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Caso sem interação
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Para facilitar a análise, pode-se primeiro considerar uma espécie dentro do ecossistema como se não houvesse outras e resolver o modelo para entender o comportamento.
Sob este conceito percebemos que toda espécie está restrita à existência de recursos de que necessita para sobreviver. Nesse sentido, toda espécie é limitada em seu desenvolvimento, mesmo no caso em que se argumenta que não possui inimigos naturais.
ID:(1897, 0)
Simplificação do modelo
Equação
Se apenas uma espécie é assumida, a equação
| $\displaystyle\frac{d n_i }{dt}= r_i n_i + \displaystyle\sum_j \alpha_{ji} n_i n_j$ |
reduz à equação
| $ \displaystyle\frac{d n }{d t } = r n + \alpha n ^2$ |
já que as populações restantes, incluindo os termos mistos em
ID:(14279, 0)
Solução assintótica
Equação
A equação
| $ \displaystyle\frac{d n }{d t } = r n + \alpha n ^2$ |
tende a uma solução assintótica igual a
| $ n_{\infty} = - \displaystyle\frac{ r }{ \alpha }$ |
\n\no que só faz sentido se esse valor for positivo. Por outro lado, a equação para pequenas populações se reduz a\n\n
$\displaystyle\frac{dn}{dt}\sim r n$
o que só faz sentido se o fator
Portanto, o modelo só faz sentido se
o fator $r_i$ é sempre positivo
am
o fator diagonal (autointeração) $\alpha_{ii}$ é negativo
Este último pode ser entendido no contexto de que um aumento excessivo será retardado por recursos não associados a uma espécie (por exemplo, espaço, luz, produtos químicos, etc.)
ID:(14281, 0)
Solução de modelo simplificada
Equação
A equação
| $ \displaystyle\frac{d n }{d t } = r n + \alpha n ^2$ |
com a condição
| $ n_{\infty} = - \displaystyle\frac{ r }{ \alpha }$ |
pode ser resolvido dando-nos a solução
| $ n(t) = \displaystyle\frac{n_{\infty}}{1 + (n_{\infty}/n_0 - 1)e^{-rt}}$ |
onde
ID:(14280, 0)