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Molecular Transport of Momentum

Storyboard

Faced with a difference in momentum, processes of molecule exchange are generated that lead to the passing of molecules from areas of greater to those of lesser moment, which ultimately leads to a homogeneous moment.

>Model

ID:(1606, 0)



Difusión de momento

Image

>Top


Uno de los procesos de difusión que ocurren en el océano es el del momento que se expresa como velocidad del agua. Físicamente corresponde a la difusión de partículas que tienen diferencia momento/velocidad.

ID:(12151, 0)



Diffusion constant of the moment

Equation

>Top, >Model


The movement of a system like water tends to dissipate until the system reaches rest relative to its surroundings. This phenomenon is known as viscosity and competes with the inertia of bodies to maintain movement.

The first term is associated with the viscosity of ocean water (\eta), while the second is related to mass, or in the case of a liquid, with the sea water density (\rho).

Therefore, we introduce the diffusion constant of the moment (D_p) with:

D_p \equiv \displaystyle\frac{ \eta }{ \rho }

D_p
Diffusion constant of the moment
m^2/s
8985
\rho
Sea water density
kg/m^3
8605
\eta
Viscosity of ocean water
Pa s
8612
D_p = eta / rho q_ui = eta * du_i / dx_i rho * du_i / dt = dq_ui / x_i u_i =exp(- rho * x_i ^2/(4* eta * t ))*sqrt(4* pi * eta * t / rho )) q_ui = eta * Du_i / Dx_i @DIF( u_i , t , 1 )= ( eta / rho )* @DIF( u_i , x_i , 2 ) rho * Du_i / Dt = Dq_ui / Dx_i q_uix_iDq_uiDx_iDu_iu_irhoD_ppirhotDteta



The units are:

\displaystyle\frac{\eta}{\rho} \rightarrow \displaystyle\frac{Pa,s}{kg/m^3} = \displaystyle\frac{m^3 kg,m,s}{s^2m^2kg} = \displaystyle\frac{m^2}{s}

which corresponds to a diffusion constant. The value for water is on the order of 10^{-6} , m^2/s.

ID:(12049, 0)



Flujo de componente de momento

Equation

>Top, >Model


Si existe en un punto x_i del sistema una velocidad u_i(x_i) y en otro punto x_i+\Delta x_i una velocidad u_i(x_i+\Delta x_i) existirá por la diferencia\\n\\n

\Delta u_i = u_i(x_i+\Delta x_i)-u_i(x_i)

\\n\\nun gradiente\\n\\n

\displaystyle\frac{u_i(x_i+\Delta x_i)-u_i(x_i)}{\Delta x_i}=\displaystyle\frac{\Delta u_i}{\Delta z}\sim\displaystyle\frac{\partial u_i}{\partial x_i}



que llevara a que se genere un flujo de la zona de mayor a menor velocidad. Esto simplemente porque existen mas moléculas en la zona de mayor velocidad que en la con menor. El flujo que se genera es proporcional a dicho gradiente que depende de la movilidad que tengan los iones. Por ello se puede establecer con que

q_{u,i} = \eta \displaystyle\frac{\partial u_i }{\partial x_i }

q_{ui}
Coordenada i de la densidad de flujo de momento
Pa
9098
x_i
Coordenada i de la posición
m
9095
u_i
Coordenada i de la velocidad
m/s
9094
\eta
Viscosity of ocean water
Pa s
8612
D_p = eta / rho q_ui = eta * du_i / dx_i rho * du_i / dt = dq_ui / x_i u_i =exp(- rho * x_i ^2/(4* eta * t ))*sqrt(4* pi * eta * t / rho )) q_ui = eta * Du_i / Dx_i @DIF( u_i , t , 1 )= ( eta / rho )* @DIF( u_i , x_i , 2 ) rho * Du_i / Dt = Dq_ui / Dx_i q_uix_iDq_uiDx_iDu_iu_irhoD_ppirhotDteta

ID:(12137, 0)



Flujo medio del momento

Equation

>Top, >Model


Si el flujo de momento es coordenada i de la densidad de flujo de momento Pa, coordenada i de la posición m, coordenada i de la velocidad m/s and viscosity of ocean water Pa s que

q_{u,i} = \eta \displaystyle\frac{\partial u_i }{\partial x_i }



en el caso medio se puede expresar con variaciones finitas de modo de que con coordenada i de la densidad de flujo de momento Pa, coordenada i de la posición m, coordenada i de la velocidad m/s and viscosity of ocean water Pa s es

q_{ui} = \eta \displaystyle\frac{ \Delta u_i }{ \Delta x_i }

q_{ui}
Coordenada i de la densidad de flujo de momento
Pa
9098
\Delta x_i
Coordenada i de la variación de la posición
m
9100
\Delta u_i
Coordenada i de la variación de la velocidad
m/s
9099
\eta
Viscosity of ocean water
Pa s
8612
D_p = eta / rho q_ui = eta * du_i / dx_i rho * du_i / dt = dq_ui / x_i u_i =exp(- rho * x_i ^2/(4* eta * t ))*sqrt(4* pi * eta * t / rho )) q_ui = eta * Du_i / Dx_i @DIF( u_i , t , 1 )= ( eta / rho )* @DIF( u_i , x_i , 2 ) rho * Du_i / Dt = Dq_ui / Dx_i q_uix_iDq_uiDx_iDu_iu_irhoD_ppirhotDteta

ID:(12163, 0)



Valores de la viscosidad dinámica del agua marina

Image

>Top


La viscosidad dinámica es una función de la temperatura del agua marina. Esta disminuye en forma importante con el aumento de la temperatura.

ID:(12161, 0)



Variación temporal de la velocidad

Equation

>Top, >Model


Lo que corresponde a la variación de la concentración que

\displaystyle\frac{\partial c }{\partial t } = -\displaystyle\frac{\partial j }{\partial z }

\\n\\ncorresponde ahora a la variación de la densidad de momento que es la densidad multiplicado por la densidad y la variación de la velocidad\\n\\n

du_i = \rho du_i



por lo que se puede describir la dinámica con mediante

\rho \displaystyle\frac{\partial u_i }{\partial t } = \displaystyle\frac{\partial q_{u,i} }{\partial x_i }

q_{ui}
Coordenada i de la densidad de flujo de momento
Pa
9098
x_i
Coordenada i de la posición
m
9095
u_i
Coordenada i de la velocidad
m/s
9094
\rho
Density
kg/m^3
5342
t
Tiempo
s
9086
D_p = eta / rho q_ui = eta * du_i / dx_i rho * du_i / dt = dq_ui / x_i u_i =exp(- rho * x_i ^2/(4* eta * t ))*sqrt(4* pi * eta * t / rho )) q_ui = eta * Du_i / Dx_i @DIF( u_i , t , 1 )= ( eta / rho )* @DIF( u_i , x_i , 2 ) rho * Du_i / Dt = Dq_ui / Dx_i q_uix_iDq_uiDx_iDu_iu_irhoD_ppirhotDteta

ID:(12156, 0)



Variación temporal media de la velocidad

Equation

>Top, >Model


Si la variación temporal de la temperatura instantánea es coordenada i de la densidad de flujo de momento Pa, coordenada i de la posición m, coordenada i de la velocidad m/s, density kg/m^3 and tiempo s que

\rho \displaystyle\frac{\partial u_i }{\partial t } = \displaystyle\frac{\partial q_{u,i} }{\partial x_i }



en el caso medio se puede expresar con variaciones finitas de modo de que con coordenada i de la densidad de flujo de momento Pa, coordenada i de la posición m, coordenada i de la velocidad m/s, density kg/m^3 and tiempo s es

\rho \displaystyle\frac{\Delta u_i }{\Delta t } = \displaystyle\frac{\Delta q_{u,i} }{\Delta x_i }

\Delta q_{ui}
Coordenada i de la variación de la densidad del flujo de momento
Pa
9101
\Delta x_i
Coordenada i de la variación de la posición
m
9100
\Delta u_i
Coordenada i de la variación de la velocidad
m/s
9099
\rho
Density
kg/m^3
5342
\Delta t
Variación del tiempo
s
9084
D_p = eta / rho q_ui = eta * du_i / dx_i rho * du_i / dt = dq_ui / x_i u_i =exp(- rho * x_i ^2/(4* eta * t ))*sqrt(4* pi * eta * t / rho )) q_ui = eta * Du_i / Dx_i @DIF( u_i , t , 1 )= ( eta / rho )* @DIF( u_i , x_i , 2 ) rho * Du_i / Dt = Dq_ui / Dx_i q_uix_iDq_uiDx_iDu_iu_irhoD_ppirhotDteta

ID:(12165, 0)



Ley de Fick para viscosidad dinámica constante

Equation

>Top, >Model


Como la primera ley de Fick en este caso es con coordenada i de la densidad de flujo de momento Pa, coordenada i de la posición m, coordenada i de la velocidad m/s and viscosity of ocean water Pa s

q_{u,i} = \eta \displaystyle\frac{\partial u_i }{\partial x_i }



y la segunda ley de Fick en este caso es con coordenada i de la densidad de flujo de momento Pa, coordenada i de la posición m, coordenada i de la velocidad m/s, density kg/m^3 and tiempo s igual a

\rho \displaystyle\frac{\partial u_i }{\partial t } = \displaystyle\frac{\partial q_{u,i} }{\partial x_i }



se tiene la ley general de Fick para el caso de que la viscosidad dinámica no varíe con la posición que con coordenada i de la densidad de flujo de momento Pa, coordenada i de la posición m, coordenada i de la velocidad m/s, density kg/m^3 and tiempo s es igual a

\displaystyle\frac{\partial u_i }{\partial t } = \displaystyle\frac{ \eta }{ \rho } \displaystyle\frac{\partial^2 u_i }{\partial x_i ^2 }

x_i
Coordenada i de la posición
m
9095
u_i
Coordenada i de la velocidad
m/s
9094
\rho
Density
kg/m^3
5342
t
Tiempo
s
9086
\eta
Viscosity of ocean water
Pa s
8612
D_p = eta / rho q_ui = eta * du_i / dx_i rho * du_i / dt = dq_ui / x_i u_i =exp(- rho * x_i ^2/(4* eta * t ))*sqrt(4* pi * eta * t / rho )) q_ui = eta * Du_i / Dx_i @DIF( u_i , t , 1 )= ( eta / rho )* @DIF( u_i , x_i , 2 ) rho * Du_i / Dt = Dq_ui / Dx_i q_uix_iDq_uiDx_iDu_iu_irhoD_ppirhotDteta

ID:(12164, 0)



Distribución de momento en el tiempo

Equation

>Top, >Model


Para el caso del momento constante la ley general de Fick con coordenada i de la posición m, coordenada i de la velocidad m/s, density kg/m^3, tiempo s and viscosity of ocean water Pa s

\displaystyle\frac{\partial u_i }{\partial t } = \displaystyle\frac{ \eta }{ \rho } \displaystyle\frac{\partial^2 u_i }{\partial x_i ^2 }



se logra resolver esta ecuación obtenerse con coordenada i de la posición m, coordenada i de la velocidad m/s, density kg/m^3, tiempo s and viscosity of ocean water Pa s la expresión

u_i =\displaystyle\frac{1}{\sqrt{4 \pi \eta t / \rho }} e^{- \rho x_i ^2 /4 \eta t }

x_i
Coordenada i de la posición
m
9095
u_i
Coordenada i de la velocidad
m/s
9094
\rho
Density
kg/m^3
5342
\pi
Pi
3.1415927
rad
5057
t
Tiempo
s
9086
\eta
Viscosity of ocean water
Pa s
8612
D_p = eta / rho q_ui = eta * du_i / dx_i rho * du_i / dt = dq_ui / x_i u_i =exp(- rho * x_i ^2/(4* eta * t ))*sqrt(4* pi * eta * t / rho )) q_ui = eta * Du_i / Dx_i @DIF( u_i , t , 1 )= ( eta / rho )* @DIF( u_i , x_i , 2 ) rho * Du_i / Dt = Dq_ui / Dx_i q_uix_iDq_uiDx_iDu_iu_irhoD_ppirhotDteta

ID:(12162, 0)



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Video: Transporte Molecular de Momento