Utilizador:
Processos de mistura em águas rasas
Storyboard 
Os mecanismos de mistura em áreas rasas são gerados por diversos tipos de ondas. Entre eles estão as ondas internas, as ondas superficiais, a interação entre ondas e correntes, as marés e a quebra das ondas na costa.
ID:(1629, 0)
Mecanismos
Iframe
Mecanismos
ID:(15614, 0)
Número de Strouhal em função do número de Reynold
Imagem
O número de Strouhal ($St$) está relacionado empiricamente com o número de Reynolds ($Re$). O número de Strouhal ($St$) está associado com la frequência de geração de vórtice ($\omega$), la velocidade de fricção ($U_d$) e la profundidade total ($H$) é
| $ St \equiv \displaystyle\frac{ \omega H }{ U_d }$ |
Isso permite estimar, através de o número de Reynolds ($Re$), a frequência com que a concentração pode trocar os componentes a serem difundidos. No entanto, deve-se ter em mente que o processo pode ser interrompido se a frequência for menor do que a das marés.
ID:(12199, 0)
Estresse cinemático
Descrição
Se assumirmos que não há vento na superfície, pode-se supor que não há tensão na superfície. Portanto, haverá apenas a tensão da água no fundo. Esta tensão diminuirá linearmente do fundo para a superfície. Para simplificar a modelagem, pode-se usar a proporção entre la profundidade ($z$) e la profundidade total ($H$), o que nos dá um fator adimensional la profundidade relativa ($\xi$). La estresse cinemático ($\tau_x$) será, portanto, proporcional a
$\tau_x \propto 1-\xi$
Como la estresse cinemático ($\tau_x$) é equivalente à densidade de energia dividida pela densidade, o valor no fundo deve ser proporcional ao quadrado da velocidade no fundo. Isso é descrito no modelo com la velocidade de fricção ($U_d$) e significa que
$\tau_x \propto U_d^2$
Finalmente, há o efeito de la rugosidade ($k$) do fundo do mar, ou seja, a proporção de o desigualdade ($d$) e la profundidade total ($H$). Isso significa que la estresse cinemático ($\tau_x$) deve ser corrigido por um fator análogo à profundidade:
$\tau_x \propto \displaystyle\frac{1-\xi}{1-k}$
Assim, obtém-se um modelo da seguinte forma:
| $ \tau_x \equiv \displaystyle\frac{ U_d ^2}{1- k }(1- \xi )$ |
que é representado graficamente a seguir:
ID:(15630, 0)
Comprimento de mistura
Descrição
La comprimento de mistura ($l$) corresponde ao que poderia ser descrito como o tamanho dos vórtices. Próximo à parede, esses vórtices só podem ter um tamanho máximo igual à distância até a parede, que é mínima. À medida que nos aproximamos da superfície, esses vórtices podem se tornar cada vez maiores, então a função deve atingir um máximo nesse ponto.
Para simplificar a modelagem, pode-se usar a proporção entre la profundidade ($z$) e la profundidade total ($H$), o que nos proporciona um fator adimensional la profundidade relativa ($\xi$). Assim, uma função simples que atende a essa descrição é:
$l \propto \xi\left(1-\displaystyle\frac{1}{2}\xi\right)$
Por outro lado, o modelo de camada limite de Prandtl mostra que estas são uma fração do fluxo com uma largura igual a la profundidade total ($H$) e uma proporção de la constante de Karman ($\kappa$), então:
$l \propto \kappa H$
Finalmente, devemos corrigir pelo efeito da rugosidade da mesma forma que para o estresse cinemático:
$l \propto \displaystyle\frac{\kappa H}{1-k}$
Portanto, la comprimento de mistura ($l$) pode ser modelado da seguinte forma:
| $ l \equiv \displaystyle\frac{ \kappa H }{1 - k } \xi \left(1 - \displaystyle\frac{1}{2} \xi \right)$ |
ID:(12201, 0)
Viscosidade do redemoinho
Top
Quando Prandtl modela a formação de turbilhões perto das paredes, ele estabelece a relação entre la viscosidade turbulenta ($A$), la comprimento de mistura ($l$) e o gradiente de o perfil da velocidade ($u_z$) em la profundidade ($z$) da seguinte forma:
| $ A = l ^2\displaystyle\frac{\partial u_z }{\partial z }$ |
Por outro lado, a força viscosa típica, que é modelada como a viscosidade multiplicada pela superfície de contato e o gradiente de velocidade, corresponde a la estresse cinemático ($\tau_x$) no caso das turbulências:
| $ \tau_x = A \displaystyle\frac{\partial u_z }{\partial z }$ |
De ambas as equações, surge a relação:
| $ \tau_x = \displaystyle\frac{ A ^2 }{ l ^2 }$ |
Essa relação permite calcular la viscosidade turbulenta ($A$) em função de la estresse cinemático ($\tau_x$) e la comprimento de mistura ($l$), que são modelados neste caso. Assim, com la profundidade total ($H$), la velocidade de fricção ($U_d$), la rugosidade ($k$), la profundidade relativa ($\xi$) e la constante de Karman ($\kappa$):
| $ A = \displaystyle\frac{ \kappa H U_d }{(1- k )^{3/2}} \xi \left(1- \displaystyle\frac{1}{2} \xi \right)\sqrt{1- \xi }$ |
que é representado a seguir:
O resultado é que a viscosidade turbulenta é máxima na profundidade média e se reduz a valores mínimos tanto próximo ao fundo quanto próximo à superfície. Ou seja, nessas zonas a mistura e a perda de momento são menores.
ID:(15624, 0)
Perfil de velocidade
Top
Como la estresse cinemático ($\tau_x$) é igual a la viscosidade turbulenta ($A$) e ao gradiente de o perfil da velocidade ($u_z$) em la profundidade ($z$), a equação pode ser integrada para obter o perfil de velocidade:
$u_z = \displaystyle\int_d^z \frac{\tau_x}{A} , dz'$
Após integrar essa expressão, com la velocidade de fricção ($U_d$), la constante de Karman ($\kappa$), la rugosidade ($k$) e la profundidade relativa ($\xi$), obtemos:
| $ u_z = \displaystyle\frac{ U_d }{ \kappa }\sqrt{1-k}\ln\left(\displaystyle\frac{ \xi }{ k }\right)$ |
que corresponde à famosa lei logarítmica desenvolvida por Prandtl e Schlichting.
O perfil é mostrado no seguinte gráfico:
O perfil também permite relacionar tanto ($$) com la velocidade de fricção ($U_d$) em função de la rugosidade ($k$) e la constante de Karman ($\kappa$), o que, por sua vez, permite definir um o arrastar para baixo ($C_D$) com:
| $ U ^2 = \displaystyle\frac{ U_d ^2}{ C_D }$ |
e
| $ C_D = \displaystyle\frac{ \kappa ^2 }{(1- k ) \ln^2(1/ k )}$ |
ID:(15623, 0)
Concentração de sedimentos
Top
Se considerarmos o comportamento do material suspenso, observamos dois principais fatores. Primeiramente, há uma tendência de que ele se sedimente com uma velocidade la taxa de sedimentação ($\omega_s$), gerando um fluxo que depende de ($$), expresso como:
$\omega_s c_z$
Por outro lado, os redemoinhos tendem a misturar a água, gerando uma difusão que transporta os sedimentos em direção à superfície. Esse fluxo, representado por la viscosidade turbulenta ($A$), é dado pelo gradiente de ($$) em la profundidade ($z$), igual a:
$A\displaystyle\frac{\partial c_z}{\partial z}$
A distribuição se forma quando os sedimentos alcançam o equilíbrio, onde o fluxo de sedimentação é igual à difusão gerada pelos redemoinhos em direção à superfície. Integrando ambos os termos da equação com o taxa de erosão ($E$) e o desigualdade ($d$), obtemos a distribuição:
$c_z=\displaystyle\frac{E}{\omega_s}e^{\displaystyle\int_d^z \omega_s/A dz'}$
Após empregar a expressão obtida para la viscosidade turbulenta ($A$) com o fator de Rouse ($R_s$), la rugosidade ($k$) e la profundidade relativa ($\xi$), derivamos a expressão:
| $ c_z = \displaystyle\frac{ E }{ \omega_s }\left(\displaystyle\frac{ k }{ \xi }\right)^{ R_s }$ |
que pode ser representada graficamente como:
ID:(15631, 0)
Modelo
Top
Parâmetros
Variáveis
Cálculos
para 
, depois, selecione a variável: 
para 
Cálculos
Cálculos
Variáve 
Dado Calcular 
Objetivo : Equação A ser usado 
Equações
$ A = \displaystyle\frac{ \kappa H U_d }{(1- k )^{3/2}} \xi \left(1- \displaystyle\frac{1}{2} \xi \right)\sqrt{1- \xi }$
A = kappa * U_d * H * xi * (1- xi /2)*sqrt(1- xi )/(1- k )^(3/2)
$ A = l ^2\displaystyle\frac{\partial u_z }{\partial z }$
A = l ^2*@DIF( u_z , z )
$ C_D = \displaystyle\frac{ \kappa ^2 }{(1- k ) \ln^2(1/ k )}$
C_D = kappa ^2/((1- k )* log(1/ k )^2)
$ c_z = \displaystyle\frac{ E }{ \omega_s }\left(\displaystyle\frac{ k }{ \xi }\right)^{ R_s }$
c_z =( E / omega_s )*( k / xi )^ R_s
$ k \equiv \displaystyle\frac{ d }{ H }$
k = d / H
$ l \equiv \displaystyle\frac{ \kappa H }{1 - k } \xi \left(1 - \displaystyle\frac{1}{2} \xi \right)$
l = kappa * H * xi *(1 - xi /2)/(1 - k )
$ R_0 \equiv \displaystyle\frac{ \omega_s }{ \kappa U_d }$
R_0 = omega_s /( kappa * U_d )
$ R_s \equiv R_0 (1 - k )^{3/2}$
R_s = R_0 (1 - k )^(3/2)
$ St \equiv \displaystyle\frac{ \omega H }{ U_d }$
St = omega * H / U_d
$ \tau_x = A \displaystyle\frac{\partial u_z }{\partial z }$
tau_x = A *@DIF( u_z , z )
$ \tau_x = \displaystyle\frac{ A ^2 }{ l ^2 }$
tau_x = A ^2 / l ^2
$ \tau_x \equiv \displaystyle\frac{ U_d ^2}{1- k }(1- \xi )$
tau_x = U_d ^2 *(1- xi )/(1- k )
$ U ^2 = \displaystyle\frac{ U_d ^2}{ C_D }$
U ^2 = U_d ^2/ C_D
$ u_z = \displaystyle\frac{ U_d }{ \kappa }\sqrt{1-k}\ln\left(\displaystyle\frac{ \xi }{ k }\right)$
u_z = U_d sqrt(1- k )*log( xi / k ))/ kappa
$ \xi \equiv \displaystyle\frac{ z }{ H }$
xi = z / H
ID:(15618, 0)
Número de Strouhal
Equação
O número de Strouhal ($St$) caracteriza la frequência de geração de vórtice ($\omega$). Compara a velocidade associada a la frequência de geração de vórtice ($\omega$) e seu tamanho com o do fluxo representado por la profundidade total ($H$).
Portanto, com isso, temos
| $ St \equiv \displaystyle\frac{ \omega H }{ U_d }$ |
ID:(12198, 0)
Rugosidade inferior
Equação
O comportamento da corrente e a turbulência a ser gerada ou amortecida dependem de la rugosidade ($k$) do leito marinho. Isso é definido comparando o perfil médio de o desigualdade ($d$) com o perfil de la profundidade total ($H$) onde ele está localizado.
Portanto, define-se que la rugosidade ($k$) é
| $ k \equiv \displaystyle\frac{ d }{ H }$ |
ID:(12183, 0)
Profundidade relativa
Equação
La profundidade relativa ($\xi$) é definido em termos de la profundidade ($z$) e la profundidade total ($H$), expresso da seguinte forma:
| $ \xi \equiv \displaystyle\frac{ z }{ H }$ |
ID:(12182, 0)
Estresse cinemático
Equação
Para um fluxo laminar, la força viscosa ($F_v$) pode ser calculado a partir de os superfícies paralelas ($S$), la viscosidade ($\eta$), la diferença de velocidade entre superfícies ($\Delta v$) e la distância entre superfícies ($\Delta z$) utilizando a seguinte equação:
| $ F_v =- S \eta \displaystyle\frac{ \Delta v }{ \Delta z }$ |
No caso de fluxo turbulento, pode-se estabelecer uma analogia definindo uma viscosidade turbulenta ($A$) como a viscosidade dividida pela densidade, associada à força por área e densidade, o que denominaremos la estresse cinemático ($\tau_x$), calculado em função de o perfil da velocidade ($u_z$) e la profundidade ($z$) da seguinte forma:
| $ \tau_x = A \displaystyle\frac{\partial u_z }{\partial z }$ |
ID:(12191, 0)
Lei de Prandtl
Equação
Em 1925, Prandtl introduziu o conceito de uma camada limite na qual os turbilhões misturam o fluido e transferem momento de forma semelhante à modelagem da transferência em nível molecular, gerando comportamento viscoso. O tamanho desta zona é definido como la comprimento de mistura ($l$) e o efeito é descrito com um análogo à viscosidade que corresponde a la viscosidade turbulenta ($A$). Isso pode ser estimado com o gradiente de o perfil da velocidade ($u_z$) em la profundidade ($z$) utilizando:
| $ A = l ^2\displaystyle\frac{\partial u_z }{\partial z }$ |
[1] Prandtl, Ludwig (1925). "Bericht über Untersuchungen zur ausgebildeten Turbulenz" (Relatório sobre investigações em turbulência desenvolvida). Z. Angew. Math. Mech. 5 (2): 136.
ID:(12186, 0)
Relação de tensão cinemática
Equação
La estresse cinemático ($\tau_x$) pode ser calculado a partir de la viscosidade turbulenta ($A$) e la comprimento de mistura ($l$) usando o seguinte método:
| $ \tau_x = \displaystyle\frac{ A ^2 }{ l ^2 }$ |
Assim como la viscosidade turbulenta ($A$) se relaciona com la comprimento de mistura ($l$), o perfil da velocidade ($u_z$) e la profundidade ($z$) são definidos como
| $ A = l ^2\displaystyle\frac{\partial u_z }{\partial z }$ |
e, dado que la estresse cinemático ($\tau_x$) é
| $ \tau_x = A \displaystyle\frac{\partial u_z }{\partial z }$ |
eliminar o gradiente resulta em
| $ \tau_x = \displaystyle\frac{ A ^2 }{ l ^2 }$ |
ID:(15633, 0)
Difusividade de vórtice oceânico mais profundo
Equação
La estresse cinemático ($\tau_x$) será máximo próximo ao fundo do oceano e nulo na superfície, desde que não haja vento na superfície do oceano. Como está associado a la velocidade de fricção ($U_d$) no fundo, mas precisa ser corrigido pelo efeito de la rugosidade ($k$), pode ser modelado com base em la profundidade relativa ($\xi$) da seguinte forma:
| $ \tau_x \equiv \displaystyle\frac{ U_d ^2}{1- k }(1- \xi )$ |
ID:(12202, 0)
Comprimento de mistura
Equação
A zona de mistura introduzida por Prandtl, de tamanho la comprimento de mistura ($l$), é estimada como uma fração da ordem de la constante de Karman ($\kappa$) de la profundidade total ($H$). Além disso, deve-se ajustar pelo efeito de la rugosidade ($k$), e considerar que la comprimento de mistura ($l$) depende de la profundidade relativa ($\xi$), sendo nulo no fundo e aproximadamente constante e máximo perto da superfície. Portanto, pode ser modelado da seguinte forma:
| $ l \equiv \displaystyle\frac{ \kappa H }{1 - k } \xi \left(1 - \displaystyle\frac{1}{2} \xi \right)$ |
[1] Prandtl, Ludwig (1925). "Bericht über Untersuchungen zur ausgebildeten Turbulenz" (Relatório sobre investigações em turbulência desenvolvida). Z. Angew. Math. Mech. 5 (2): 136.
ID:(12194, 0)
Viscosidade do redemoinho
Equação
A partir de medições, podemos modelar la viscosidade turbulenta ($A$) com la profundidade relativa ($\xi$), la profundidade total ($H$), la rugosidade ($k$), la velocidade de fricção ($U_d$) e la constante de Karman ($\kappa$) usando a expressão:
| $ A = \displaystyle\frac{ \kappa H U_d }{(1- k )^{3/2}} \xi \left(1- \displaystyle\frac{1}{2} \xi \right)\sqrt{1- \xi }$ |
Assim como la estresse cinemático ($\tau_x$) se relaciona com la viscosidade turbulenta ($A$) e la comprimento de mistura ($l$), tem-se que:
| $ \tau_x = \displaystyle\frac{ A ^2 }{ l ^2 }$ |
Se forem usados la constante de Karman ($\kappa$), la profundidade total ($H$) e la rugosidade ($k$):
| $ l \equiv \displaystyle\frac{ \kappa H }{1 - k } \xi \left(1 - \displaystyle\frac{1}{2} \xi \right)$ |
e com la velocidade de fricção ($U_d$):
| $ \tau_x \equiv \displaystyle\frac{ U_d ^2}{1- k }(1- \xi )$ |
obtém-se:
| $ A = \displaystyle\frac{ \kappa H U_d }{(1- k )^{3/2}} \xi \left(1- \displaystyle\frac{1}{2} \xi \right)\sqrt{1- \xi }$ |
ID:(12185, 0)
Perfil de velocidade
Equação
O perfil da velocidade ($u_z$) é uma função de la profundidade relativa ($\xi$) e dos parâmetros la rugosidade ($k$), la velocidade de fricção ($U_d$) e la constante de Karman ($\kappa$), representada da seguinte forma:
| $ u_z = \displaystyle\frac{ U_d }{ \kappa }\sqrt{1-k}\ln\left(\displaystyle\frac{ \xi }{ k }\right)$ |
Assim como la estresse cinemático ($\tau_x$) se relaciona com la viscosidade turbulenta ($A$), o perfil da velocidade ($u_z$) e la profundidade ($z$), ele é definido por
| $ \tau_x = A \displaystyle\frac{\partial u_z }{\partial z }$ |
e pode ser integrado de o desigualdade ($d$) a la profundidade ($z$) para obter a velocidade usando a seguinte expressão:
$u_z=\displaystyle\int_d^z\displaystyle\frac{\tau_x}{A}dz'$
Com a formulação de la viscosidade turbulenta ($A$) em termos de la profundidade relativa ($\xi$) juntamente com la profundidade total ($H$), la rugosidade ($k$) e la velocidade de fricção ($U_d$), e considerando que
a seguinte equação para velocidade é derivada:
$u_z=\displaystyle\frac{U_d\sqrt{1-k}}{\kappa}(\ln(z/d) + \Phi(\xi,k))$
onde
$\Phi=2[\arctan(\lambda)-\arctan(\lambda_0)]-\ln\left(\displaystyle\frac{1+\lambda}{1+\lambda_0}\right)$
é definido com
$\lambda=\sqrt{1-\xi}$
e
$\lambda=\sqrt{1-k}$
Visto que em grande parte da profundidade
$\ln(z/d) \gg \Phi(\xi,k)$
o perfil de velocidade pode ser simplificado para
| $ u_z = \displaystyle\frac{ U_d }{ \kappa }\sqrt{1-k}\ln\left(\displaystyle\frac{ \xi }{ k }\right)$ |
ID:(12187, 0)
Coeficiente de amortecimento
Equação
($$) é proporcional a la velocidade de fricção ($U_d$), com uma constante de proporcionalidade que depende de la constante de Karman ($\kappa$) e la rugosidade ($k$), conforme:
| $ C_D = \displaystyle\frac{ \kappa ^2 }{(1- k ) \ln^2(1/ k )}$ |
ID:(12184, 0)
Velocidade de superfície
Equação
La velocidade de fricção ($U_d$) é proporcional a ($$), sendo a constante de proporcionalidade o arrastar para baixo ($C_D$), que representa a relação entre as respectivas energias cinéticas:
| $ U ^2 = \displaystyle\frac{ U_d ^2}{ C_D }$ |
ID:(12188, 0)
Difusão de uma concentração de sedimentos
Equação
($$) é uma função de la profundidade relativa ($\xi$) que depende de o taxa de erosão ($E$), la taxa de sedimentação ($\omega_s$), la rugosidade ($k$) e o fator de Rouse ($R_s$), e é calculada da seguinte forma:
| $ c_z = \displaystyle\frac{ E }{ \omega_s }\left(\displaystyle\frac{ k }{ \xi }\right)^{ R_s }$ |
Os sedimentos tendem a cair para o fundo com uma taxa de sedimentação ($\omega_s$), enquanto a difusão, que neste caso corresponde à mistura gerada por turbilhões, induz um fluxo igual a la viscosidade turbulenta ($A$) e o gradiente de ($$) em la profundidade ($z$), da seguinte forma:
$A\displaystyle\frac{\partial c_z}{\partial z}+\omega_s c_z= 0$
Integrando essa expressão, obtemos:
$c_z = \displaystyle\frac{E}{\omega_s}e^{-\displaystyle\int_d^z \omega_s/A dz'}$
com la comprimento de mistura ($l$):
| $ \tau_x = \displaystyle\frac{ A ^2 }{ l ^2 }$ |
temos:
$c_z=\displaystyle\frac{E}{\omega_s}e^{-\displaystyle\int_d^z \omega_s/l\sqrt{\tau_x} dz'}$
o que resulta em:
$c_z=\displaystyle\frac{E}{\omega_s}\left(\displaystyle\frac{z}{d}\right)^{R_s}\Phi_c(\xi,k)$
com o fator de Rouse ($R_s$) e o número de despertar ($R_0$):
| $ R_s \equiv R_0 (1 - k )^{3/2}$ |
onde:
$\Phi=\left(\displaystyle\frac{1+\lambda}{1+\lambda_0}\right)^{2R_s}e^{2R_s[\arctan(\lambda)-\arctan(\lambda_0)]}$
com:
$\lambda=\sqrt{1-\xi}$
e:
$\lambda=\sqrt{1-k}$
Como em grande parte da profundidade:
$\Phi\sim 1$
temos a distribuição de concentração:
| $ c_z = \displaystyle\frac{ E }{ \omega_s }\left(\displaystyle\frac{ k }{ \xi }\right)^{ R_s }$ |
ID:(12193, 0)
Número de Rousse
Equação
O valor o número de despertar ($R_0$) compara a velocidade de sedimentação, que compete com a difusão associada à corrente no fundo. Quando combinado com la taxa de sedimentação ($\omega_s$), la velocidade de fricção ($U_d$) e la constante de Karman ($\kappa$), resulta em:
| $ R_0 \equiv \displaystyle\frac{ \omega_s }{ \kappa U_d }$ |
ID:(12195, 0)
O fator Rouse
Equação
O valor o número de despertar ($R_0$) avalia a velocidade de sedimentação, que compete com a difusão associada à corrente no fundo. Combinado com la taxa de sedimentação ($\omega_s$), la velocidade de fricção ($U_d$) e la constante de Karman ($\kappa$), resulta em:
| $ R_0 \equiv \displaystyle\frac{ \omega_s }{ \kappa U_d }$ |
Nos casos em que o fundo do mar não é liso, existe la rugosidade ($k$), o que leva a uma correção do número de Rouse, que chamamos de fator de Rouse:
| $ R_s \equiv R_0 (1 - k )^{3/2}$ |
ID:(15632, 0)