Loading web-font TeX/Math/Italic
Benützer: Keine Benutzer angemeldet.


Fall ohne Interaktion

Storyboard

Um die Analyse zu erleichtern, kann man zunächst eine Art innerhalb des Ökosystems so betrachten, als ob es keine anderen gäbe, und das Modell lösen, um das Verhalten zu verstehen.

Unter diesem Konzept erkennen wir, dass jede Art auf die Existenz von Ressourcen beschränkt ist, die sie zum Überleben benötigt. In diesem Sinne ist jede Art in ihrer Entwicklung begrenzt, auch wenn argumentiert wird, dass sie keine natürlichen Feinde hat.

>Modell

ID:(1897, 0)



Asymptotische Lösung

Gleichung

>Top, >Modell


Die gleichung

\displaystyle\frac{d n }{d t } = r n + \alpha n ^2



tendiert zu einer asymptotischen Lösung gleich

n_{\infty} = - \displaystyle\frac{ r }{ \alpha }

\n\nwas nur Sinn macht, wenn dieser Wert positiv ist. Andererseits reduziert sich die Gleichung für kleine Populationen auf\n\n

\displaystyle\frac{dn}{dt}\sim r n



was nur sinnvoll ist, wenn der Faktor r positiv ist.

Daher ist das Modell nur dann sinnvoll, wenn

Der Faktor r_i ist immer positiv



und

Der Diagonalfaktor (Selbstinteraktion) \alpha_{ii} ist negativ

Letzteres ist in dem Zusammenhang zu verstehen, dass eine übermäßige Vermehrung durch artfremde Ressourcen (z.B. Raum, Licht, Chemikalien etc.) gebremst wird.

ID:(14281, 0)



Modellvereinfachung

Gleichung

>Top, >Modell


Wenn nur eine Art angenommen wird, ist die Gleichung

\displaystyle\frac{d n_i }{dt}= r_i n_i + \displaystyle\sum_j \alpha_{ji} n_i n_j



reduziert sich auf die Gleichung

\displaystyle\frac{d n }{d t } = r n + \alpha n ^2

da die restlichen Populationen, einschließlich der gemischten Terme in \alpha_{ji}, null sind.

ID:(14279, 0)



Vereinfachte Modelllösung

Gleichung

>Top, >Modell


Die gleichung

\displaystyle\frac{d n }{d t } = r n + \alpha n ^2



unter der Vorraussetzung

n_{\infty} = - \displaystyle\frac{ r }{ \alpha }



kann gelöst werden, indem Sie uns die Lösung geben

n(t) = \displaystyle\frac{n_{\infty}}{1 + (n_{\infty}/n_0 - 1)e^{-rt}}

wobei n_0 die Anfangspopulation ist.

ID:(14280, 0)