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Processo de mistura em águas profundas

Storyboard

Em maiores profundidades, os mecanismos de dissipação de energia dos vórtices estão relacionados com a viscosidade e a flutuabilidade. Qual deles domina depende da situação e pode ser determinado utilizando números característicos associados a ambos os fenômenos.

[1] Marine Physics, Jerzy Dera, Elsevier, 1992 (6.2 The Turbulent Exchange of Mass, Heat and Momentum in the Sea)

>Modelo

ID:(1628, 0)



Mecanismos

Iframe

>Top



Código
Conceito
Amortecimento flutuação
Amortecimento viscosidade
Energia cinética dissipada
Perda devido à flutuação
Perda devido à viscosidade
Variação da energia cinética

Mecanismos

Amortecimento flutuaçãoAmortecimento viscosidadeEnergia cinética dissipadaPerda devido à flutuaçãoPerda devido à viscosidadeRichardson e ReynoldsVariação da energia cinética

ID:(15616, 0)



Energia cinética dissipada pelo vórtice

Top

>Top


Em geral, a dissipação de energia ocorre em função do tempo considerado, então deve-se comparar la energia cinética (\epsilon_v) com uma tempo característico (\tau) de modo que

\displaystyle\frac{d\epsilon}{dt}\sim\displaystyle\frac{\epsilon_v}{\tau}



Existem dois tipos de processos que reduzem a energia dos vórtices até que se tornem flutuações térmicas. Por um lado, há a difusão de momento ou viscosidade, enquanto por outro lado há a flotação.

A perda de la energia cinética (\epsilon_v) varia em função de la energia dissipada pela viscosidade (\epsilon_{\eta}) e la energia dissipada por flutuação (\epsilon_{\rho}) em la tempo característico (\tau) como:

\displaystyle\frac{ \epsilon_v }{ \tau } = \displaystyle\frac{ \epsilon_{\eta} }{ \tau } + \displaystyle\frac{ \epsilon_{ \rho } }{ \tau }

ID:(15621, 0)



Variação da energia cinética

Top

>Top


Como la energia cinética (\epsilon_v), onde para simplificação, negligenciamos o fator de 1/2 e ela depende de la densidade média (\rho) e la velocidade do vórtice (v_l),

\epsilon =\displaystyle\frac{1}{2}\rho v_l^2\sim \rho v_l^2



a perda de energia será essa energia por la tempo característico (\tau), que com la comprimento de mistura (l) é

\tau = \displaystyle\frac{ l }{ v_l }



e assim, a variação é

\displaystyle\frac{ \epsilon_v }{ \tau } = \displaystyle\frac{ \rho v_l ^3 }{ l }

ID:(15608, 0)



Perda de energia devido à viscosidade

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>Top


Como la energia dissipada pela viscosidade (\epsilon_{\eta}) está relacionado con la viscosidade da água do oceano (\eta), la velocidade do vórtice (v_l) y la comprimento de mistura (l),

\epsilon_{\eta} =\eta\displaystyle\frac{v_l}{l}



a perda de energia será essa energia por la tempo característico (\tau), que com la comprimento de mistura (l) é

\tau = \displaystyle\frac{ l }{ v_l }



e assim, a variação é

\displaystyle\frac{ \epsilon_{\eta} }{ \tau } = \eta \displaystyle\frac{ v_l ^2 }{ l ^2 }

ID:(15609, 0)



Perda de energia devido à flutuação

Top

>Top


Como la energia dissipada por flutuação (\epsilon_{\rho}) está relacionado com ($$), ($$) e la comprimento de mistura (l):

\epsilon_{\rho} =\Delta\rho g l



a perda de energia será essa energia por la tempo característico (\tau), que é

\tau = \displaystyle\frac{ l }{ v_l }



e assim, a variação é

\displaystyle\frac{ \epsilon_{\rho} }{ \tau } = \Delta\rho g v_l

ID:(15610, 0)



Amortecimento de viscosidade

Top

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No caso em que os processos difusivos são mais relevantes do que os de flutuação, observa-se que com la energia cinética (\epsilon_v), la energia dissipada por flutuação (\epsilon_{\rho}) e la energia dissipada pela viscosidade (\epsilon_{\eta}),

\epsilon_v > \epsilon_{\eta} \gg \epsilon_{\rho}



Dado que com la tempo característico (\tau), la energia cinética (\epsilon_v) é

\displaystyle\frac{ \epsilon_v }{ \tau } = \displaystyle\frac{ \rho v_l ^3 }{ l }



e la energia dissipada pela viscosidade (\epsilon_{\eta}) é

\displaystyle\frac{ \epsilon_{\eta} }{ \tau } = \eta \displaystyle\frac{ v_l ^2 }{ l ^2 }



a existência do vórtice implica que sua energia cinética é maior do que a perda, então com

\rho\displaystyle\frac{v_l^3}{l}>\eta\displaystyle\frac{v_l^2}{l^2}



resulta na exigência de que se deve ser o caso de

Re = \displaystyle\frac{ \rho l v_l }{ \eta } > 1

ID:(15612, 0)



Amortecimento de flutuação

Top

>Top


No caso em que com la energia cinética (\epsilon_v), la energia dissipada pela viscosidade (\epsilon_{\eta}) e la energia dissipada por flutuação (\epsilon_{\rho}) são tais que

\epsilon_v > \epsilon_{\rho} \gg \epsilon_{\eta}



Dado que la energia cinética (\epsilon_v) é com la densidade (\rho), la comprimento de mistura (l) e la velocidade do vórtice (v_l) em la tempo característico (\tau),

\displaystyle\frac{ \epsilon_v }{ \tau } = \displaystyle\frac{ \rho v_l ^3 }{ l }



e la energia dissipada por flutuação (\epsilon_{\rho}) é com ($$), la aceleração gravitacional (g) e la velocidade do vórtice (v_l) em la tempo característico (\tau),

\displaystyle\frac{ \epsilon_{\rho} }{ \tau } = \Delta\rho g v_l



a existência do vórtice implica que sua energia cinética é maior do que a perda, então com

\rho\displaystyle\frac{v_l^3}{l}>\Delta\rho g v_l



resulta na exigência de que com o número Richardson (R_i) deve satisfazer

R_i = \displaystyle\frac{\Delta \rho}{\rho}\displaystyle\frac{ g l }{ v_l^2}<1

ID:(15611, 0)



Relação dos números de Richardson e Reynolds

Descrição

>Top


A relação entre ($$) com la densidade (\rho), la velocidade do vórtice (v_l), la viscosidade da água do oceano (\eta) e ($$) é dada por

Re = \displaystyle\frac{ \rho l v_l }{ \eta } > 1



e o número Richardson (R_i) com ($$) e la aceleração gravitacional (g) é representada por

R_i = \displaystyle\frac{\Delta \rho}{\rho}\displaystyle\frac{ g l }{ v_l^2}<1



como mostrado no gráfico abaixo, onde ambos os casos limites marcam as situações de limite de estabilidade:

ID:(12211, 0)



Modelo

Top

>Top



Parâmetros

Símbolo
Texto
Variáve
Valor
Unidades
Calcular
Valeur MKS
Unidades MKS
g
g
Aceleração gravitacional
m/s^2
\rho
rho
Densidade média
kg/m^3
R_i
R_i
Número Richardson
-
\eta
eta
Viscosidade da água do oceano
Pa s

Variáveis

Símbolo
Texto
Variáve
Valor
Unidades
Calcular
Valeur MKS
Unidades MKS
l
l
Comprimento de mistura
m
\epsilon_v
epsilon_v
Energia cinética
J
\epsilon_{\eta}
epsilon_eta
Energia dissipada pela viscosidade
J
\epsilon_{\rho}
epsilon_rho
Energia dissipada por flutuação
J
Re
Re
Número de Reynolds
-
\tau
tau
Tempo característico
s
v_l
v_l
Velocidade do vórtice
m/s

Cálculos


Primeiro, selecione a equação: para , depois, selecione a variável: para
epsilon_eta / tau = eta * v_l ^2/ l ^2 epsilon_rho / tau = Drho * g * v_l epsilon_v / tau = rho * v_l ^3/ l epsilon_v = epsilon_eta + epsilon_rho Re = rho * l * v_l / eta R_i =( Drho / rho )*( g * l )/( v_l 2 ) tau = l / v_l glrhoepsilon_vepsilon_etaepsilon_rhoReR_itauv_leta

Cálculos

Símbolo
Equação
Resolvido
Traduzido

Cálculos

Símbolo
Equação
Resolvido
Traduzido

Variáve Dado Calcular Objetivo : Equação A ser usado
epsilon_eta / tau = eta * v_l ^2/ l ^2 epsilon_rho / tau = Drho * g * v_l epsilon_v / tau = rho * v_l ^3/ l epsilon_v = epsilon_eta + epsilon_rho Re = rho * l * v_l / eta R_i =( Drho / rho )*( g * l )/( v_l 2 ) tau = l / v_l glrhoepsilon_vepsilon_etaepsilon_rhoReR_itauv_leta




Equações

#
Equação

\displaystyle\frac{ \epsilon_{\eta} }{ \tau } = \eta \displaystyle\frac{ v_l ^2 }{ l ^2 }

epsilon_eta / tau = eta * v_l ^2/ l ^2


\displaystyle\frac{ \epsilon_{\rho} }{ \tau } = \Delta\rho g v_l

epsilon_rho / tau = Drho * g * v_l


\displaystyle\frac{ \epsilon_v }{ \tau } = \displaystyle\frac{ \rho v_l ^3 }{ l }

epsilon_v / tau = rho * v_l ^3/ l


\displaystyle\frac{ \epsilon_v }{ \tau } = \displaystyle\frac{ \epsilon_{\eta} }{ \tau } + \displaystyle\frac{ \epsilon_{ \rho } }{ \tau }

epsilon_v = epsilon_eta + epsilon_rho


Re = \displaystyle\frac{ \rho l v_l }{ \eta } > 1

Re = rho * l * v_l / eta


R_i = \displaystyle\frac{\Delta \rho}{\rho}\displaystyle\frac{ g l }{ v_l^2}<1

R_i =( Drho / rho )*( g * l )/( v_l 2 )


\tau = \displaystyle\frac{ l }{ v_l }

tau = l / v_l

ID:(15620, 0)



Energia cinética dissipada pelo vórtice

Equação

>Top, >Modelo


Existem dois tipos de processos que reduzem a energia dos vórtices até que se tornem flutuações térmicas. Por um lado, há a difusão de momento ou viscosidade, enquanto por outro lado há a flotação.

A perda de la energia cinética (\epsilon_v) varia em função de la energia dissipada pela viscosidade (\epsilon_{\eta}) e la energia dissipada por flutuação (\epsilon_{\rho}) em la tempo característico (\tau) como:

\displaystyle\frac{ \epsilon_v }{ \tau } = \displaystyle\frac{ \epsilon_{\eta} }{ \tau } + \displaystyle\frac{ \epsilon_{ \rho } }{ \tau }

\epsilon_v
Energia cinética
J
9492
\epsilon_{\eta}
Energia dissipada pela viscosidade
J
9486
\epsilon_{\rho}
Energia dissipada por flutuação
J
9487
epsilon_v = epsilon_eta + epsilon_rho tau = l / v_l epsilon_eta / tau = eta * v_l ^2/ l ^2 epsilon_rho / tau = Drho * g * v_l Re = rho * l * v_l / eta R_i =( Drho / rho )*( g * l )/( v_l 2 ) epsilon_v / tau = rho * v_l ^3/ l glrhoepsilon_vepsilon_etaepsilon_rhoReR_itauv_leta

ID:(12205, 0)



Tempo característico

Equação

>Top, >Modelo


Com la velocidade do vórtice (v_l) e la comprimento de mistura (l), pode-se definir uma tempo característico (\tau), o que permite estimar a perda de energia tanto por viscosidade quanto por flutuação.

Portanto, tem-se que

\tau = \displaystyle\frac{ l }{ v_l }

l
Comprimento de mistura
m
9489
\tau
Tempo característico
s
9491
v_l
Velocidade do vórtice
m/s
9490
epsilon_v = epsilon_eta + epsilon_rho tau = l / v_l epsilon_eta / tau = eta * v_l ^2/ l ^2 epsilon_rho / tau = Drho * g * v_l Re = rho * l * v_l / eta R_i =( Drho / rho )*( g * l )/( v_l 2 ) epsilon_v / tau = rho * v_l ^3/ l glrhoepsilon_vepsilon_etaepsilon_rhoReR_itauv_leta

ID:(12206, 0)



Variação da energia cinética

Equação

>Top, >Modelo


A variação de la energia cinética (\epsilon_v) em la tempo característico (\tau) é proporcional à energia cinética, que depende de la densidade média (\rho) e la velocidade do vórtice (v_l), dividida por la tempo característico (\tau). Uma vez que isso é uma função de la comprimento de mistura (l), conclui-se que:

\displaystyle\frac{ \epsilon_v }{ \tau } = \displaystyle\frac{ \rho v_l ^3 }{ l }

l
Comprimento de mistura
m
9489
\rho
Densidade média
kg/m^3
9096
\epsilon_v
Energia cinética
J
9492
\tau
Tempo característico
s
9491
v_l
Velocidade do vórtice
m/s
9490
epsilon_v = epsilon_eta + epsilon_rho tau = l / v_l epsilon_eta / tau = eta * v_l ^2/ l ^2 epsilon_rho / tau = Drho * g * v_l Re = rho * l * v_l / eta R_i =( Drho / rho )*( g * l )/( v_l 2 ) epsilon_v / tau = rho * v_l ^3/ l glrhoepsilon_vepsilon_etaepsilon_rhoReR_itauv_leta

Como la energia cinética (\epsilon_v) dos vórtices depende de la densidade média (\rho) e la velocidade do vórtice (v_l) de acordo com

\epsilon_v =\displaystyle\frac{1}{2}\rho v_l^2\sim \rho v_l^2



Como la tempo característico (\tau) com la comprimento de mistura (l) é

\tau = \displaystyle\frac{ l }{ v_l }



temos que

\displaystyle\frac{\epsilon_v}{\tau} =\rho \displaystyle\frac{v_l^3}{l}



ou seja

\displaystyle\frac{ \epsilon_v }{ \tau } = \displaystyle\frac{ \rho v_l ^3 }{ l }

ID:(12212, 0)



Perda de energia devido à viscosidade

Equação

>Top, >Modelo


A perda devido à viscosidade da água pode ser calculada diretamente a partir da força viscosa e do caminho percorrido pelo vórtice.

A perda de la energia dissipada pela viscosidade (\epsilon_{\eta}) varia em função de la viscosidade da água do oceano (\eta), la velocidade do vórtice (v_l) e la comprimento de mistura (l). Em la tempo característico (\tau), é expressa como

\displaystyle\frac{ \epsilon_{\eta} }{ \tau } = \eta \displaystyle\frac{ v_l ^2 }{ l ^2 }

l
Comprimento de mistura
m
9489
\epsilon_{\eta}
Energia dissipada pela viscosidade
J
9486
\tau
Tempo característico
s
9491
v_l
Velocidade do vórtice
m/s
9490
\eta
Viscosidade da água do oceano
Pa s
8612
epsilon_v = epsilon_eta + epsilon_rho tau = l / v_l epsilon_eta / tau = eta * v_l ^2/ l ^2 epsilon_rho / tau = Drho * g * v_l Re = rho * l * v_l / eta R_i =( Drho / rho )*( g * l )/( v_l 2 ) epsilon_v / tau = rho * v_l ^3/ l glrhoepsilon_vepsilon_etaepsilon_rhoReR_itauv_leta

A perda dos vórtices envolve la energia dissipada pela viscosidade (\epsilon_{\eta}) com la viscosidade da água do oceano (\eta), la velocidade do vórtice (v_l) e la comprimento de mistura (l).

\epsilon_{\eta} =\eta\displaystyle\frac{v_l}{l}



A perda de energia devido a la tempo característico (\tau), que é

\tau = \displaystyle\frac{ l }{ v_l }



é descrita por

\displaystyle\frac{ \epsilon_{\eta} }{ \tau } = \eta \displaystyle\frac{ v_l ^2 }{ l ^2 }

ID:(12207, 0)



Perda de energia devido à flutuação

Equação

>Top, >Modelo


A perda devido à flutuação pode ser calculada diretamente a partir da força de sustentação e da distância percorrida pelo vórtice.

A perda de la energia dissipada por flutuação (\epsilon_{\rho}) varia dependendo de ($$), la aceleração gravitacional (g) e la velocidade do vórtice (v_l). Em la tempo característico (\tau), é expressa como

\displaystyle\frac{ \epsilon_{\rho} }{ \tau } = \Delta\rho g v_l

g
Aceleração gravitacional
9.8
m/s^2
5310
\epsilon_{\rho}
Energia dissipada por flutuação
J
9487
\tau
Tempo característico
s
9491
v_l
Velocidade do vórtice
m/s
9490
epsilon_v = epsilon_eta + epsilon_rho tau = l / v_l epsilon_eta / tau = eta * v_l ^2/ l ^2 epsilon_rho / tau = Drho * g * v_l Re = rho * l * v_l / eta R_i =( Drho / rho )*( g * l )/( v_l 2 ) epsilon_v / tau = rho * v_l ^3/ l glrhoepsilon_vepsilon_etaepsilon_rhoReR_itauv_leta

Como la energia dissipada por flutuação (\epsilon_{\rho}) é igual a ($$), la aceleração gravitacional (g) e à distância percorrida (\Delta z),

\epsilon_{\rho} =\Delta\rho g \Delta z



a perda de energia será esta energia por la tempo característico (\tau), que com la comprimento de mistura (l) é

\tau = \displaystyle\frac{ l }{ v_l }



portanto, com la velocidade do vórtice (v_l), é

\displaystyle\frac{ \epsilon_{\rho} }{ \tau } = \Delta\rho g v_l

ID:(12208, 0)



Amortecimento de viscosidade

Equação

>Top, >Modelo


No caso em que com la energia cinética (\epsilon_v), la energia dissipada pela viscosidade (\epsilon_{\eta}) e la energia dissipada por flutuação (\epsilon_{\rho}) são tais que

\epsilon_v > \epsilon_{\eta} \gg \epsilon_{\rho}



a amortização é principalmente devido à viscosidade.

Nesse caso, obtém-se uma condição para o número de Reynolds (Re), que é uma função de la densidade média (\rho), la velocidade do vórtice (v_l), ($$) e la viscosidade da água do oceano (\eta), que deve satisfazer

Re = \displaystyle\frac{ \rho l v_l }{ \eta } > 1

\rho
Densidade média
kg/m^3
9096
Re
Número de Reynolds
-
9107
v_l
Velocidade do vórtice
m/s
9490
\eta
Viscosidade da água do oceano
Pa s
8612
epsilon_v = epsilon_eta + epsilon_rho tau = l / v_l epsilon_eta / tau = eta * v_l ^2/ l ^2 epsilon_rho / tau = Drho * g * v_l Re = rho * l * v_l / eta R_i =( Drho / rho )*( g * l )/( v_l 2 ) epsilon_v / tau = rho * v_l ^3/ l glrhoepsilon_vepsilon_etaepsilon_rhoReR_itauv_leta

No caso em que os processos difusivos são mais relevantes do que a flutuação, temos que com la energia cinética (\epsilon_v), la energia dissipada por flutuação (\epsilon_{\rho}) e la energia dissipada pela viscosidade (\epsilon_{\eta}),

\epsilon_v > \epsilon_{\eta} \gg \epsilon_{\rho}



Já que com la tempo característico (\tau), la energia cinética (\epsilon_v) e la densidade média (\rho) é

\displaystyle\frac{ \epsilon_v }{ \tau } = \displaystyle\frac{ \rho v_l ^3 }{ l }



e la energia dissipada pela viscosidade (\epsilon_{\eta}) é

\displaystyle\frac{ \epsilon_{\eta} }{ \tau } = \eta \displaystyle\frac{ v_l ^2 }{ l ^2 }



a existência do vórtice implica que sua energia cinética é maior do que a perda, então com

\rho\displaystyle\frac{v_l^3}{l}>\eta\displaystyle\frac{v_l^2}{l^2}



o requisito de que o número de Reynolds (Re) deve ser

Re = \displaystyle\frac{ \rho l v_l }{ \eta } > 1

ID:(12209, 0)



Amortecimento de flutuação

Equação

>Top, >Modelo


No caso de com la energia cinética (\epsilon_v), la energia dissipada pela viscosidade (\epsilon_{\eta}) e la energia dissipada por flutuação (\epsilon_{\rho}) serem tais que

\epsilon_v > \epsilon_{\rho} \gg \epsilon_{\eta}



a amortização é principalmente devido à flutuabilidade.

Nesse caso, obtém-se uma condição para o número Richardson (R_i), que é uma função de ($$), la densidade média (\rho), la velocidade do vórtice (v_l), la aceleração gravitacional (g) e la comprimento de mistura (l), que deve satisfazer

R_i = \displaystyle\frac{\Delta \rho}{\rho}\displaystyle\frac{ g l }{ v_l^2}<1

g
Aceleração gravitacional
9.8
m/s^2
5310
l
Comprimento de mistura
m
9489
\rho
Densidade média
kg/m^3
9096
R_i
Número Richardson
-
9494
v_l
Velocidade do vórtice
m/s
9490
epsilon_v = epsilon_eta + epsilon_rho tau = l / v_l epsilon_eta / tau = eta * v_l ^2/ l ^2 epsilon_rho / tau = Drho * g * v_l Re = rho * l * v_l / eta R_i =( Drho / rho )*( g * l )/( v_l 2 ) epsilon_v / tau = rho * v_l ^3/ l glrhoepsilon_vepsilon_etaepsilon_rhoReR_itauv_leta

No caso de com la energia cinética (\epsilon_v), la energia dissipada pela viscosidade (\epsilon_{\eta}) e la energia dissipada por flutuação (\epsilon_{\rho}) serem tais que

\epsilon_v > \epsilon_{\rho} \gg \epsilon_{\eta}



Dado que la energia cinética (\epsilon_v) está com la densidade média (\rho), la comprimento de mistura (l) e la velocidade do vórtice (v_l) em la tempo característico (\tau),

\displaystyle\frac{ \epsilon_v }{ \tau } = \displaystyle\frac{ \rho v_l ^3 }{ l }



e la energia dissipada por flutuação (\epsilon_{\rho}) está com ($$), la aceleração gravitacional (g) e la velocidade do vórtice (v_l) em la tempo característico (\tau),

\displaystyle\frac{ \epsilon_{\rho} }{ \tau } = \Delta\rho g v_l



a existência do vórtice implica que sua energia cinética é maior do que a perda, então com

\rho\displaystyle\frac{v_l^3}{l}>\Delta\rho g v_l



surge a exigência de que o número Richardson (R_i) deve satisfazer

R_i = \displaystyle\frac{\Delta \rho}{\rho}\displaystyle\frac{ g l }{ v_l^2}<1

ID:(12210, 0)