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Caso sem interação

Storyboard

Para facilitar a análise, pode-se primeiro considerar uma espécie dentro do ecossistema como se não houvesse outras e resolver o modelo para entender o comportamento.

Sob este conceito percebemos que toda espécie está restrita à existência de recursos de que necessita para sobreviver. Nesse sentido, toda espécie é limitada em seu desenvolvimento, mesmo no caso em que se argumenta que não possui inimigos naturais.

>Modelo

ID:(1897, 0)

Simplificação do modelo

Equação

>Top, >Modelo

Se apenas uma espécie é assumida, a equação

$\displaystyle\frac{d n_i }{dt}= r_i n_i + \displaystyle\sum_j \alpha_{ji} n_i n_j$

reduz à equação

$\displaystyle\frac{d n }{d t } = r n + \alpha n ^2$

já que as populações restantes, incluindo os termos mistos em \alpha_{ji}, são nulas.

ID:(14279, 0)

Solução assintótica

Equação

>Top, >Modelo

A equação

$\displaystyle\frac{d n }{d t } = r n + \alpha n ^2$

tende a uma solução assintótica igual a

$n_{\infty} = - \displaystyle\frac{ r }{ \alpha }$

\n\no que só faz sentido se esse valor for positivo. Por outro lado, a equação para pequenas populações se reduz a\n\n

$\displaystyle\frac{dn}{dt}\sim r n$

o que só faz sentido se o fator r for positivo.

Portanto, o modelo só faz sentido se

o fator $r_i$ é sempre positivo

o fator diagonal (autointeração) $\alpha_{ii}$ é negativo

Este último pode ser entendido no contexto de que um aumento excessivo será retardado por recursos não associados a uma espécie (por exemplo, espaço, luz, produtos químicos, etc.)

ID:(14281, 0)

Solução de modelo simplificada

Equação

>Top, >Modelo

A equação

$\displaystyle\frac{d n }{d t } = r n + \alpha n ^2$

com a condição

$n_{\infty} = - \displaystyle\frac{ r }{ \alpha }$

pode ser resolvido dando-nos a solução

$n(t) = \displaystyle\frac{n_{\infty}}{1 + (n_{\infty}/n_0 - 1)e^{-rt}}$

onde n_0 é a população inicial.

ID:(14280, 0)