige Vermehrung durch artfremde Ressourcen (z.B. Raum, Licht, Chemikalien etc.) gebremst wird.
ID:(14281, 0)
Modellvereinfachung
Gleichung
Wenn nur eine Art angenommen wird, ist die Gleichung
| $\displaystyle\frac{d n_i }{dt}= r_i n_i + \displaystyle\sum_j \alpha_{ji} n_i n_j$ |
reduziert sich auf die Gleichung
| $ \displaystyle\frac{d n }{d t } = r n + \alpha n ^2$ |
da die restlichen Populationen, einschließlich der gemischten Terme in $\alpha_{ji}$, null sind.
ID:(14279, 0)
Vereinfachte Modelllösung
Gleichung
Die gleichung
| $ \displaystyle\frac{d n }{d t } = r n + \alpha n ^2$ |
unter der Vorraussetzung
| $ n_{\infty} = - \displaystyle\frac{ r }{ \alpha }$ |
kann gelöst werden, indem Sie uns die Lösung geben
| $ n(t) = \displaystyle\frac{n_{\infty}}{1 + (n_{\infty}/n_0 - 1)e^{-rt}}$ |
wobei
ID:(14280, 0)