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En mayores profundidades, los mecanismos de disipación de energía de los vórtices están relacionados con la viscosidad y la flotabilidad. Cuál de estos domina depende de la situación y puede determinarse mediante los números característicos asociados a ambos fenómenos.

[1] Marine Physics, Jerzy Dera, Elsevier, 1992 (6.2 The Turbulent Exchange of Mass, Heat and Momentum in the Sea)

>Modelo

ID:(1628, 0)

Iframe

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ID:(15616, 0)

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En general, la disipación de energía ocurre en función del tiempo considerado, por lo que se debe comparar la energía cinética ($\epsilon_v$) con una tiempo característico ($\tau$), de modo que

$\displaystyle\frac{d\epsilon}{dt}\sim\displaystyle\frac{\epsilon_v}{\tau}$

Existen dos tipos de proceso que reducen la energía de los vórtices hasta que pasan a ser fluctuaciones térmicas. Por un lado está la difusión del momento o viscosidad mientras que por el otro lado está la flotación.

La pérdida de la energía cinética ($\epsilon_v$) varía en función de la energía disipada por viscosidad ($\epsilon_{\eta}$) y la energía disipada por flotación ($\epsilon_{\rho}$) en la tiempo característico ($\tau$) es

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Como la energía cinética ($\epsilon_v$), donde por simplicidad descartamos el factor de 1/2 y depende de la densidad del medio ($\rho$) y la velocidad del vórtice ($v_l$),

$\epsilon =\displaystyle\frac{1}{2}\rho v_l^2\sim \rho v_l^2$

la pérdida de energía será esta energía por la tiempo característico ($\tau$), que con la longitud de mezcla ($l$) es

y así, la variación es

ID:(15608, 0)

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Como la energía disipada por viscosidad ($\epsilon_{\eta}$) está con la viscosidad del agua oceánica ($\eta$), la velocidad del vórtice ($v_l$) y la longitud de mezcla ($l$),

$\epsilon_{\eta} =\eta\displaystyle\frac{v_l}{l}$

la pérdida de energía será esta energía por la tiempo característico ($\tau$), que con la longitud de mezcla ($l$) es

y así, la variación es

ID:(15609, 0)

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Como la energía disipada por flotación ($\epsilon_{\rho}$) está relacionado con la variación de la densidad ($\Delta\rho$), el aceleración gravitacional ($g$) y la longitud de mezcla ($l$):

$\epsilon_{\rho} =\Delta\rho g l$

la pérdida de energía será esta energía por la tiempo característico ($\tau$), que es

y así, la variación es

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En el caso de que los procesos difusivos sean más relevantes que los de flotación, se tiene que con la energía cinética ($\epsilon_v$), la energía disipada por flotación ($\epsilon_{\rho}$) y la energía disipada por viscosidad ($\epsilon_{\eta}$),

$\epsilon_v > \epsilon_{\eta} \gg \epsilon_{\rho}$

Dado que con la tiempo característico ($\tau$), la energía cinética ($\epsilon_v$) es

y la energía disipada por viscosidad ($\epsilon_{\eta}$) es

la existencia del vórtice implica que su energía cinética es mayor que la pérdida, por lo que con

$\rho\displaystyle\frac{v_l^3}{l}>\eta\displaystyle\frac{v_l^2}{l^2}$

resulta la exigencia de que se tenga que

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En el caso de que con la energía cinética ($\epsilon_v$), la energía disipada por viscosidad ($\epsilon_{\eta}$) y la energía disipada por flotación ($\epsilon_{\rho}$) sean tales que

$\epsilon_v > \epsilon_{\rho} \gg \epsilon_{\eta}$

Dado que la energía cinética ($\epsilon_v$) es con la densidad ($\rho$), la longitud de mezcla ($l$) y la velocidad del vórtice ($v_l$) en la tiempo característico ($\tau$),

y la energía disipada por flotación ($\epsilon_{\rho}$) es con la variación de la densidad ($\Delta\rho$), la aceleración gravitacional ($g$) y la velocidad del vórtice ($v_l$) en la tiempo característico ($\tau$),

la existencia del vórtice implica que su energía cinética es mayor que la pérdida, por lo que con

$\rho\displaystyle\frac{v_l^3}{l}>\Delta\rho g v_l$

resulta la exigencia de que con se tiene que el número de Richardson ($R_i$) satisfaga

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Descripción

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La relación entre el número de Reynold ($Re$) con la densidad ($\rho$), la velocidad del vórtice ($v_l$), la viscosidad del agua oceánica ($\eta$) y la tamaño característico ($l$) está dada por

y el número de Richardson ($R_i$) con la variación de la densidad ($\Delta\rho$) y la aceleración gravitacional ($g$) está representada por

como se muestra en el gráfico a continuación, donde ambos casos límite marcan las situaciones de límite de estabilidad:

Turbulent Coherent Structures in a Thermally stable Boundary Layer, Owen Williams and Alexander J. Smits, https://www.researchgate.net/publication/228761589_Turbulent_Coherent_Structures_in_a_Thermally_Stable_Boundary_Layer

ID:(12211, 0)

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Parámetros

$g$

g

Aceleración gravitacional

m/s^2

$\rho$

rho

Densidad del medio

kg/m^3

$R_i$

R_i

Número de Richardson

-

$l$

l

Tamaño característico

m

$\Delta\rho$

Drho

Variación de la densidad

kg/m^3

$\eta$

eta

Viscosidad del agua oceánica

Pa s

Variables

$\epsilon_v$

epsilon_v

Energía cinética

J

$\epsilon_{\rho}$

epsilon_rho

Energía disipada por flotación

J

$\epsilon_{\eta}$

epsilon_eta

Energía disipada por viscosidad

J

$l$

l

Longitud de mezcla

m

$Re$

Re

Número de Reynold

-

$\tau$

tau

Tiempo característico

s

$v_l$

v_l

Velocidad del vórtice

m/s

Cálculos

• Método alternativo
• Método tradicional
• Estrategia
• 2D
• 3D

Ecuación

Número

Primero, seleccione la ecuación: a , luego, seleccione la variable: a

---

Cálculos

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Cálculos

Símbolo

Ecuación

Resuelto

Traducido

Variable Dado Calcule Objetivo : Ecuación A utilizar

Ecuaciones

ID:(15620, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Existen dos tipos de proceso que reducen la energía de los vórtices hasta que pasan a ser fluctuaciones térmicas. Por un lado está la difusión del momento o viscosidad mientras que por el otro lado está la flotación.

La pérdida de la energía cinética ($\epsilon_v$) varía en función de la energía disipada por viscosidad ($\epsilon_{\eta}$) y la energía disipada por flotación ($\epsilon_{\rho}$) en la tiempo característico ($\tau$) es

$\displaystyle\frac{ \epsilon_v }{ \tau } = \displaystyle\frac{ \epsilon_{\eta} }{ \tau } + \displaystyle\frac{ \epsilon_{ \rho } }{ \tau }$

Condiciones

Variables

$\epsilon_v$

Energía cinética

$J$

9492

$\epsilon_{\rho}$

Energía disipada por flotación

$J$

9487

$\epsilon_{\eta}$

Energía disipada por viscosidad

$J$

9486

Relación

ID:(12205, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

Con la velocidad del vórtice ($v_l$) y la longitud de mezcla ($l$), se puede definir una tiempo característico ($\tau$), lo que permite estimar la pérdida de energía tanto por viscosidad como flotación.

Por lo tanto, se tiene que

$\tau = \displaystyle\frac{ l }{ v_l }$

Condiciones

Variables

$l$

Longitud de mezcla

$m$

9489

$\tau$

Tiempo característico

$s$

9491

$v_l$

Velocidad del vórtice

$m/s$

9490

Relación

ID:(12206, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La variación de la energía cinética ($\epsilon_v$) en la tiempo característico ($\tau$) es proporcional a la energía cinética que depende de la densidad del medio ($\rho$) y la velocidad del vórtice ($v_l$), dividida por la tiempo característico ($\tau$). Dado que esta es una función de la longitud de mezcla ($l$), se concluye que:

$\displaystyle\frac{ \epsilon_v }{ \tau } = \displaystyle\frac{ \rho v_l ^3 }{ l }$

Condiciones

Variables

$\rho$

Densidad del medio

$kg/m^3$

9096

$\epsilon_v$

Energía cinética

$J$

9492

$l$

Longitud de mezcla

$m$

9489

$\tau$

Tiempo característico

$s$

9491

$v_l$

Velocidad del vórtice

$m/s$

9490

Relación

Desarrollo

Como la energía cinética ($\epsilon_v$) del vórtices depende de la densidad del medio ($\rho$) y la velocidad del vórtice ($v_l$) según

$\epsilon_v =\displaystyle\frac{1}{2}\rho v_l^2\sim \rho v_l^2$

Como la tiempo característico ($\tau$) con la longitud de mezcla ($l$) es

$\tau = \displaystyle\frac{ l }{ v_l }$

se tiene que

$\displaystyle\frac{\epsilon_v}{\tau} =\rho \displaystyle\frac{v_l^3}{l}$

osea

$\displaystyle\frac{ \epsilon_v }{ \tau } = \displaystyle\frac{ \rho v_l ^3 }{ l }$

ID:(12212, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La pérdida debido a la viscosidad del agua se puede calcular directamente a partir de la fuerza viscosa y la distancia recorrida por el vórtice.

La pérdida de la energía disipada por viscosidad ($\epsilon_{\eta}$) varía en función de la viscosidad del agua oceánica ($\eta$), la velocidad del vórtice ($v_l$) y la longitud de mezcla ($l$). En la tiempo característico ($\tau$), se expresa como

$\displaystyle\frac{ \epsilon_{\eta} }{ \tau } = \eta \displaystyle\frac{ v_l ^2 }{ l ^2 }$

Condiciones

Variables

$\epsilon_{\eta}$

Energía disipada por viscosidad

$J$

9486

$l$

Longitud de mezcla

$m$

9489

$\tau$

Tiempo característico

$s$

9491

$v_l$

Velocidad del vórtice

$m/s$

9490

$\eta$

Viscosidad del agua oceánica

$Pa s$

8612

Relación

Desarrollo

Como la energía disipada por viscosidad ($\epsilon_{\eta}$) de los vórtices está relacionado con la viscosidad del agua oceánica ($\eta$), la velocidad del vórtice ($v_l$) y la longitud de mezcla ($l$),

$\epsilon_{\eta} =\eta\displaystyle\frac{v_l}{l}$

la pérdida de energía por la tiempo característico ($\tau$), que es

$\tau = \displaystyle\frac{ l }{ v_l }$

se expresa como

$\displaystyle\frac{ \epsilon_{\eta} }{ \tau } = \eta \displaystyle\frac{ v_l ^2 }{ l ^2 }$

ID:(12207, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

La pérdida debido a la flotación se puede calcular directamente a partir de la fuerza de sustentación y la distancia recorrida por el vórtice.

La pérdida de la energía disipada por flotación ($\epsilon_{\rho}$) varía en función de la variación de la densidad ($\Delta\rho$), la aceleración gravitacional ($g$) y la velocidad del vórtice ($v_l$). En la tiempo característico ($\tau$), se expresa como

$\displaystyle\frac{ \epsilon_{\rho} }{ \tau } = \Delta\rho g v_l$

Condiciones

Variables

$g$

Aceleración gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$\epsilon_{\rho}$

Energía disipada por flotación

$J$

9487

$\tau$

Tiempo característico

$s$

9491

$\Delta\rho$

Variación de la densidad

$kg/m^3$

9484

$v_l$

Velocidad del vórtice

$m/s$

9490

Relación

Desarrollo

Como la energía disipada por flotación ($\epsilon_{\rho}$) es igual a la variación de la densidad ($\Delta\rho$), la aceleración gravitacional ($g$) y la distancia recorrida ($\Delta z$),

$\epsilon_{\rho} =\Delta\rho g \Delta z$

la pérdida de energía será esta energía por la tiempo característico ($\tau$), que con la longitud de mezcla ($l$) es

$\tau = \displaystyle\frac{ l }{ v_l }$

por lo que con la velocidad del vórtice ($v_l$) es

$\displaystyle\frac{ \epsilon_{\rho} }{ \tau } = \Delta\rho g v_l$

ID:(12208, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

En el caso de que con la energía cinética ($\epsilon_v$), la energía disipada por viscosidad ($\epsilon_{\eta}$) y la energía disipada por flotación ($\epsilon_{\rho}$) sean tales que

$\epsilon_v > \epsilon_{\eta} \gg \epsilon_{\rho}$

se tiene que la amortiguación es ante todo debido a la viscosidad.

En ese caso, se obtiene una condición para el número de Reynold ($Re$), que es una función de la densidad del medio ($\rho$), la velocidad del vórtice ($v_l$), la tamaño característico ($l$) y la viscosidad del agua oceánica ($\eta$), que debe satisfacer

$Re = \displaystyle\frac{ \rho l v_l }{ \eta } > 1$

Condiciones

Variables

$\rho$

Densidad del medio

$kg/m^3$

9096

$Re$

Número de Reynold

$-$

9107

$l$

Tamaño característico

$m$

9112

$v_l$

Velocidad del vórtice

$m/s$

9490

$\eta$

Viscosidad del agua oceánica

$Pa s$

8612

Relación

Desarrollo

En el caso de que los procesos difusivos sean más relevantes que los de flotación, se tiene que con la energía cinética ($\epsilon_v$), la energía disipada por flotación ($\epsilon_{\rho}$) y la energía disipada por viscosidad ($\epsilon_{\eta}$),

$\epsilon_v > \epsilon_{\eta} \gg \epsilon_{\rho}$

Dado que con la tiempo característico ($\tau$), la energía cinética ($\epsilon_v$) y la densidad del medio ($\rho$) es

$\displaystyle\frac{ \epsilon_v }{ \tau } = \displaystyle\frac{ \rho v_l ^3 }{ l }$

y la energía disipada por viscosidad ($\epsilon_{\eta}$) es

$\displaystyle\frac{ \epsilon_{\eta} }{ \tau } = \eta \displaystyle\frac{ v_l ^2 }{ l ^2 }$

la existencia del vórtice implica que su energía cinética es mayor que la pérdida, por lo que con

$\rho\displaystyle\frac{v_l^3}{l}>\eta\displaystyle\frac{v_l^2}{l^2}$

resulta la exigencia de que se tenga que el número de Reynold ($Re$) es

$Re = \displaystyle\frac{ \rho l v_l }{ \eta } > 1$

ID:(12209, 0)

Ecuación

>Top, >Modelo

En el caso de que con la energía cinética ($\epsilon_v$), la energía disipada por viscosidad ($\epsilon_{\eta}$) y la energía disipada por flotación ($\epsilon_{\rho}$) sean tales que

$\epsilon_v > \epsilon_{\rho} \gg \epsilon_{\eta}$

se tiene que la amortiguación es principalmente debido a la flotabilidad.

En ese caso, se obtiene una condición para el número de Richardson ($R_i$), que es una función de la variación de la densidad ($\Delta\rho$), la densidad del medio ($\rho$), la velocidad del vórtice ($v_l$), la aceleración gravitacional ($g$) y la longitud de mezcla ($l$), que debe satisfacer

$R_i = \displaystyle\frac{\Delta \rho}{\rho}\displaystyle\frac{ g l }{ v_l^2}<1$

Condiciones

Variables

$g$

Aceleración gravitacional

9.8

$m/s^2$

5310

$\rho$

Densidad del medio

$kg/m^3$

9096

$l$

Longitud de mezcla

$m$

9489

$R_i$

Número de Richardson

$-$

9494

$\Delta\rho$

Variación de la densidad

$kg/m^3$

9484

$v_l$

Velocidad del vórtice

$m/s$

9490

Relación

Desarrollo

En el caso de que con la energía cinética ($\epsilon_v$), la energía disipada por viscosidad ($\epsilon_{\eta}$) y la energía disipada por flotación ($\epsilon_{\rho}$) sean tales que

$\epsilon_v > \epsilon_{\rho} \gg \epsilon_{\eta}$

Dado que la energía cinética ($\epsilon_v$) es con la densidad del medio ($\rho$), la longitud de mezcla ($l$) y la velocidad del vórtice ($v_l$) en la tiempo característico ($\tau$),

$\displaystyle\frac{ \epsilon_v }{ \tau } = \displaystyle\frac{ \rho v_l ^3 }{ l }$

y la energía disipada por flotación ($\epsilon_{\rho}$) es con la variación de la densidad ($\Delta\rho$), la aceleración gravitacional ($g$) y la velocidad del vórtice ($v_l$) en la tiempo característico ($\tau$),

$\displaystyle\frac{ \epsilon_{\rho} }{ \tau } = \Delta\rho g v_l$

la existencia del vórtice implica que su energía cinética es mayor que la pérdida, por lo que con

$\rho\displaystyle\frac{v_l^3}{l}>\Delta\rho g v_l$

resulta la exigencia de que con se tiene que el número de Richardson ($R_i$) satisfaga

$R_i = \displaystyle\frac{\Delta \rho}{\rho}\displaystyle\frac{ g l }{ v_l^2}<1$

ID:(12210, 0)